《高中数学 第一章 三角函数 1.6 三角函数模型的简单应用同步优化训练 新人教A版必修4》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学 第一章 三角函数 1.6 三角函数模型的简单应用同步优化训练 新人教A版必修4(7页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、1.6 三角函数模型的简单应用5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.函数y=sinx的图象( )A.关于x轴对称 B.关于原点对称C.关于y轴对称 D.不具有对称性解析:sin-x=sinx,y=sinx为偶函数,故y=sinx的图象关于y轴对称.答案:C2.初速度为v0,发射角为,则炮弹水平移动的距离s与v0之间的关系式(t是飞行时间)为( )A.s=|v0t| B.s=|v0|sintC.s=|v0|sint|g|t2 D.s=|v0|cost解析:由速度的分解可知炮弹水平移动的速度为v0cos,如图,故炮弹水平移动的距离为|v0|cost.答案:D3.在200米高山顶上,测得山下一塔顶
2、与塔底的俯角分别为30、60,则塔高为( )A.米 B.米 C.米 D.米解析:如图,设塔高为h米,则200tan30=(200-h)tan60,h=米.答案:A10分钟训练(强化类训练,可用于课中)1.图1-6-1中哪一个图象准确描述了某物体沿粗糙斜面滑下时的加速度a和斜面倾斜角之间的关系(摩擦因数不变)( )图1-6-1解析:由物理知识可知,当斜面倾斜角比较小时,物体处于静止状态,加速度为0.故排除选项A、B.根据受力分析,受到的合外力F=mgsin-mgcos.a=g(sin-cos)=sin(-)(其中tan=).故选D项.答案:D2.如图1-6-2所示,有一广告气球,直径为6 m,放
3、在公司大楼上空,当行人仰望气球中心的仰角BAC=30时,测得气球的视角为=1,若很小时,可取sin,试估算BC的值约为( )图1-6-2A.70 cm B.86 cm C.102 cm D.118 cm解析:1=.在RtACD中,AC=.在RtABC中,AC=.=.BC=386.答案:B3.图1-6-3是一弹簧振子作简谐运动的图象,横轴表示振动的时间,纵轴表示振动的位移,则这个振子振动的函数解析式是_.图1-6-3解析:设函数解析式为y=Asin(x+),则A=2,由图象可知T=2(0.5-0.1)=,=,0.1+=.=.函数的解析式为y=2sin(x+).答案:y=2sin(x+)4.甲、乙
4、两楼相距60米,从乙楼望甲楼顶的仰角为45,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30,则甲、乙两楼的高度分别为_.解析:如图,甲楼的高度AC=AB=60米,在RtCDE中,DE=CEtan30=60.乙楼的高度为BD=BE-DE=米.答案:5.一树干被台风折成60角,树干底部与树尖着地处相距20米,树干原来的高度为_.解析:如图,BC=20tan30=,AB=,所以树干原来的高度为AB+BC=(米).答案:米6.如图1-6-4,某人身高a=1.77米,在黄浦江边测得对岸的东方明珠塔尖的仰角=75.5,测得在黄浦江中塔尖倒影的俯角=75.6,求东方明珠的塔高h.图1-6-4解:设黄浦江的宽为b米,则btan
5、=h-a,btan=h+a.消去b得h=a=a.当=75.5,=75.6,a=1.77米时,h=490.1米.30分钟训练(巩固类训练,可用于课后)1.一剪刀剪出一条正弦曲线.把一张纸卷到圆柱形的纸筒面上,卷上几圈.用剪刀斜着将纸筒剪断,再把卷着的纸展开,你就会看到:纸的边缘线是一条波浪形的曲线. 你知道吗?这条曲线就是正弦曲线!请你来证明这一事实.证明:如图(1),设纸筒底面半径为1单位长,截面(椭圆面)与底面所成的二面角为(定值),截口的中心为O.(1)过O作圆柱的直截面,交截口曲线于两点.取其中一点为O,在过点O且与圆柱侧面相切的平面内,以点O为坐标原点建立直角坐标系,使得Oy轴是圆柱的
6、一条母线.设点P是截口曲线上任意一点,点Q是点P在O所在平面内的射影,过Q作QHOO,垂足为H,连结PH,则PHQ是截面与底面所成二面角的平面角,所以PHQ=.又设QOO=(变量).在图(2)中,设P点坐标为(x,y),以下分别计算P点的横坐标和纵坐标.(2)x=OQ=,y=QP=QP=QHtan,而在RtQHQ中,QH=sin,所以y=tansin.令A=tan(定值),则有y=Asin.这就证明了截口曲线是一条正弦曲线.2.水车问题.水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具,图1-6-5是一个水车的示意图,它的直径为3 m,其中心(即圆心)O距水面1.2 m.如果水车每4 min逆时针转3圈
