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1、2.3.2抛物线的几何性质1理解抛物线的简单的几何性质2了解抛物线的简单应用一、抛物线y22px(p0)的几何性质1范围因为p0,由方程y22px(p0)可知,这条抛物线上任意一点M的坐标(x,y)满足不等式_,所以这条抛物线在y轴的_侧;当x的值增大时,|y|也_,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸,它开口向右2对称性以y代y,方程y22px(p0)不变,因此这条抛物线是以x轴为对称轴的轴对称图形抛物线的对称轴叫做抛物线的_3顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的_,在方程y22px(p0)中,当y0时,x0,因此这条抛物线的顶点就是_4离心率抛物线上的点到焦点和准线的距离的比,叫做抛物线的
2、_,用e表示按照抛物线的定义,e_.【做一做1】抛物线y24x的顶点坐标是_,对称轴是_抛物线的性质和椭圆、双曲线的区别:抛物线的离心率等于1,它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴和一条准线它没有中心,通常称抛物线为无心圆锥曲线,而称椭圆和双曲线为有心圆锥曲线二、抛物线四种形式的标准方程在直角坐标平面上,顶点在原点、轴与_重合的抛物线有四种位置情况,因此抛物线的方程相应地有_形式,它们都叫做抛物线的标准方程设抛物线的焦参数为p(p0),抛物线的标准方程的四种形式列表如下:图形标准方程y22px(p0)_(p0)对称轴_顶点原点焦点坐标_准线方程x_图形标准方程x2_x2_对称轴_顶点原点焦点坐
3、标_准线方程y_【做一做2】抛物线x24y的焦点坐标为_,准线方程为_1对以上四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比、分析,其共同点:(1)顶点都为原点;(2)对称轴为坐标轴;(3)准线与对称轴垂直,垂足与焦点分别关于原点对称,它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的;(4)焦点到准线的距离均为p.其不同点:(1)对称轴为x轴时,方程的右端为2px,左端为y2;对称轴为y轴时,方程的右端为2py,左端为x2;(2)开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的正半轴上,方程的右端取正号,开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的负半轴上,方程的右端取负号
4、2只有焦点在坐标轴上,顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程1焦参数p与抛物线的开口之间有什么关系?剖析:p是抛物线焦点到准线的距离,由方程y22px知,对于同一个x的值,p值越大,|y|也越大,不妨说抛物线开口也越大,这样可以较好地理解不同的p值与抛物线开口大小的关系,如图2如何确定抛物线的对称轴和开口方向?剖析:已知抛物线的标准方程,求它的焦点坐标和准线方程时,首先要判断抛物线的对称轴和开口方向一次项的变量若为x(或y),则x轴(或y轴)是抛物线的对称轴,一次项系数的符号决定开口方向例如,抛物线的方程为x24y,则y轴为其对称轴,开口方向和y轴的正方向相反由一次项和开口方向确定抛物线标准方程
5、类型对称轴要看一次项,符号确定开口方向,如果y是一次项,负时向下,正时向上如果x是一次项,负时向左,正时向右题型一 根据方程研究性质【例1】已知抛物线的标准方程如下,分别求出它们的焦点坐标和准线方程(1)x28y;(2)2y27x0.分析:先把所给方程化为标准方程,然后根据抛物线的标准形式,求出p,再根据开口方向,写出焦点坐标和准线方程题型二 求抛物线的标准方程【例2】求符合下列条件的抛物线的标准方程(1)过点(3,2);(2)焦点在直线x2y40上分析:根据已知条件求出抛物线标准方程中的p即可,注意标准方程的形式反思:求抛物线方程常用待定系数法,当抛物线类型不确定时,要注意讨论题型三 抛物线
6、的简单应用【例3】探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分,光源位于抛物线的焦点处,已知灯口圆的直径为60 cm,灯深为40 cm,求抛物线的标准方程和焦点坐标分析:建立适当的坐标系确定抛物线上一点的坐标,从而确定焦参数p,求得其方程反思:解决本题的关键是建立适当的坐标系,求出抛物线的标准方程,进而求出焦点坐标即焦点位置题型四 易错题型【例4】设抛物线y2mx的准线与直线x1的距离为3,求抛物线方程错解:其准线方程为x132,故m8.抛物线方程为y28x.错因分析:错解中没有明确焦点的位置,误认为焦点在x轴的正半轴上1抛物线x216y0的焦点坐标为_,准线方程为_2过点(1,2)的抛物线的标准方程
7、为_3焦点在直线xy1上的抛物线的标准方程为_4设抛物线y2mx的焦点到直线x1的距离为2,则m_.5正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y22px(p0)上,求这个正三角形的边长答案:一、1x0右增大2轴3顶点坐标原点4离心率1【做一做1】(0,0)x轴(直线y0)二、坐标轴四种y22pxx轴x2py(p0)2py(p0)y轴y【做一做2】(0,1)y1典型例题领悟【例1】解:(1)由抛物线的标准方程知抛物线的焦点在y轴的负半轴上,开口向下p4,焦点坐标为(0,2),准线方程为y2.(2)将2y27x0变形为标准方程是y2x.2p,p,开口向左焦点坐标为,准线方程为x.【例2
8、】解:(1)设抛物线的标准方程为y22px或x22py(p0),则将点(3,2)代入方程得2p或2p,故抛物线方程为y2x或x2y.(2)令x0,由方程x2y40得y2.抛物线的焦点为(0,2)设抛物线的标准方程为x22py,则由2,得2p8.所求的抛物线的标准方程为x28y.令y0,由x2y40得x4.抛物线的焦点为(4,0)设抛物线的标准方程为y22px,由4得2p16.所求抛物线的标准方程为y216x.综上,所求抛物线的标准方程为x28y或y216x.【例3】解:在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系,使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与坐标原点重合,x轴垂直于灯口直径,如图所示设抛物线
9、标准方程为y22px(p0),由已知条件可得A点的坐标是(40,30),代入方程,得3022p40,p.所求抛物线的标准方程为y2x,焦点的坐标为.【例4】正解:当m0时,其准线方程为x2,m8,此时抛物线的标准方程为y28x;当m0时,其准线方程为x4,m16,此时抛物线的标准方程为y216x.所求抛物线的标准方程为y28x或y216x.随堂练习巩固1(0,4)y42y24x或x2y3y24x或x24y412或4当m0时,由题意得12,故m12.当m0时,由题意得12,故m4.5解:如图,设正三角形OAB的顶点A,B在抛物线上,且坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),y2px1,y2px
10、2,又|OA|OB|,xyxy,即xx2px12px20.(x1x2)(x1x22p)0.x10,x20,2p0,x1x22p0,x1x2.即A,B两点关于x轴对称,则AOx30.ABx轴,y1x1tan 30x1.又x1,y12p.而|AB|2y14p,即为所求边长任务型阅读在江苏高考英语试题中占有较大比重,考题形式以表格形和树状形为主,文章体裁以议论文、说明文为主,文章篇幅往往较长,阅读量大,但结构清晰。该题型综合性很强,思维含量较高,答案既要忠实于原文,又要不局限于原文,原词填空题和词性、词形变换题在逐渐减少,通过归纳总结得出答案的题逐渐增多,另外还有推断作者意图和态度的考题,这必将增加该题型的难度,所以得分一直偏低5