《高中数学 第三章 基本初等函数（Ⅰ）3.1 指数与指数函数 3.1.1 实数指数幂及其运算教案 新人教B版必修1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第三章 基本初等函数（Ⅰ）3.1 指数与指数函数 3.1.1 实数指数幂及其运算教案 新人教B版必修1（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.1.1 实数指数幂及其运算教学分析在初中，学生已了解了整数指数幂的概念和运算性质从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n次方根的定义，从而把整数指数推广到分数指数，进而推广到有理数指数幂，再推广到无理指数幂，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)等，同时，充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设教学情境，为学生的数学探究与数学思维提供支持三维目标1通过
2、与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质2掌握分数指数幂和根式之间的互化，掌握分数指数幂的运算性质培养学生观察分析、抽象类比的能力3掌握根式与分数指数幂的互化，渗透“转化”的数学思想通过运算训练，养成学生严谨治学、一丝不苟的学习习惯，让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理4能熟练地运用实数指数幂运算性质进行化简、求值，培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力重点难点教学重点：(1)分数指数幂和根式概念的理解(2)掌握并运用分数指数幂的运算性质(3)运用实数指数幂性质进行化简、求值教学难点：(1)分数指数幂及根式概念的理解(2)实数指数幂性质的灵活应用课时安排2
3、课时第1课时导入新课思路1.碳14测年法原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳14，并与氧结合成二氧化碳后进入所有活组织，先为植物吸收，再为动物吸收，只要植物和动物生存着，它们就会不断地吸收碳14在机体内保持一定的水平而当有机体死亡后，即会停止吸收碳14，其组织内的碳14便以约5 730年的半衰期开始衰变并消失对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳14的含量，便可推断其年代(半衰期：经过一定的时间，变为原来的一半)引出本节课题思路2.同学们，我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质，那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的这就是本节的主讲内容，教师板书本节课题推进新课讨论结果：(1)整数指数幂
4、的运算性质：anaaaa，a01(a0)；00无意义；an(a0)；amanamn；(am)namn；(an)mamn；(ab)nanbn.其中n、mN.(2)a2是a10的5次方根；a4是a8的2次方根；a3是a12的4次方根；a5是a10的2次方根实质上a，a，a，a结果的a的指数是2,4,3,5分别写成了，形式上变了，本质没变根据4个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式(分数指数幂形式)(3)利用(2)的规律，5，7，a，x.(4)53的四次方根是5，75的三次方根是7，a7的五次方根是a，xm的n次方根是x.结果表明方根的结果和
5、分数指数幂是相通的(5)如果a0，那么am的n次方根可表示为a，即a(a0，m，nN，n1)综上所述，我们得到正数的正分数指数幂的意义，教师板书：规定：正数的正分数指数幂的意义是a(a0，m，nN，n1)负整数指数幂的意义是怎样规定的？你能得出负分数指数幂的意义吗？你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义？综合上述，如何规定分数指数幂的意义？分数指数幂的意义中，为什么规定a0，去掉这个规定会产生什么样的后果？既然指数的概念就从整数指数推广到了有理指数，那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理指数幂呢？讨论结果：负整数指数幂的意义是：an(a0，nN)既然负整数指数幂的意义是这样规定的，类比正数的正
6、分数指数幂的意义可得正数的负分数指数幂的意义规定：正数的负分数指数幂的意义是a(a0，m、nN，n1)规定：零的分数指数幂的意义是：零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义教师板书分数指数幂的意义分数指数幂的意义就是：有时我们把正分数指数幂写成根式，即(a0，m、nN)，正数的正分数指数幂的意义是(a0，m、nN，n1)，正数的负分数指数幂的意义是(a0，m、nN，n1)，零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义若没有a0这个条件会怎样呢？如1，1具有同样意义的两个式子出现了截然不同的结果，这只说明分数指数幂在底数小于零时是无意义的因此在把根式化成分数指数时，切记要使底数大于零，如
