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1、平面向量基本定理(15分钟30分)一、选择题(每小题4分，共12分)1.若四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，且AB=a，AD=b，则BE等于()A.b+12aB.b-12aC.a+12bD.a-12b【解析】选B.BE=BC+CE=AD+12BA=b-12a.2.若向量a，b为两个非零向量，且|a|=|b|=|a-b|，则向量a+b与a的夹角为()A.6B.3C.23D.56【解析】选A.作OA=a，OB=b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则BA=a-b，OC=a+b，AOC为向量a与a+b的夹角.因为|a|=|b|=|a-b|，所以OAB是等边三角形，平行四边形OACB是菱形
2、，所以AOB=3，AOC=12AOB=6.【延伸探究】本题中“|a-b|”改为“|a+b|”，求a，b的夹角.【解析】作OA=a，AB=b，则OB=a+b，由|a|=|b|=|a+b|及三角形法则可知，表示向量a，b，a+b的有向线段可构成等边三角形OAB(如图所示)，所以a，b的夹角为23.【补偿训练】在ABC中，C=90，BC=12AB，则AB与BC的夹角是()A.30B.60C.120D.150【解析】选C.如图，作向量AD=BC，则BAD是AB与BC的夹角，在ABC中，因为C=90，BC=12AB，所以ABC=60，所以BAD=120.【误区警示】解答本题容易忽视向量夹角的定义要求两个
3、向量共起点，导致误认为ABC是AB与BC的夹角的错误.3.如图，平行四边形ABCD中，E是AD的中点，BE交AC于点F，AF=AC，则实数的值为()A.13B.14C.15D.16【解析】选A.设AB=a，AD=b，EF=mEB，则AF=AC=(a+b)=a+b，EB=a-12b，又AF=AE+EF=AE+mEB=12b+m=ma+12(1-m)b，所以m=,12(1-m)=,所以=13.二、填空题(每小题4分，共8分)4.(2015青岛高一检测)已知平面向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，则x-y=_.【解析】因为向量e1，e2不共线，
4、所以3x-4y=6,2x-3y=3,解得x-y=3.答案：35.(2015北京高考)在ABC中，点M，N满足AM=2MC，BN=NC，若MN=xAB+yAC，则x=_，y=_.【解析】由AM=2MC，BN=NC得CM=-13AC，CN=-12BC=-12(AC-AB)，所以MN=CN-CM=-12(AC-AB)+13AC=12AB-16AC.所以x=12，y=-16.答案：12-16【补偿训练】已知平行四边形OADB的对角线交于点C，BM=13BC，CN=13CD，OA=a，OB=b，用a，b表示ON=_，MN=_.【解析】BA=a-b，BM=16BA=16a-16b，OM=OB+BM=16a
5、+56b，OD=a+b，ON=OC+CN=12OD+16OD=23OD=23a+23b，MN=ON-OM=12a-16b.答案：23a+23b12a-16b三、解答题6.(10分)(2015广州高一检测)如图，在OAB中，OA=a，OB=b，M，N分别是边OA，OB上的点，且OM=13a，ON=12b，设AN与BM相交于点P，用向量a，b表示OP.【解析】因为OP=OM+MP，OP=ON+NP，设MP=mMB，NP=nNA，则OP=OM+mMB=13a+m(b-13a)=13(1-m)a+mb.OP=ON+nNA=12b+n(a-12b)=12(1-n)b+na.因为a，b不共线，所以13(1
6、-m)=n,12(1-n)=m,n=15，m=25.所以OP=15a+25b.【补偿训练】在ABC中，AD=14AB，DEBC，与边AC相交于点E，ABC的中线AM与DE相交于点N，如图所示，设AB=a，AC=b，试用a和b表示DN.【解析】因为M为BC的中点，所以BM=12BC=12(AC-AB)=12(b-a)，AM=12(AB+AC)=12(a+b).因为DNBM，AN与AM共线，所以存在实数和，使得DN=BM=12(b-a)，AN=AM=12(a+b)=12a+12b.AN=AD+DN=14a+12(b-a)=14-2a+2b.根据平面向量基本定理，得14-2=12,2=12.解得=1
