《高中数学 第二章 平面向量 2.5 向量的应用教案 苏教版必修4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第二章 平面向量 2.5 向量的应用教案 苏教版必修4（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.5向量的应用教学分析1在生产和日常生活中，有时会遇到既有大小，又有方向的量，这就为采用向量法解决问题提供方便，向量是既有大小又有方向的量，它既有代数特征，又有几何特征，通过向量可以实现代数问题与几何问题的互相转化，所以向量是数形结合的桥梁这样向量又为解决几何问题提供了理论基础，本节主要在于让学生了解向量来源于实际又为解决实际问题及几何问题提供方便，教学中注意难度的控制，同时还要注意，向量也是解决许多物理问题的有力工具2本节的目的是让学生加深对向量的认识，更好地体会向量这个工具的优越性对于向量方法，就思路而言，几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致，不同的只是用“向量和向量运算”来代替“
2、数和数的运算”这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果代数方法的流程图可以简单地表述为：则向量方法的流程图可以简单地表述为：这就是本节给出的用向量方法解决几何问题的“三步曲”，也是本节的重点3研究几何可以采取不同的方法这些方法包括：综合方法不使用其他工具，对几何元素及其关系直接进行讨论；解析方法以数(代数式)和数(代数式)的运算为工具，对几何元素及其关系进行讨论；向量方法以向量和向量的运算为工具，对几何元素及其关系进行讨论；分析方法以微积分为工具，对几何元素及其关系进行讨论，等等前三种方法都是中学数学中
3、出现的内容有些平面几何问题，利用向量方法求解比较容易使用向量方法的要点在于用向量表示线段或点，根据点与线之间的关系，建立向量等式，再根据向量的线性相关与无关的性质，得出向量的系数应满足的方程组，求出方程组的解，从而解决问题使用向量方法时，要注意向量起点的选取，选取得当可使计算过程大大简化通过抽象、概括，把物理现象转化为与之相关的向量问题；认真分析物理现象，深刻把握物理量之间的相互关系；利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量的解；利用这个结果，对原物理现象作出合理解释，即用向量知识圆满解决物理问题教学中要善于引导学生通过对现实原型的观察、分析和比较，得出抽象的数学模型例如，物理中力的合成与
4、分解是向量的加法运算与向量分解的原型同时，注重向量模型的运用，引导解决现实中的一些物理和几何问题这样可以充分发挥现实原型对抽象的数学概念的支撑作用三维目标1通过平行四边形这个几何模型，归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”理解并掌握用向量方法解决平面几何问题的步骤明了平面几何图形中的有关性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示2通过本节学习，让学生深刻理解向量在处理有关平面几何问题中的优越性，活跃学生的思维，发展学生的创新意识，激发学生的学习积极性，并体会向量在几何和现实生活中的意义教学中要求尽量引导学生使用信息技术这个现代化手段重点难点教学重点：用向量
5、方法解决实际问题的基本方法；向量法解决几何问题的“三步曲”教学难点：如何将实际问题化归为向量问题课时安排2课时第1课时导入新课思路1.(直接导入)向量的概念和运算都有着明确的物理背景和几何背景，当向量和平面坐标系结合后，向量的运算就完全可以转化为代数运算这就为我们解决物理问题和几何研究带来了极大的方便本节专门研究平面几何中的向量方法思路2.(情境导入)由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题下面通过几个具体实例，说明向量方法在平面几何中的运用推进新
6、课一、向量在几何中的应用1证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的条件ab ab x1y2x2y10(b0)2证明垂直问题，常用向量垂直的条件abab0x1x2y1y20.3求夹角问题利用夹角公式cos.4求线段的长度，可以用向量的线性运算，向量的模|a|或|AB|.5用向量处理其他代数或几何问题二、用向量法解决几何问题的“三步曲”1建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；2通过向量运算，研究几何元素之间的关系；3把运算结果“翻译”成几何关系引导学生归纳用向量方法处理平面几何问题的一般步骤由于平面几何经常涉及距离(线段长度)、夹角问
7、题，而平面向量的运算，特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角，因此我们可以用向量方法解决部分几何问题解决几何问题时，先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素，然后通过向量的运算，特别是数量积来研究点、线段等元素之间的关系最后再把运算结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论这就是用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”即：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系这个“三步曲”用流程图表示为：思路1例1课本本节例2.变式训练1.如图1，连
