《高中数学 第二章 平面向量 2.7 向量应用举例 2.7.1 点到直线的距离公式教案 北师大版必修4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第二章 平面向量 2.7 向量应用举例 2.7.1 点到直线的距离公式教案 北师大版必修4（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.7.1 点到直线的距离公式整体设计教学分析1.按教材的安排,本大节是想让学生熟悉向量在数学和物理学中的广泛应用,理解向量的工具性,明确向量处于知识网络的交汇点.从高考角度看,向量与三角函数、解析几何等知识综合起来的题目频频出现在全国各地市的高考试卷上.这种与向量交汇的题目新颖别致,活力四射,正逐渐成为高考的新宠.但教材的处理是:点到直线的距离公式的向量证明作为一节,几何应用与物理应用放在一节.这不利于学生的理解掌握,因此在本教案设计时稍作调整,把点到直线的距离的向量证明及几何中的应用统一到向量在数学中的应用上,另一节专门探究向量在物理中的应用.2.本节的目的是让学生加深对向量的认识,更好地
2、体会向量这个工具的优越性.向量在数学中有着广泛的应用,就思路而言,几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致,不同的只是用“向量和向量运算”来代替“数和数的运算”.这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量,对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论,然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果.代数方法的流程图可以简单地表述为:则向量方法的流程图可以简单地表述为: 这就是本节给出的用向量方法解决几何问题的“三步曲”,也是本节的重点.3.用向量方法解决解析几何中的问题,其方法与用向量方法解决几何问题是一致的.本质上是把解析几何中的几何问题转化成向量运算,并且这种向量运算简单明快,令人耳目一新.
3、 有些平面几何问题,利用向量方法求解比较容易.使用向量方法要点在于用向量表示线段或点,根据点与线之间的关系,建立向量等式,再根据向量的线性相关与无关的性质,得出向量的系数应满足的方程组,求出方程组的解,从而解决问题.使用向量方法时,要注意向量起点的选取,选取得当可使计算过程大大简化.三维目标1.通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”.2.通过点到直线的距离的向量证明方法,了解向量在解析几何中的应用.3.通过本节学习,让学生深刻理解向量在处理有关平面几何、解析几何问题中的优越性,活跃学生的思维,发展学生的创新意识,激发学生的学习积极性,并体会向量在几何和现实
4、生活中的意义.教学中要求尽量引导学生使用信息技术这个现代化手段.重点难点 教学重点:用向量方法解决平面几何问题、解析几何问题. 教学难点:如何将几何等实际问题化归为向量问题.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(直接导入)向量的概念和运算都有着明确的物理背景和几何背景,当向量和平面坐标系结合后,向量的运算就完全可以转化为代数运算.这就为我们解决物理问题和几何研究带来了极大的方便.本节专门研究平面几何中的向量方法.思路2.(情境导入)由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何、解析几何图形的许多性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来,因此,
5、可用向量方法解决平面几何中的一些问题.下面通过几个具体实例,说明向量方法在平面几何中的运用.推进新课新知探究提出问题图1你能用向量的知识证明数学2中学习过的点到直线的距离公式吗?平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型,如图1,你能观察、发现并猜想出平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系吗？你能利用所学知识证明你的猜想吗？能利用所学的向量方法证明吗？试一试可用哪些方法?你能总结一下利用平面向量解决平面几何问题的基本思路吗？活动:教师引导学生画出直线,点.如图2所示,M(x0,y0)是直线外一定点,P(x,y)是直线上任意一点,由直线l:ax+by+c=0,可以取它的方向向量v=(b,
6、-a).一般地,称与直线的方向向量垂直的向量为该直线的法向量.设n=(a,b),因为nv=(a,b)(b,-a)=ab-ab=0,所以nv,故称n为直线l的法向量,与n同向的单位向量为n0=.于是,点M(x0,y0)到直线l:ax+by+c=0的距离等于向量在n0方向上射影的长度:d=n0=(x0-x,y0-y)(.又因为P(x,y)为l上任意一点,所以c=-(ax+by).教师引导学生猜想平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系.利用类比的思想方法,猜想平行四边形有没有相似关系.指导学生猜想出结论:平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.教师引导学生探究证明方法,并点拨学生对
7、各种方法分析比较,平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形,在平面几何的学习中,学生得到了它的许多性质,有些性质的得出比较麻烦,有些性质的得出比较简单.让学生体会研究几何可以采取不同的方法,这些方法包括综合方法、解析方法、向量方法.证明:方法一:如图3.图3作CEAB于E,DFAB于F,则RtADFRtBCE.AD=BC,AF=BE由于AC2=AE2+CE2=(AB+BE)2+CE2=AB2+2ABBE+BE2+CE2=AB2+2ABBE+BC2.BD2=BF2+DF2=(AB-AF)2+DF2=AB2-2ABAF+AF2+DF2=AB2-2ABAF+AD2=AB2-2ABBE+BC2.AC2+B
