《高中数学 第一章 三角函数 1.5 正弦函数的性质与图像学案 北师大版必修4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第一章 三角函数 1.5 正弦函数的性质与图像学案 北师大版必修4（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.5正弦函数的性质与图像学习目标重点难点1.会用单位圆中的正弦线作出正弦函数图像2会用“五点法”作正弦函数的图像3掌握正弦函数的图像和性质，并能结合图像加以理解4会求正弦函数的定义域、值域、最值、单调区间、周期，会判断一些函数的奇偶性.重点：“五点法”作正弦函数的图像利用正弦函数的图像和性质求正弦函数的定义域、值域、最值、单调区间、周期，会判断一些函数的奇偶性难点：正弦函数ysin x的图像和性质的应用疑点：怎样求正弦函数的对称轴方程和对称中心.1正弦线及五点法(1)正弦线设任意角的终边与单位圆交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为M，我们称线段MP为角的正弦线(2)五点法用“五点法”作正弦函
2、数ysin x，x0,2的图像的五个点是_、_、_、_、_.它们是正弦曲线与x轴的交点和函数取最大值、最小值时的点预习交流1用“五点法”作ysin x，x0,2的图像应注意哪些问题？2正弦函数的图像和性质函数ysin x图像定义域R值域1,1最值当x2k(kZ)时，ymax1；当x2k(kZ)时，ymin1周期性最小正周期为2奇偶性奇函数单调性在(kZ)上都是增函数，在(kZ)上都是减函数正弦曲线是中心对称图形，其对称中心坐标为(k，0)(kZ)；正弦曲线是轴对称图形，其对称轴方程是xk(kZ)预习交流2(1)用五点法作函数ysin x的图像时，首先应描出的五点的横坐标是_(2)函数y的定义域
3、是_；函数y3sin x1的值域是_，单调递减区间是_答案：1(2)(0,0)(，0)(2，0)预习交流1：提示：(1)明确正弦曲线的结构特征由于用“五点法”作图时精确度较差，因此画图之前要做到心中有图，明确正弦曲线的变化趋势和规律(2)弄清五个关键点的意义其中，平衡点是正弦曲线凹凸方向改变的位置最高点和最低点是正弦曲线上升或下降变化趋势改变的位置(3)熟练画图的步骤首先选取正弦函数的一个周期0,2，再将其四等分，确定五个关键点的位置，最后用平滑曲线连接预习交流2：(1)0，2(2)2,4(kZ)在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点1正弦
4、函数的图像(1)从函数ysin x，x0,2)的图像来看，对应于sin x的x有()A1个值B2个值C3个值D4个值(2)用“五点法”作函数y1sin x(x0,2)的简图1正弦函数ysin x(xR)的图像的一条对称轴是()Ax轴 By轴 C直线x D直线x2用“五点法”作出y2sin x，x0,2的简图作函数yasin xb的图像的步骤2正弦函数的定义域问题求函数y的定义域思路分析：由于所求函数的定义域的解析式中含有根号，又含有对数，须保证被开方数大于等于0，且真数大于0，解答本题时可采用不等式组的形式由里向外把使函数有意义的式子罗列，然后求交集求下列函数的定义域：(1)y；(2)ylog
5、2sin x；(3)ylog.求函数的定义域通常是解不等式组，在求解综合性强的含三角函数的复合函数的定义域时，则常利用数形结合，在函数图像或单位圆中表示，然后取各部分的公共部分(即交集)3正弦函数的值域、最值问题求下列函数的值域：(1)y32sin 2x；(2)ysin2xsin x1，x.思路分析：对于(1)，直接利用ysin x的值域为1，1分析求解；对于(2)，利用换元法，转化为二次函数的区间最值求解求函数ysin xsin2x(xR)的值域求正弦函数的最值或值域的常用方法是：利用sin x的有界性，即|sin x|1；利用换元法转化为二次函数的区间最值问题；化为sin xf(y)的形式
6、，通过|f(y)|1求解4正弦函数的单调性及应用利用正弦函数的单调性，比较下列各对正弦值的大小(1)sin 190与sin 200；(2)sin与sin；(3)sin与sin.思路分析：解答本题的关键是对函数解析式恰当化简，利用ysin x在区间上是增加的来判断函数值的大小不通过求值，指出下列各式大于零还是小于零(1)sin 135sin 144；(2)sinsin；(3)sinsin.1.对正弦函数单调性的理解：(1)正弦函数在定义域R上不是单调函数(2)因为正弦函数是周期函数，周期为2，所以研究正弦函数的单调性，只要研究一个周期内(如0,2)的单调性即可2利用单调性比较三角函数值的大小的步
