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1、三角函数的图象和性质一、考点突破知识点课标要求题型说明三角函数的图象和性质1. 会画正弦、余弦、正切函数的图象。2. 掌握正弦、余弦、正切函数的性质。填空解答三角函数图象及性质是高考的高频考点,也是学习后面三角知识的基础。二、重难点提示重点:正、余弦函数的图象、性质及“五点法”作图,以及正切函数的图象与性质。难点:正弦、余弦、正切函数的性质及应用,并会运用性质解决简单问题。一、正弦、余弦函数的图象及性质函数正弦函数ysin x,xR余弦函数ycos x,xR图象定义域RR值域1,11,1最值当x2k(kZ)时,ymax1;当x2k(kZ)时,ymin1当x2k(kZ)时,ymax1;当x2k(
2、kZ)时,ymin1周期22奇偶性奇函数偶函数单调性在2k,2k(kZ)上是增函数;在2k,2k(kZ)上是减函数在2k,2k(kZ)上是增函数;在2k,2k(kZ)上是减函数对称轴对称中心二、正切函数的图象及性质函数ytan x图象定义域x|xk,kZ值域R周期奇偶性奇函数单调性在(k,k)(kZ)上都是增函数【核心突破】正切函数是单调递增函数,但不能说函数在定义域内是单调递增函数。函数其定义域由不等式得到,其周期为。正切函数是中心对称图形,对称中心是;不是轴对称图形,没有对称轴。示例:函数y2cos(2x)的对称中心为 。思路分析:本题主要利用正、余弦函数的对称中心与对称轴坐标再结合整体代
3、入的思想求解。答案:ycos x的对称中心为(k,0)(kZ),由2xk,得x(kZ);故y2cos(2x)的对称中心为(,0)(kZ)。技巧点拨:牢记ycos x的对称中心为(k,0)(kZ),且对称中心是点,不要写成xk(kZ)。例题1 求函数ycos2 x2sin x2的值域。思路分析:对于内外两层的复合型函数常采用换元法将其拆分成基础函数模型。故可令tsin x,化成关于x的二次函数求解。答案:令tsin x(xR),则由1sin x1,知1t1,ycos2 x2sin x2sin2x2sin x1t22t1(t1)2(1t1),1t1,2t10,0(t1)24,即4y0,故函数yco
4、s2x2sin x2的值域为4,0。技巧点拨:1. 求解形如yasin2xbsin xc(或yacos2xbcos xc),xD的函数的值域或最值时,通过换元,令tsin x(或cos x),将原函数转化为关于t的二次函数,利用配方法求值域或最值即可,求解过程中要注意tsin x(或cos x)的有界性。2. 求最值时要注意三角函数的定义域,在定义域内求值域,尤其要注意题目中是否给定了区间。例题2 比较tan 1,tan 2,tan 3的大小。思路分析:把各角化归到同一单调区间内,再利用函数的单调性进行比较。答案:tan 2tan(2),tan 3tan(3),又2,20,3,30,显然231
5、,且ytan x在(,)内是增函数,tan(2)tan(3)tan 1,即tan 2tan 3tan 1。技巧点拨:比较三角函数值的大小时,若函数名不同,一般应先化为同名三角函数,再运用诱导公式把它们化到同一单调区间上,以便运用函数的单调性进行比较。重视数形结合思想的运用【满分训练】函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点,则的取值范围是 。思路分析:该题是图象的交点的个数问题,从“图形”的角度加以解决。即画出函数图象解决。答案:如图,则的取值范围是。技巧点拨:方程的根的个数和图象的交点的个数是一类问题,解决这类问题从两个角度解决。第一从方程的角度解决,即解方程,方程有几个根即有几个解或几个交点。如果方程不会解或方程含参数不好解,这时采用第二种方法,构造函数,从图形的角度解决问题。在构造函数时,往往参变分离,使其一个函数为定函数,另一个函数为简单的“动”函数。任务型阅读在江苏高考英语试题中占有较大比重,考题形式以表格形和树状形为主,文章体裁以议论文、说明文为主,文章篇幅往往较长,阅读量大,但结构清晰。该题型综合性很强,思维含量较高,答案既要忠实于原文,又要不局限于原文,原词填空题和词性、词形变换题在逐渐减少,通过归纳总结得出答案的题逐渐增多,另外还有推断作者意图和态度的考题,这必将增加该题型的难度,所以得分一直偏低3