《高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3 双曲线 2.3.1 双曲线及其标准方程导学案 北师大版选修1-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3 双曲线 2.3.1 双曲线及其标准方程导学案 北师大版选修1-1（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.3.1双曲线及其标准方程学习目标1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.知识点一双曲线的定义思考1如图，取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点应满足怎样的几何条件？答案曲线上的点满足条件：|MF1|MF2|常数；如果改变一下笔尖位置，使|MF2|MF1|常数，可得到另一条曲线.思考2已知点P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点P的轨迹是什么图形？(1)|6；(2)6.
2、答案(1)|表示点P(x，y)到两定点F1(5，0)、F2(5，0)的距离之差的绝对值，|F1F2|10，|PF1|PF2|6|F1F2|，故点P的轨迹是双曲线.(2)表示点P(x，y)到两定点F1(4，0)、F2(4，0)的距离之差，|F1F2|8，|PF1|PF2|60，b0)，点A，B均在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|m，F1为双曲线的左焦点，则ABF1的周长为_.(2)已知双曲线1的左、右焦点分别是F1、F2，若双曲线上一点P使得F1PF260，则F1PF2的面积为_.答案(1)4a2m(2)16解析(1)由双曲线的定义，知|AF1|AF2|2a，|BF1|B
3、F2|2a.又|AF2|BF2|AB|，所以ABF1的周长为|AF1|BF1|AB|4a2|AB|4a2m.(2)由1，得a3，b4，c5.由定义和余弦定理，得|PF1|PF2|6，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60，所以102(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|，所以|PF1|PF2|64，|PF1|PF2|sinF1PF26416.引申探究本例(2)中若F1PF290，其他条件不变，求F1PF2的面积.解由双曲线方程知a3，b4，c5，由双曲线的定义得|PF1|PF2|2a6，所以|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36.在RtF1PF2中
4、，由勾股定理得|PF1|2|PF2|2|F1F2|2(2c)2100.将代入得|PF1|PF2|32，所以|PF1|PF2|16.反思与感悟求双曲线中焦点三角形面积的方法(1)方法一：根据双曲线的定义求出|PF1|PF2|2a；利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；通过配方，利用整体的思想求出|PF1|PF2|的值；利用公式|PF1|PF2|sinF1PF2求得面积.(2)方法二：利用公式|F1F2|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积.特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件|PF1|PF2|2a的变形使用，特别是与|PF1|2|P
5、F2|2，|PF1|PF2|间的关系.跟踪训练1已知F1，F2为双曲线C：x2y22的左，右焦点，点P在C上，|PF1|2|PF2|，则cos F1PF2等于()A. B. C. D.答案C解析由双曲线的定义得|PF1|PF2|2，又|PF1|2|PF2|，|PF2|2，|PF1|4，|F1F2|4，在F1PF2中由余弦定理：cos F1PF2.命题角度2由双曲线定义求轨迹方程例2已知在ABC中，三边长分别为a，b，c，B(1，0)，C(1，0)，求满足sin Csin Bsin A的顶点A的轨迹.解如图所示，sin Csin Bsin A，根据正弦定理，得cba21，即|AB|AC|1|BC
6、|.点A的轨迹符合双曲线的定义.点A的轨迹是以B，C为焦点的双曲线的右支(不包括点A在BC上的情况).反思与感悟定义法求双曲线方程的注意点(1)注意条件中是到定点距离之差，还是差的绝对值.(2)当差的绝对值为常数时要注意常数与两定点间距离的大小问题.(3)求出方程后要注意表示满足方程的解的坐标是否都在所给的曲线上.跟踪训练2已知动圆M与圆C1：(x4)2y22外切，与圆C2：(x4)2y22内切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.1(x) B.1C.1 D.1答案A解析设动圆M的半径为r，则由已知得|MC1|r，|MC2|r，所以|MC1|MC2|2.又C1(4，0)，C2(4，0)，所以|C1
7、C2|8，所以20，b0)，则有解得故所求双曲线的方程为1.方法二由椭圆方程1知焦点在y轴上，设所求双曲线方程为1(1625).因为双曲线过点(2，)，所以1，解得20或7(舍去)，故所求双曲线的方程为1.(2)双曲线经过点M(0，12)，M(0，12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a12.又2c26，c13，b2c2a225.双曲线的标准方程为1.(3)设双曲线方程为mx2ny21(mn0).因为点P(3，)，Q(，5)在双曲线上，所以解得故所求双曲线方程为1.反思与感悟待定系数法求方程的步骤(1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴.(2)设方程：根据焦点位置设出相应
8、的标准方程的形式.若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2By21(AB0，b0)，c，b2c2a26a2.由题意知1，1，解得a25或a230(舍).b21.双曲线的标准方程为y21.(2)设双曲线方程为mx2ny21(mn0).点P(4，2)和点Q(2，2)在双曲线上，解得双曲线的方程为1.(3)椭圆1的焦点坐标为F1(0，3)，F2(0，3)，故可设双曲线的方程为1.由题意，知解得故双曲线的方程为1.类型三由双曲线标准方程求参数例4已知曲线1.(1)当曲线为椭圆时，求m的取值范围，并写出焦点坐标；(2)当曲线为双曲线时，求m的取值范围，并写出焦点坐标.解(1)当曲线为椭圆
9、时，依题意得解得m0，解得0m16，即m的取值范围为(0，16).此时，双曲线的焦点在x轴上，焦点坐标为(4，0).反思与感悟(1)对于方程1，当mn0，n0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m0时表示焦点在y轴上的双曲线.(2)对于方程1，则当mn0时表示双曲线.且当m0，n0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m0，n0时，方程1表示焦点在x轴上的双曲线，a216m，b29m，由c2a2b2，得2516m9m，故m1；当m0时，方程1可化为1，表示焦点在y轴上的双曲线，a29m，b216m，由c2a2b2，得2516m9m，m1.故实数m的值为1或1.1.已知F1(3，3)，F2(3，3)，动点P满足|PF1|PF2|4，则P点的轨迹是()A.双曲线 B.双曲线的一支C.不存在 D.一条射线答案B解析因为|PF1|PF2|4，且41 B.m3 D.1m0得m1.5.与椭圆x25y25共焦点且过点(，1)的双曲线的方程为_.答案