8、D2=2(AB2+BC2).方法二:如图4.图4以AB所在直线为x轴,A为坐标原点建立直角坐标系.设B(a,0),D(b,c),则C(a+b,c).|AC|2=(a+b)2+c2=a2+2ab+b2+c2,|BD|2=(a-b)2+(-c)2=a2-2ab+b2+c2.|AC|2+|BD|2=2a2+2(b2+c2)=2(|AB|2+|AD|2). 用向量方法推导了平行四边形的两条对角线与两条邻边之间的关系.在用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时,常常考虑用向量的数量积.通过以下推导学生可以发现,由于向量能够运算,因此它在解决某些几何问题时具有优越性,它把一个思辨过程变成了一个算法过程,学生可
9、按一定的程序进行运算操作,从而降低了思考问题的难度,同时也为计算机技术的运用提供了方便.教学时应引导学生体会向量带来的优越性.因为平行四边形对边平行且相等,考虑到向量关系=-,=+,教师可点拨学生设=a,=b,其他线段对应向量用它们表示,涉及长度问题常常考虑向量的数量积,为此,我们计算|2与|2.因此有了方法三.方法三:设=a,=b,则=a+b,=a-b,|2=|a|2,|2=|b|2.|2=(a+b)(a+b)=aa+ab+ba+bb=|a|2+2ab+|b|2.同理|2=|a|2-2ab+|b|2.观察两式的特点,我们发现,+得|2+|2=2(|a|2+|b|2)=2(|2+|2),即平行
10、四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.至此,为解决重点问题所作的铺垫已经完成,向前发展可以说水到渠成.教师充分让学生对以上各种方法进行分析比较,讨论认清向量方法的优越性,适时地引导学生归纳用向量方法处理平面几何问题的一般步骤.由于平面几何经常涉及距离(线段长度)、夹角问题,而平面向量的运算,特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角,因此我们可以用向量方法解决部分几何问题.解决几何问题时,先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素.然后通过向量的运算,特别是数量积来研究点、线段等元素之间的关系.最后再把运算结果“翻译”成几何关系,得到几何问题的结论.这就是用向量方法解决平面几何
11、问题的“三步曲”,即(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;(3)把运算结果“翻译”成几何关系.这个“三步曲”用流程图表示为:讨论结果:能.能想出至少三种证明方法.略.应用示例例1 求点P(1,2)到直线l:2x+y+1=0的距离.活动:本例是直接应用点到直线的距离公式.由学生自己完成.解:由点到直线的距离公式,得d=,所以点P(1,2)到直线l的距离为5.点评:通过此题让学生归纳用向量方法解决解析几何问题的思路.变式训练(2007广东梅州)若将函数y=f(x)的图像按向量a平
12、移,使图像上点的坐标由(1,0)变为(2,2),则平移后的图像的解析式为( )A.y=f(x+1)-2 B.y=f(x-1)-2 C.y=f(x-1)+2 D.y=f(x+1)+2解析:由已知,得平移公式为即代入y=f(x),得y-2=f(x-1),即y=f(x-1)+2.平移后的图像的解析式为y=f(x-1)+2.答案:C例2 如图5,ABCD中,点E、F分别是AD、DC边的中点,BE、BF分别与AC交于R、T两点,你能发现AR、RT、TC之间的关系吗?图5活动:为了培养学生的观察、发现、猜想能力,让学生能动态地发现图形中AR、RT、TC之间的相等关系,教学中可以充分利用多媒体,作出上述图形
13、,测量AR、RT、TC的长度,让学生发现AR=RT=TC,拖动平行四边形的顶点,动态观察,发现AR=RT=TC这个规律不变,因此猜想AR=RT=TC.事实上,由于R、T是对角线AC上的两点,要判断AR、RT、TC之间的关系,只需分别判断AR、RT、TC与AC的关系即可.又因为AR、RT、TC、AC共线,所以只需判断,与之间的关系即可.探究过程对照用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”很容易地可得到结论.第一步,建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;第二步,通过向量运算,研究几何元素之间的关系;第三步,把运算结果“翻译”成几何关系:AR=RT=TC.
14、解:如图5,设=a,=b,=r,则=a+b.由于与共线,所以我们设r=n(a+b),nR.又因为=-=（a-b),与共线,所以我们设=m=m(a-b).因为=+,所以r=b+m(a-b),因此n(a+b)=b+m(a-b),即(n-m)a+(n+)b=0.由于向量a,b不共线,要使上式为0,必须.解得n=m=.所以=.同理,=.于是=.所以AR=RT=TC.点评:教材中本例重在说明是如何利用向量的办法找出这个相等关系的,因此在书写时可简化一些程序.指导学生在今后的训练中,不必列出三个步骤.变式训练如图6,AD、BE、CF是ABC的三条高.求证:AD、BE、CF相交于一点.图6证明:设BE、CF
15、相交于点H,并设=b,=c,=h,则=h-b,=h-c,=c-b.因为,所以(h-b)c=0,(h-c)b=0,即(h-b)c=(h-c)b.化简,得h(c-b)=0.所以.所以AH与AD共线,即AD、BE、CF相交于一点H.例3 如图7,已知在等腰ABC中,BB、CC是两腰上的中线,且BBCC,求顶角A的余弦值.图7活动:教师可引导学生思考探究,上例利用向量的几何法简捷地解决了平面几何问题.可否利用向量的坐标运算呢？这需要建立平面直角坐标系,找出所需点的坐标.如果能比较方便地建立起平面直角坐标系,如本例中图形,很方便建立平面直角坐标系,且图形中的各个点的坐标也容易写出,是否利用向量的坐标运算能更快捷地解决问题呢？教师引导学生建系、找点的坐标,然后让学生独立完成.解:建立如图7所示的平面直角坐标系,取A(0,a),C(c,0),则B(-c,0),=(0,a),=(c,a),=(c,0),=(2c,0).
