《高中数学 第二章 数列 2.2 等差数列教学设计 新人教A版必修5》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第二章 数列 2.2 等差数列教学设计 新人教A版必修5（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、等差数列一、教学目标1、通过实例，理解等差数列的概念；2、探索并掌握等差数列的通项公式；3、能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；4、掌握判断数列是否为等差数列常用的方法；5、进一步熟练掌握等差数列的通项公式、性质及应用二、教学重难点重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；等差数列的通项公式、性质及应用难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题三、教学过程（一）思考：同学们观察一下上面的这四个数列：0，5，10，15，20， 48，53，58，63 18，15.5，13，10.5，8，5
2、.5 10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360 看这些数列有什么共同特点呢？引导学生观察相邻两项间的关系， 由学生归纳和概括出：以上四个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数（即：每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点）。等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。那么对于以上四组等差数列，它们的公差依次是5，5，-2.5，72。注意：公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；对于数列 ,若 =d (d是与n无关的数或字母)
3、，n2，nN ，则此数列是等差数列，d 为公差；(3)若d=0, 则该数列为常数列提问：（1）你能举一些生活中的等差数列的例子吗？（2）如果在与中间插入一个数A，使，A，成等差数列数列，那么A应满足什么条件？由学生回答：因为a，A，b组成了一个等差数列，那么由定义可以知道：A-a=b-A 所以就有 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A叫做a与b的等差中项。不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项。如数列：1，3，5，7，9，11，13中 ，5是3和7的等差中项，1和9的等差中项。9是7和11的等差中项，5
4、和13的等差中项。看来，从而可得在一等差数列中，若m+n=p+q 则 等差数列的通项公式提问：对于以上的等差数列，我们能不能用通项公式将它们表示出来呢？ 、我们是通过研究数列的第n项与序号n之间的关系去写出数列的通项公式的。下面由同学们根据通项公式的定义，写出这四组等差数列的通项公式。由学生经过分析写出通项公式： 猜想得到这个数列的通项公式是 猜想得到这个数列的通项公式是 猜想得到这个数列的通项公式是 猜想得到这个数列的通项公式是、那么，如果任意给了一个等差数列的首项和公差d，它的通项公式是什么呢？ 引导学生根据等差数列的定义进行归纳： （n-1）个等式 所以 思考：那么通项公式到底如何表达呢
5、？ 得出通项公式：以为首项，d为公差的等差数列的通项公式为： 也就是说，只要我们知道了等差数列的首项和公差d，那么这个等差数列的通项就可以表示出来了。选讲：除此之外，还可以用迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式：（迭加法）： 是等差数列， （迭代法）：是等差数列，则有 所以 两边分别相加得 所以 所以 例题分析例1、求等差数列8，5，2，的第20项.-401是不是等差数列-5，-9，-13，的项？如果是，是第几项？解：由=8，d=5-8=-3，n=20，得 由=-5，d=-9-（-5）=-4，得这个数列的通项公式为由题意知，本题是要回答是否存在正整数n,使得-401=-4n-1成立。 解这个关
6、于n的方程，得n=100，即-401是这个数列的第100项。例2：（1）在等差数列中，已知，求首项与公差d；（2）已知数列为等差数列，求的值.解：(1)解法一：，则 所以，这个等差数列的首项是2，公差是3 解法二：, 由 得所以，这个等差数列的首项是2，公差是3例3：梯子最高一级宽33cm，最低一级宽为110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度解：设表示梯子自上而上各级宽度所成的等差数列，由已知条件，可知：=33, =110，n=12,即10=33+11 解得： 因此，答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82