7、无a0的条件，比如式子|a|，同时负数开奇次方是有意义的，负数开奇次方时，应把负号移到根式的外边，然后再按规定化成分数指数幂，也就是说，负分数指数幂在有意义的情况下总表示正数，而不是负数，负数只是出现在指数上规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理指数有理指数幂的运算性质：对任意的有理数r，s，均有下面的运算性质：(1)arasars(a0，r，sQ)，(2)(ar)sars(a0，r，sQ)，(3)(ab)rarbr(a0，b0，rQ)思路1例1求值：(1) ；(2) ；(3)()5；(4).活动：教师引导学生考虑解题的方法，利用幂的运算性质计算出数值或化成最简根式，根据
8、题目要求，把底数写成幂的形式，8写成23,25写成52，写成21，写成()4，利用有理数幂的运算性质可以解答，完成后，把自己的答案用投影仪展示出来解：(1) (2) (3) (4)点评：本例主要考查指数幂的运算，要按规定来解在进行指数幂的运算时，要首先考虑转化为指数运算，而不是首先转化为熟悉的根式运算，如84.变式训练求值：3.解：3333331329.例2用分数指数幂的形式表示下列各式的b.(1)b532；(2)b435；(3)b5n3m(m、nN)活动：学生观察、思考，根据解题的顺序，先化为根式，把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算，根式化为分数指数幂时，要由里往外依次进行，把握好
9、运算性质和顺序，学生讨论交流自己的解题步骤，教师评价学生的解题情况，鼓励学生注意总结解：(1)b；(2)b；(3)b (m，nN)点评：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时，其顺序是先化为根式，再把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式来表示，但结果不能既有分数指数又有根式，也不能既有分母又有负指数.变式训练用分数指数幂的形式表示下列各式中的x.(1)x65；(2)x342；(3)x32.答案：(1)x；(2)x；(3)x思路2例1计算下列各式：(1)()；(2)(a0)活动：先由学生观察以
10、上两个式子的特征，然后分析，化为同底利用分数指数幂计算，在第(1)小题中，只含有根式，且不是同次根式，比较难计算，但把根式先化为分数指数幂再计算，这样就简便多了，第(2)小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算，最后写出解答解：(1) (2)a2a.变式训练求下列各式的值：(1)；(2)2.活动：学生观察以上几个式子的特征，既有分数指数幂又有根式，应把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算，如果根式中根指数不同，也应化成分数指数幂，对(1)应由里往外，对(2)化为同底的分数指数幂例2计算下列各式的值：(1)(ab2)1(ab3)(b)7；(2)；(3)()3.活动：先由学生观察以上三
11、个式子的特征，然后交流解题的方法，把根式用分数指数幂写出，利用指数的运算性质去计算，教师引导学生，强化解题步骤，对(1)先进行积的乘方，再进行同底数幂的乘法，最后再乘方，或先都乘方，再进行同底数幂的乘法，对(2)把分数指数化为根式，然后通分化简，对(3)把根式化为分数指数，进行积的乘方，再进行同底数幂的运算变式训练比较，的大小活动：学生努力思考，积极交流，教师引导学生解题的思路，由于根指数不同，应化成统一的根指数，才能进行比较，又因为根指数最大的是6，所以我们应化为六次根式，然后，只看被开方数的大小就可以了解：因为，而125123121，所以，所以.点评：把根指数统一是比较几个根式大小的常用方
12、法.1(1)下列运算中，正确的是()Aa2a3a6 B(a2)3(a3)2C(1)00 D(a2)3a6(2)下列各式，(各式的nN，aR)中，有意义的是()A B C D(3)()2()2等于()Aa Ba2 Ca3 Da4(4)把根式改写成分数指数幂的形式为()A(ab) B(ab)C(ab) D(ab)(5)化简(ab)(3ab)(ab)的结果是()A6a Ba C9a D9a2计算：(1)0.027()225631(1)0_.(2)设5x4,5y2，则52xy_.3已知xy12，xy9且xy，求的值答案：1.(1)D(2)B(3)B(4)A(5)C2.(1)19(2)83. 因为xy1
13、2，xy9，所以(xy)2(xy)24xy14436108427.又因为xy，所以xy236.所以原式.化简活动：学生观察式子特点，考虑x的指数之间的关系可以得到解题思路，应对原式进行因式分解，根据本题的特点，注意到：活动：教师：本节课同学们有哪些收获？请把你的学习收获记录在你的笔记本上，同学们之间相互交流同时教师用投影仪显示本堂课的知识要点：(1)分数指数幂的意义就是：正数的正分数指数幂的意义是(a0，m、nN，n1)，正数的负分数指数幂的意义是(a0，m、nN，n1)，零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义(2)规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理指数(3)有理指数幂的运算性质：对任意的有理数r、s，均有下面的运算性质：arasars(a0，r、sQ)，(ar)sars(a0，r、sQ)，(ab)rarbr(a0，b0，rQ)(4)说明两点：分数指数幂的意义是一种规定，我们前面所举的例子只表明这种规定的合理性，其中没有推出关系整数指数幂的运算性质对任意的有理指数幂也同样适用因而分数指数幂与根式可以互化
