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1、2.2.3 向量数乘运算及其几何意义疱工巧解牛知识巧学一、向量的数乘1.向量的数乘 一般地，我们规定实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a.它的长度与方向规定如下：(1)|a|=|a|；(2)当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当=0时，a=0.实数与向量的积的定义可以看作是数与数的积的概念的推广，a是一个向量，其长度|a|=|a|，其方向与的符号有关，应注意0a=0而不是实数0.2.向量的数乘的几何意义 由实数与向量积的定义可以看出，它的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩. 当|1时，表示向量a的有向线段在原方向(0)或反方向(0)上
2、伸长了|倍；当|1时，表示向量a的有向线段在原方向(0)或反方向(0)上缩短了|倍.图2-2-343.向量数乘的运算律设、为实数，那么(1)(a)=()a；(2)(+)a=a+a；(3)(a+b)=a+b.学法一得 实数与向量的积的运算律与中学代数运算中实数乘法的运算律很相似.证明这些运算律成立的关键是证明等式两边的向量的模相等，且方向相同.证明：(1)如果=0，=0，a=0中至少有一个成立，则(1)式显然成立.如果0，0，且a0，有|(a)|=|a|=|a|，|()a|=|a|=|a|.|(a)|=|()a|.(2)如果=0，=0，a=0中至少有一个成立，则(2)式显然成立.如果0，0且a0
3、，可分如下两种情况：当、同号时，则a和a同向，所以|(+)a|=|+|a|=(|+|)|a|，|a+a|=|a|+|a|=|a|+|a|=(|+|)|a|，即有|(+)a|=|a+a|.(3)当a=0，b=0中至少有一个成立，或=0，=1时，(3)式显然成立.当a0，b0且0，1时，分如下两种情况： 当0且1时，在平面内任取一点O，作=a，=b，=a，=b，如图2-2-35所示，则=a+b，=a+b.图2-2-35由作法知，有OAB=OA1B1，|=|，=.OABOA1B1.=，AOB=A1OB1.因此，O、B、B1在同一条直线上，|=|，与的方向也相同.(a+b)=a+b.当0时，由图2-2
4、-36可类似证明(a+b)=a+b.图2-2-36(3)式成立.误区警示 分类讨论的思想在数学中既是一个重要的策略思想，也是一个重要的思想方法.很多数学问题不仅在涉及的知识范围上带有综合性，而且就问题本身来说，也受到多种条件的交叉制约，形成错综复杂的局面，很难从整体上着手解决，这时，就从“分割”入手，把“整体”划分为若干个“局部”，转而去解决局部问题，最后达到整体上的解决.这是具有哲学意义的思想方法.分类讨论思想，就是科学合理地划分类别，通过各个击破，再求整体解决(即先化整为零，再聚零为整)的策略思想.类别的划分必须满足互斥、无漏、最简的要求，探索划分的数量界限是分类讨论的关键.二、两向量共线
5、如果向量b与非零向量a共线，那么有且只有一个实数，使得b=a.(1)向量的平行(共线)与直线平行是有区别的，直线平行不包括重合的情况.(2)定理的实质是向量相等，即存在唯一实数使b=a(a0)，应从向量的大小和方向两个方面理解，借助于数量沟通了两个向量b与a的联系.学法一得 定理为解决三点共线和两直线平行问题提供了一种方法，要证三点共线或两直线平行，任取两点确定两个向量，看能否找到唯一的实数使两向量相等.把向量平行的问题转化为寻求实数使向量相等的问题.典题热题知识点一 向量的加法、减法及数乘例1设a、b为向量，计算下列各式.(1)-3a；(2)2(a-b)-(a+b)；(3)(2m-n)a-m
6、b-(m-n)(a-b)(m、n为实数).思路分析：利用向量的加法、向量的减法及数乘向量运算的法则及运算律计算.解：(1)原式=(-3)a=-a；(2)原式=2a-2b-a-b=(2a-a)-(2b+b)=a-b.(3)原式=2ma-na-mb-m(a-b)+n(a-b)=2ma-na-mb-ma+mb+na-nb=ma-nb.知识点二 用向量共线判断三点共线例2 求实数，使得a+b与2a+b共线.思路分析：求未知数的值，可考虑通过挖掘题目的条件，布列含有未知数的方程求解.解：a+b与2a+b共线，存在一个实数，不妨设为m，使得(a+b)=m(2a+b),即(-2m)a+(1-m)b=0.解得