7、cm，89cm，96cm，103cm.例4：三个数成等差数列,它们的和为18,它们的平方和为116,求这三个数.解：设这三个数为a-d,a,a+d则解得这三个数依次为4，6，8或8，6，4注（1）设未知数时尽量减少未知数的个数.（2）结果应给出由大到小和由小到大两种情况.例5：已知四个数成等差数列,它们的和为28,中间两项的积为40,求这四个数.解：设这个数为a-3d, a-d, a+d,a+3d则解得: 或这四个数依次为-2,4,10,16或16,10,4,-2.例6某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km（不含4千米）计费10元。如果某人乘坐该市的出租车去往14
8、km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客需要支付1.2元.所以，我们可以建立一个等差数列来计算车费. 令=11.2，表示4km处的车费，公差d=1.2。那么当出租车行至14km处时，n=11，此时需要支付车费 答：需要支付车费23.2元。（二）、复习1等差数列的定义2等差数列的通项公式： (或 =pn+q (p、q是常数)3有几种方法可以计算公差d: d= d= d=4. an是首项a1=1, 公差d=3的等差数列, 若an =2005,则n =( ) A. 667 B. 668 C. 669 D. 67
9、05. 在3与27之间插入7个数, 使它们成为等差数列,则插入的7个数的第四个数是( ) A. 18 B. 9 C. 12 D. 15 新课讲授1性质：在等差数列an中,若m + n=p + q, 则am + an = ap + aq ；特别地,若m+n=2p, 则am+an=2ap例1. 在等差数列an中 (1) 若a5=a, a10=b, 求a15; (2) 若a3+a8=m, 求a5+a6; (3) 若a5=6, a8=15, 求a14; (4) 若a1+a2+a5=30, a6+a7+a10=80,求a11+a12+a15.解: (1) 2a10=a5+a15,即2b=a+a15 ,
10、a15=2ba;(2) 5+6=3+8=11,a5+a6=a3+a=m(3) a8=a5+(83)d, 即15=6+3d, d=3，从而a14=a5+(14-5)d=6+93=33 2判断数列是否为等差数列的常用方法：（1） 定义法: 证明an-an-1=d (常数)例2. 已知数列an的前n项和为Sn=3n2-2n, 求证数列an成等差数列,并求其首项、公差、通项公式.解: 当n=1时,a1=S1=32=1; 当n2时,an=SnSn1=3n22n 3(n1)22(n1)=6n5; n=1时a1满足an=6n5,an=6n5 首项a1=1,anan1=6(常数) 数列an成等差数列且公差为6
11、.（2）中项法: 利用中项公式, 若2b=a+c,则a, b, c成等差数列.（3）通项公式法: 等差数列的通项公式是关于n的一次函数.例3. 已知数列的通项公式为其中p、q为常数，且p0，那么这个数列一定是等差数列吗？分析：判定是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看（n1）是不是一个与n无关的常数。解：取数列中的任意相邻两项（n1），求差得 它是一个与n无关的数.所以是等差数列。课本左边“旁注”：这个等差数列的首项与公差分别是多少？这个数列的首项。由此我们可以知道对于通项公式是形如的数列，一定是等差数列，一次项系数p就是这个等差数列的公差，首项是p+q.如果一个数列的通项公式是关于
12、正整数n的一次型函数，那么这个数列必定是等差数列。探究引导学生动手画图研究完成以下探究：在直角坐标系中，画出通项公式为的数列的图象。这个图象有什么特点？在同一个直角坐标系中，画出函数y=3x-5的图象，你发现了什么？据此说一说等差数列与一次函数y=px+q的图象之间有什么关系。分析：n为正整数，当n取1，2，3，时，对应的可以利用通项公式求出。经过描点知道该图象是均匀分布的一群孤立点；画出函数y=3x-5的图象一条直线后发现数列的图象（点）在直线上，数列的图象是改一次函数当x在正整数范围内取值时相应的点的集合。于是可以得出结论：等差数列的图象是一次函数y=px+q的图象的一个子集，是y=px+q定义在正整数集上对应的点的集合。该处还可以引导学生从等差数列中的p的几何意义去探究。课堂小结等差数列定义：即(n2)等差数列通项公式：(n1)推导出公式：等差数列的性质； 判断数列是否为等差数列常用的方法。任务型阅读在江苏高考英语试题中占有较大比重,考题形式以表格形和树状形为主,文章体裁以议论文、说明文为主,文章篇幅往往较长,阅读量大,但结构清晰。该题型综合性很强,思维含量较高,答案既要忠实于原文,又要不局限于原文,原词填空题和词性、词形变换题在逐渐减少,通过归纳总结得出答案的题逐渐增多,另外还有推断作者意图和态度的考题,这必将增加该题型的难度,所以得分一直偏低7
