《高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3 双曲线 2.3.1 双曲线及其标准方程导学案 北师大版选修1-1》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3 双曲线 2.3.1 双曲线及其标准方程导学案 北师大版选修1-1(14页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、2.3.1双曲线及其标准方程学习目标1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.知识点一双曲线的定义思考1如图,取一条拉链,拉开它的一部分,在拉开的两边上各选择一点,分别固定在点F1,F2上,把笔尖放在点M处,拉开或闭拢拉链,笔尖经过的点可画出一条曲线,那么曲线上的点应满足怎样的几何条件?答案曲线上的点满足条件:|MF1|MF2|常数;如果改变一下笔尖位置,使|MF2|MF1|常数,可得到另一条曲线.思考2已知点P(x,y)的坐标满足下列条件,试判断下列各条件下点P的轨迹是什么图形?(1)|6;(2)6.
2、答案(1)|表示点P(x,y)到两定点F1(5,0)、F2(5,0)的距离之差的绝对值,|F1F2|10,|PF1|PF2|6|F1F2|,故点P的轨迹是双曲线.(2)表示点P(x,y)到两定点F1(4,0)、F2(4,0)的距离之差,|F1F2|8,|PF1|PF2|60,b0),点A,B均在双曲线的右支上,线段AB经过双曲线的右焦点F2,|AB|m,F1为双曲线的左焦点,则ABF1的周长为_.(2)已知双曲线1的左、右焦点分别是F1、F2,若双曲线上一点P使得F1PF260,则F1PF2的面积为_.答案(1)4a2m(2)16解析(1)由双曲线的定义,知|AF1|AF2|2a,|BF1|B
3、F2|2a.又|AF2|BF2|AB|,所以ABF1的周长为|AF1|BF1|AB|4a2|AB|4a2m.(2)由1,得a3,b4,c5.由定义和余弦定理,得|PF1|PF2|6,|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60,所以102(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|,所以|PF1|PF2|64,|PF1|PF2|sinF1PF26416.引申探究本例(2)中若F1PF290,其他条件不变,求F1PF2的面积.解由双曲线方程知a3,b4,c5,由双曲线的定义得|PF1|PF2|2a6,所以|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36.在RtF1PF2中
4、,由勾股定理得|PF1|2|PF2|2|F1F2|2(2c)2100.将代入得|PF1|PF2|32,所以|PF1|PF2|16.反思与感悟求双曲线中焦点三角形面积的方法(1)方法一:根据双曲线的定义求出|PF1|PF2|2a;利用余弦定理表示出|PF1|,|PF2|,|F1F2|之间满足的关系式;通过配方,利用整体的思想求出|PF1|PF2|的值;利用公式|PF1|PF2|sinF1PF2求得面积.(2)方法二:利用公式|F1F2|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积.特别提醒:利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题,一是要注意定义条件|PF1|PF2|2a的变形使用,特别是与|PF1|2|P
5、F2|2,|PF1|PF2|间的关系.跟踪训练1已知F1,F2为双曲线C:x2y22的左,右焦点,点P在C上,|PF1|2|PF2|,则cos F1PF2等于()A. B. C. D.答案C解析由双曲线的定义得|PF1|PF2|2,又|PF1|2|PF2|,|PF2|2,|PF1|4,|F1F2|4,在F1PF2中由余弦定理:cos F1PF2.命题角度2由双曲线定义求轨迹方程例2已知在ABC中,三边长分别为a,b,c,B(1,0),C(1,0),求满足sin Csin Bsin A的顶点A的轨迹.解如图所示,sin Csin Bsin A,根据正弦定理,得cba21,即|AB|AC|1|BC
6、|.点A的轨迹符合双曲线的定义.点A的轨迹是以B,C为焦点的双曲线的右支(不包括点A在BC上的情况).反思与感悟定义法求双曲线方程的注意点(1)注意条件中是到定点距离之差,还是差的绝对值.(2)当差的绝对值为常数时要注意常数与两定点间距离的大小问题.(3)求出方程后要注意表示满足方程的解的坐标是否都在所给的曲线上.跟踪训练2已知动圆M与圆C1:(x4)2y22外切,与圆C2:(x4)2y22内切,则动圆圆心M的轨迹方程为()A.1(x) B.1C.1 D.1答案A解析设动圆M的半径为r,则由已知得|MC1|r,|MC2|r,所以|MC1|MC2|2.又C1(4,0),C2(4,0),所以|C1
7、C2|8,所以20,b0),则有解得故所求双曲线的方程为1.方法二由椭圆方程1知焦点在y轴上,设所求双曲线方程为1(1625).因为双曲线过点(2,),所以1,解得20或7(舍去),故所求双曲线的方程为1.(2)双曲线经过点M(0,12),M(0,12)为双曲线的一个顶点,故焦点在y轴上,且a12.又2c26,c13,b2c2a225.双曲线的标准方程为1.(3)设双曲线方程为mx2ny21(mn0).因为点P(3,),Q(,5)在双曲线上,所以解得故所求双曲线方程为1.反思与感悟待定系数法求方程的步骤(1)定型:即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴.(2)设方程:根据焦点位置设出相应
8、的标准方程的形式.若不知道焦点的位置,则进行讨论,或设双曲线的方程为Ax2By21(AB0,b0),c,b2c2a26a2.由题意知1,1,解得a25或a230(舍).b21.双曲线的标准方程为y21.(2)设双曲线方程为mx2ny21(mn0).点P(4,2)和点Q(2,2)在双曲线上,解得双曲线的方程为1.(3)椭圆1的焦点坐标为F1(0,3),F2(0,3),故可设双曲线的方程为1.由题意,知解得故双曲线的方程为1.类型三由双曲线标准方程求参数例4已知曲线1.(1)当曲线为椭圆时,求m的取值范围,并写出焦点坐标;(2)当曲线为双曲线时,求m的取值范围,并写出焦点坐标.解(1)当曲线为椭圆
9、时,依题意得解得m0,解得0m16,即m的取值范围为(0,16).此时,双曲线的焦点在x轴上,焦点坐标为(4,0).反思与感悟(1)对于方程1,当mn0,n0时表示焦点在x轴上的双曲线;当m0时表示焦点在y轴上的双曲线.(2)对于方程1,则当mn0时表示双曲线.且当m0,n0时表示焦点在x轴上的双曲线;当m0,n0时,方程1表示焦点在x轴上的双曲线,a216m,b29m,由c2a2b2,得2516m9m,故m1;当m0时,方程1可化为1,表示焦点在y轴上的双曲线,a29m,b216m,由c2a2b2,得2516m9m,m1.故实数m的值为1或1.1.已知F1(3,3),F2(3,3),动点P满足|PF1|PF2|4,则P点的轨迹是()A.双曲线 B.双曲线的一支C.不存在 D.一条射线答案B解析因为|PF1|PF2|4,且41 B.m3 D.1m0得m1.5.与椭圆x25y25共焦点且过点(,1)的双曲线的方程为_.答案