7、,在水车轮边缘上取一点P,我们知道在水车匀速转动时,P点距水面的高度h(m)是一个变量,显然,它是时间t(s)的函数.我们知道,h与t的函数关系反映了这个周期现象的规律.为了方便,不妨从P点位于水车与水面交点Q时开始记时(t=0).首先,设法用解析式表示出这个函数关系,并用“五点法”作出这个函数在一个周期内的简图.图1-6-5其次,我们讨论如果雨季河水上涨或旱季河流水量减少时,所求得的函数解析式中的参数将发生哪些变化?若水车转速加快或减慢,函数解析式中的参数又会受到怎样的影响?解:不妨设水面的高度为0,当P点旋转到水面以下时,P点距水面的高度为负值.如图,设水车的半径为R,R=1.5 m,水车
8、中心到水面的距离为b,b=1.2 m;QOP为;水车旋转一圈所需的时间为T;单位时间(s)旋转的角度(rad)为.过P点向水面作垂线,交水面于M点,PM的长度为P点的高度h.过水车中心O作PM的垂线,交PM于N点,QON为.从图中不难看出:h=PM=PN+NM=Rsin(-)+b. 用表示单位时间(s)内水车转动的角度(rad),这样,在t时刻水车转动的角度为:=t.因为单位时间内水车转动的角度是,所以转一圈所用的时间T=.又由于水车轮每4 min转3圈,水车旋转一圈所需时间为T=80 s,可求出= rad/s.从图中可以看出:sin=,所以53.10.295 rad.把这些参数代入,我们就可
9、以得到h=1.5 sin(t-0.295)+1.2(m), 这就是P点距水面的高度h关于时间t的函数关系式.因为当P点旋转到53.1时,P点到水面的距离恰好是1.2(m),此时t=11.8(s).故可列表、描点,画出函数在区间11.8,918.上的简图:t11.831.851.871.891.8h=1.5sin(t-0.295)+1.2(m)1.22.71.2-0.31.2如果雨季河水上涨或旱季河流水量减少,将造成水车中心O与水面之间的距离发生改变,而使函数解析式中所加参数b发生变化.水面上涨时,参数b减小;水面回落时,参数b增大.如果水车轮转速加快,将使周期T减小;转速减慢,则使周期T增大.
10、3.三角函数的叠加问题.在交流电、简谐振动及各种“波”等问题的研究中,三角函数发挥了重要的作用.在这些实际问题中,经常会涉及“波”的叠加,在数学上常常可以归结为三角函数的叠加问题.设y1=3sin(2t+),y2=4sin2t表示两个不同的正弦“波”,试求它们叠加后的振幅、周期.解:它们叠加后的函数是:y=y1+y2=3sin(2t+)+4sin2t=3cos2t+4sin2t=(cos2t+sin2t)=5sin(2t+)(其中tan=).所以,叠加后的函数的振幅为5,周期仍为,即叠加后的“波”的振幅为5,周期仍为.4.电流I随时间t变化的关系式是I=Asin t,t0,+).设=10 ra
11、d/s,A=5.(1)求电流I变化的周期;(2)当t=0,(单位s)时,求电流I.解:(1)周期为=.(2)把t、A值分别代入,求出I值.当t=0时,I=0;当t=时,I=5sin;当t=时,I=5sin;当t=时,I=5sin;当t=时,I=5sin.5.弹簧振子的振动是简谐运动,下表给出了振子在完成一次全振动的过程中的时间t与位移s之间的对应数据,根据这些数据求出这个振子的振动函数解析式.t0t02t03t04t05t06t07t08t09t010t011t012t0s-20.0-17.8-10.10.110.317.720.017.710.30.1-10.1-17.8-20.0解:根据已
12、知数据作出散点图:由散点图的形状可知:弹簧振子的位移与时间的关系可用s=Asin( t+)来刻画.由图知A=20. =6t0.T=12t0.=.于是s=20sin(+).又图象过(6t0,20)点,+=.=-.s=20sin(-).t0,+).6.某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900,其总量在此两值之间依正弦曲线变化.(1)画出种群数量关于时间变化的图象;(2)求出种群数量关于时间t的函数表达式(其中t以年初以来的月为计量单位).解:(1)种群数量关于时间变化的图象如图所示:(2)设表示该曲线的三角函数为y=Asin(x+)+k,由已知平均数量为800,最高数量与最低数量之差为
13、200,数量变化周期为12个月,所以振幅A=100,即=,k=800.又7月1日种群数量达到最高,6+=.=-.种群数量关于时间t的函数表达式为y=100sin(t-3)+800.快乐时光聪明的乡下人 一个城里人与一个乡下人同坐火车城里人说:“咱们打赌吧!谁问一样东西,对方不知道,就付一块钱”乡下人说:“你们城里人比我们乡下人聪明,这样赌我要吃亏这样吧,要是我问,你不知道,你输给我一块钱;你问,我不知道,我输给你半块钱”城里人自恃见多识广,觉着吃不了亏,就答应了乡下人问:“什么东西三条腿在天上飞?”城里人答不上来,输了一块钱之后,城里人向乡下人问了同样的问题“我也不知道”乡下人老实地承认,“这半块钱给你”任务型阅读在江苏高考英语试题中占有较大比重,考题形式以表格形和树状形为主,文章体裁以议论文、说明文为主,文章篇幅往往较长,阅读量大,但结构清晰。该题型综合性很强,思维含量较高,答案既要忠实于原文,又要不局限于原文,原词填空题和词性、词形变换题在逐渐减少,通过归纳总结得出答案的题逐渐增多,另外还有推断作者意图和态度的考题,这必将增加该题型的难度,所以得分一直偏低7