8、结平行四边形ABCD的顶点B至AD、DC边的中点E、F，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？图1活动：为了培养学生的观察、发现、猜想能力，让学生能动态地发现图形中AR、RT、TC之间的相等关系，教学中可以充分利用多媒体，作出上述图形，测量AR、RT、TC的长度，让学生发现ARRTTC，拖动平行四边形的顶点，动态观察发现，ARRTTC这个规律不变，因此猜想ARRTTC.事实上，由于R、T是对角线AC上的两点，要判断AR、RT、TC之间的关系，只需分别判断AR、RT、TC与AC的关系即可又因为AR、RT、TC、AC共线，所以只需判断，与之间的关系即可探究过程对
9、照用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”很容易地可得到结论第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系；第三步，把运算结果“翻译”成几何关系：ARRTTC.解：如图1，设a，b，r，t，则ab.由于与共线，所以，我们设rn(ab)，nR，又因为ab，与共线，所以我们设mm(ab)因为，所以rbm(ab)因此n(ab)bm(ab)，即(nm)a(n)b0.由于向量a、b不共线，要使上式为0，必须解得nm.所以.同理.于是，所以ARRTTC.2.如图2，AD、BE、CF是ABC的三条高求证：AD、BE、CF
10、相交于一点图2证明：设BE、CF相交于H，并设b，c，h，则hb，hc，cb.因为，所以(hb)c0，(hc)b0，即(hb)c(hc)b，化简得h(cb)0.所以.所以AH与AD共线，即AD、BE、CF相交于一点H.例2课本本节例3.思路21如图3，已知在等腰ABC中，BB、CC是两腰上的中线，且BBCC，求顶角A的余弦值图3活动：教师可引导学生思考探究，上例利用向量的几何法简捷地解决了平面几何问题可否利用向量的坐标运算呢？这需要建立平面直角坐标系，找出所需点的坐标如果能比较方便的建立起平面直角坐标系，如本例中的图形，很方便建立平面直角坐标系，且图形中的各个点的坐标也容易写出，是否利用向量的
11、坐标运算能更快捷地解决问题呢？教师引导学生建系、找点的坐标，然后让学生独立完成解：建立如图3所示的平面直角坐标系，取A(0，a)，C(c,0)，则B(c,0)，(0，a)，(c，a)，(c,0)，(2c,0)，因为BB、CC为两中线，所以()(2c,0)(c，a)(，)同理(，)因为BBCC，所以c20，a29c2.所以cosA.变式训练如图4，在RtABC中，已知BCa.若长为2a的线段PQ以点A为中点，问：与的夹角取何值时，的值最大？并求出这个最大值图4解：方法一：如图4.，0.，()()a2a2()a2a2a2cos，故当cos1，即0，与的方向相同时，最大，其最大值为0.方法二：如图5
12、.图5以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在的直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系设|AB|c，|AC|b，则A(0,0)，B(c,0)，C(0，b)，且|PQ|2a，|BC|a.设点P的坐标为(x，y)，则Q(x，y)，(xc，y)，(x，yb)，(c，b)，(2x，2y)(xc)(x)y(yb)(x2y2)cxby.cos，cxbya2cos.a2a2cos.故当cos1，即0，与的方向相同时，最大，其最大值为0.课本本节练习2、3、4.1由学生归纳总结本节学习的数学知识有哪些：平行四边形向量加、减法的几何模型，用向量方法解决平面几何问题的步骤，即“三步曲”特别是这“三步曲”，要提醒学
13、生理解领悟它的实质，达到熟练掌握的程度2本节都学习了哪些数学方法：向量法，向量法与几何法、解析法的比较，将平面几何问题转化为向量问题的化归的思想方法，深切体会向量的工具性这一特点课本习题2.53、4、6、7.1本节是对研究平面几何方法的探究与归纳，设计的指导思想是：充分使用多媒体这个现代化手段，引导学生展开观察、归纳、猜想、论证等一系列思维活动本节知识方法容量较大，思维含量较高，教师要把握好火候，恰时恰点的激发学生的智慧火花2由于本节知识方法在高考大题中得以直接的体现，特别是与其他知识的综合更是高考的热点问题，因此在实际授课时注意引导学生关注向量知识、向量方法与本书的三角、后续的解析几何内容等
14、知识的交汇，提高学生综合解决问题的能力3平面向量的运算包括向量的代数运算与几何运算相比较而言，学生对向量的代数运算要容易接受一些，但对向量的几何运算往往感到比较困难，无从下手向量的几何运算主要包括向量加减法的几何运算，向量平行与垂直的条件及定比分点的向量式等，它们在处理平面几何的有关问题时，往往有其独到之处，教师可让学有余力的学生课下继续探讨，以提高学生的思维发散能力一、利用向量解决几何问题的进一步探讨用平面向量的几何运算处理平面几何问题有其独到之处，特别是处理线段相等，线线平行，垂直，点共线，线共点等问题，往往简单明了，少走弯路，同时避免了复杂，烦琐的运算和推理，可以收到事半功倍的效果现举几例以供教师学生进一步探究使用1证明线线平行例1如图6，在梯形ABCD中，E，F分别为腰AB，CD的中点图6求证：EFBC，且|(|)证明：连ED，EC，ADBC，可设(0)又E，F是中点，0.且()，而(1)，.EF与BC无公共点，EFBC.又0，|(|)(|