7、=.例3 如图2-2-37所示，在平行四边形ABCD中，=a，=b，M是AB的中点，点N是BD上一点，|BN|=|BD|.求证：M、N、C三点共线.图2-2-37解：=a，=b，=-=a-b.=b+=b+(a-b)=a+b= (2a+b).又=b+a=(2a+b)，.又与有共同起点，M、N、C三点共线.方法归纳 几何中证明三点共线，可先在三点中选择起点和终点确定两个向量，看能否找到唯一的实数使两向量相等，把向量共线问题转化为寻求实数使向量相等的问题.向量共线即向量平行，它与直线(线段)共线不同.知识点三 用向量法解决几何问题例4 求证：三角形两边中点的连线平行于第三边并且等于第三边的一半.图2
8、-2-38如图2-2-38，已知ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点.求证：DEBC,且DE=BC.证明：因为D、E分别是边AB、AC的中点，故=,=.=-= (-)=,而D、E不重合，所以DEBC,且DE=BC.例5 如图2-2-39,在OACB中，BD=BC，OD与BA相交于点E，求证：BE=BA.图2-2-39证明：用向量法证明.设E是线段BA上的一点，且BE=BA，只要证点E、E重合即可.设=a，=b，则=a，=b+a.-b，=a-，3=，=(a+3b)=(b+a).=.O、E、D三点共线.BE=BA.问题探究思想方法探究问题 向量的运算(运算律)与几何图形的性质有紧密的联系，向量
9、的运算(运算律)可以用图形简明地表示，而图形的一些性质又可以反映到向量的运算(运算律)上来.在课本中哪些地方能反映二者的紧密联系？向量作为研究几何问题的工具，有什么特殊的优越性？用向量解决问题有什么明确的步骤吗？探究过程：在课本中有若干例子说明了向量与图形的密切联系，如平行四边形是表示向量加法、减法的几何模型，加法及其交换律a+b=b+a可以表示平行四边形中的对边平行以及三角形全等，这说明，以向量为工具，可以把几何图形、几何变换、向量运算及运算律统一起来.再如平面几何中的共线和平行关系，用向量与实数的乘法来描述.而向量数乘的分配律：k(a+b)=ka+kb可以表示三角形相似.向量数量积可以证明
10、垂直问题. 向量作为研究几何问题的工具，开创了研究几何问题的新方法.由于欧氏几何只依据基本的逻辑原理，而不便用其他工具，只从基本公理出发，通过演绎推理建立几何关系，因此，它给出的几何论证严谨且幽雅，能够给人们极大的美感和享受，但没有一般规律可循，且存在较大的思考难度，往往对人的智力提出极大的挑战.寻求几何研究的工具，以更好地把握图形的性质和规律，推进几何研究的发展成为数学家们的一个理想.自从建立向量运算(运算律)与几何图形之间的关系后，将图形的研究推进到了有效运算的水平，从而实现了综合几何到向量几何的转折.向量运算(运算律)把向量与几何、代数有机地联系在一起.探究结论：用向量方法解决几何问题的
11、基本过程是：首先把一个几何量代数化，即把位移这个基本的几何量加以抽象而得到向量的概念；然后运用欧氏空间特有的平移、全等、相似与勾股定理等基本性质引进向量的加(减)法、向量数乘与数量积这三种运算，并把欧氏几何的直观性与向量的运算(运算律)有机地结合起来，使得直观的几何问题代数化，抽象的运算及运算律直观化，这样就使数与形有机地结合起来.运算和运算律是向量的灵魂，是联结数与形的纽带，它建立了运算(运算律)与几何图形之间的对应关系，使我们能够通过运算来研究几何.误区陷阱探究问题 “已知非零向量a、b、c满足a+b+c=0，表示a、b、c的有向线段一定构成三角形”这个命题是否正确？探究思路：乍一看题目，
12、好像能构成一个三角形，但应注意三角形三边不共线.而题目中所给的三个向量并不一定是不共线的向量，若不注意这一点,则极易得出“命题正确”的错误结论.因此要处理这个问题应从两方面来考虑：三个向量共线与不共线.图2-2-40， 当a、b不共线时，如右图，在平面内取一点O，作=a，=b，由向量的加法可知=a+b，又由已知a+b+c=0，则有c=-(a+b)=-=，取=c则表示a、b、c的有向线段能构成三角形. 当a、b共线时，显然不能构成三角形. 故非零向量a、b、c满足a+b+c=0，表示a、b、c的有向线段不一定构成三角形. 故“已知非零向量a、b、c满足a+b+c=0，表示a、b、c的有向线段一定构成三角形”这个命题不正确.探究结论：这个命题不正确.任务型阅读在江苏高考英语试题中占有较大比重,考题形式以表格形和树状形为主,文章体裁以议论文、说明文为主,文章篇幅往往较长,阅读量大,但结构清晰。该题型综合性很强,思维含量较高,答案既要忠实于原文,又要不局限于原文,原词填空题和词性、词形变换题在逐渐减少,通过归纳总结得出答案的题逐渐增多,另外还有推断作者意图和态度的考题,这必将增加该题型的难度,所以得分一直偏低5