7、骤：(1)异名函数化为同名函数(2)利用诱导公式把角化到同一单调区间上(3)利用函数的单调性比较大小3求函数的单调区间时，要充分利用正弦函数的递增、递减区间在求复合函数的单调区间时，要先求定义域，同时还要注意内层、外层函数的单调性5三角函数的奇偶性问题判断下列函数的奇偶性(1)f(x)xsin(x)；(2)f(x)；(3)f(x)lg(sin x)思路分析：解答本题要注意以下两个关键问题：(1)先判断定义域是否关于原点对称(2)注意用诱导公式及对数的运算性质变形，判断f(x)与f(x)的关系已知f(x)axbsin3x1(a，b为常数)(1)若g(x)f(x)1，试证明g(x)为奇函数；(2)
8、若f(5)7，求f(5)(1)判断函数奇偶性的方法特别提醒：对于正弦函数要注意诱导公式sin(x)sin x的应用(2)正弦函数的奇偶性问题的求解方法是：首先在所求的区间上设自变量，然后转化到已知条件上来解决答案：活动与探究1：(1)B解析：由图像可知，在0,2)内直线y与函数ysin x有两个交点，故sin x在0,2)内有两个解(2)解：方法一：按五个关键点列表x02ysin x01010y1sin x10121利用正弦函数的性质描点画图(如图)，方法二：可先用“五点法”画ysin x(x0,2)的图像(如上图中的虚线图)，再将其向下平移1个单位也可得到y1sin x，x0,2的图像迁移与
9、应用：1.C2解：列表：x02y2sin x02020描点绘图，如下图活动与探究2：解：为使函数有意义，需满足即由正弦函数的图像(见图(1)或单位圆(见图(2)可得，如图所示所以函数的定义域为.迁移与应用：解：(1)由得1sin x.由正弦函数图像可得，所求函数的定义域为.(2)由sin x0，得2kx2k，kZ.所求函数的定义域是x|2kx2k，kZ(3)由0，得2sin x10，sin x.由正弦函数的图像可得，所求函数的定义域是.活动与探究3：解：(1)1sin 2x1，22sin 2x2.132sin 2x5.函数的值域为1,5(2)ysin2xsin x12.设tsin x，x，由正
10、弦函数的图像知t1.而函数y2在上单调递增，当t，即x时，ymin，当t1，即x时，ymax1.函数的值域是.迁移与应用：解：设sin xt，则t1,1yt2t22.当t1时，ymin；当t时，ymax2.所求函数值域为.活动与探究4：解：(1)sin 190sin(18010)sin 10，sin 200sin(18020)sin 20.ysin x在(0，90)上单调递增，sin 10sin 20，从而sin 10sin 20，sin 190sin 200.(2)ysin x在上单调递增，且，sinsin.(3)sinsinsin，sinsinsin，0，sinsin.sinsin.sin
11、sin.迁移与应用：解：(1)90135144180，且ysin x在(90，180)上单调递减，sin 135sin 144.sin 135sin 1440.(2)0，且ysin x在上单调递增，sinsin.sinsin0.(3)sinsinsinsin，sinsinsin.0，且ysin x在上单调递增，sinsin.sinsin，即sinsin.sinsin0.活动与探究5：解：(1)f(x)xsin x，定义域为R.f(x)xsin(x)xsin xf(x)，函数f(x)为偶函数(2)由2sin x10得sin x，x(kZ)定义域不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数(3)|si
12、n x|sin x，sin x0.函数的定义域为R，关于原点对称又f(x)f(x)lg(sin x)lg(sin x)lg(sin x)(sin x)lg(1sin2xsin2x)lg 10，f(x)f(x)f(x)为奇函数迁移与应用：解：(1)g(x)f(x)1axbsin3x，定义域为R.g(x)a(x)bsin3(x)axbsin3xg(x)，g(x)为奇函数(2)f(x)g(x)1，f(5)g(5)17，g(5)6，f(5)g(5)1g(5)1615.1函数f(x)1sin x的最小正周期是()A. B C. D22函数ysin的定义域是()AR B1,1C. D3,33函数ysin x的值域是()A1,1 B.C. D.4下列两种说法：ysin x在(kZ)上是增函数；ysin x在第一象限内是增函数()A均正确 B对错C对错 D都错5令asin，bsin，则a与b的大小关系是_6用五