7、4.所以DN=18(b-a).(15分钟30分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.过ABC的重心G任意作一直线分别交AB，AC于点D，E，若AD=xAB，AE=yAC，xy0，则1x+1y的值为()A.4B.3C.2D.1【解析】选B.因为G，D，E三点共线，所以AG=AE+AD(+=1)，即AG=yAC+xAB；又设BC的中点为M，AG=23AM=2312AC+AB，所以y=13，x=13，所以1x+1y=3+3=3.【拓展延伸】三角形中的常用结论在ABC中：(1)若AD=12AB+AC，则AD是ABC中BC边的中线.(2)PG=13PA+PB+PCG为ABC的重心，特别地，GA+GB+
8、GC=0G为ABC的重心.(3)|OA|=|OB|=|OC|O是ABC的外心.2.如图，在平面直角坐标系xOy中，两个非零向量OA，OB与x轴正半轴的夹角分别为6和23，向量OC满足OA+OB+OC=0，则OC与x轴正半轴夹角的取值范围是()A.0,3B.3,56C.2,23D.23,56【解题指南】先由OA+OB+OC=0推知向量OA+OB与OC反向，然后通过分析向量OA+OB与x轴正半轴的夹角推知向量OC与x轴正半轴的夹角.【解析】选B.因为OA+OB+OC=0，所以OA+OB=-OC，如图1所示，以OA，OB为邻边作平行四边形OAC1B，则OA+OB=OC1，OC1=-OC，固定OB的长
9、度，OA的长度缩小，点C1向B靠近(图2)，固定OA的长度，OB的长度缩小，点C1向A靠近(图3).因为向量OA，OB与x轴正半轴的夹角分别为6和23，所以OC1与x轴正半轴夹角取值范围为6,23，由OC1与OC的方向相反知OC与x轴正半轴夹角的取值范围为3,56.二、填空题(每小题5分，共10分)3.(2015厦门高一检测)e1，e2为两个不共线的向量，a=-e1+3e2，b=4e1+2e2，c=-3e1+12e2，以b，c为基底表示向量a=_.【解题指南】利用平面向量的基本定理可设a=xb+yc(x，yR)，由于e1，e2为两个不共线的向量，利用向量相等求解x，y即可.【解析】设a=xb+
10、yc(x，yR)，则-e1+3e2=x(4e1+2e2)+y(-3e1+12e2)，即-e1+3e2=(4x-3y)e1+(2x+12y)e2，所以4x-3y=-1,2x+12y=3,解得x=-118,y=727,所以a=-118b+727c.答案：-118b+727c4.(2015嘉兴高一检测)在ABC中，AB=2，BC=3，ABC=60，AHBC于点H，M为AH的中点，若AM=AB+AC，则+=_.【解析】如图所示，AM=12AH=12(AB+BH)=12AB+16BC=12AB+16(AC-AB)=13AB+16AC，所以=13，=16，则+=12.答案：12【补偿训练】如图，平面内有三
11、个向量OA，OB，OC，其中OA与OB的夹角为120，OA与OC的夹角为30，且|OA|=|OB|=1，|OC|=23，若OC=OA+OB(，R).求+的值.【解析】如图，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形ODCE，则OC=OD+OE，在直角OCD中，因为|OC|=23，COD=30，OCD=90，所以|OD|=4，|CD|=2，故OD=4OA，OE=2OB，即=4，=2，所以+=6.三、解答题5.(10分)(2015扬州高一检测)如图，ABC中，D为BC的中点，G为AD的中点，过点G任作一直线MN分别交AB，AC于M，N两点，若AM=xAB，AN=yAC，试问：1x+1y是
12、否为定值？【解析】设AB=a，AC=b，则AM=xa，AN=yb，AG=12AD=14(AB+AC)=14(a+b).所以MG=AG-AM=14(a+b)-xa=14-xa+14b，MN=AN-AM=yb-xa=-xa+yb.因为MG与MN共线，所以存在实数，使MG=MN.所以14-xa+14b=(-xa+yb)=-xa+yb.因为a与b不共线，所以14-x=-x,14=y.消去，得1x+1y=4，所以1x+1y为定值.任务型阅读在江苏高考英语试题中占有较大比重,考题形式以表格形和树状形为主,文章体裁以议论文、说明文为主,文章篇幅往往较长,阅读量大,但结构清晰。该题型综合性很强,思维含量较高,答案既要忠实于原文,又要不局限于原文,原词填空题和词性、词形变换题在逐渐减少,通过归纳总结得出答案的题逐渐增多,另外还有推断作者意图和态度的考题,这必将增加该题型的难度,所以得分一直偏低- 9 -
