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1、中南民族大学毕业论文(设计)学院: 数学与统计学学院 专业: 统计学 年级:2008 题目: 行列式计算的若干方法 学生姓名: 曹金金 学号:08067005 指导教师姓名: 汪宝彬 职称:讲师 2012年4月30日16中南民族大学本科毕业论文（设计）原创性声明本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果.除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品.本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担. 作者签名： 年 月 日 目 录摘要1关键词1Abstract 1Key words11 引言22.1排列22.2行列式的定义22
2、.2.1 二阶、三阶行列式22.2.2 n阶行列式的定义32.2.3 几种特殊的行列式的定义32.3 行列式的基本性质53几种常见的行列式的计算方法63.1利用行列式定义直接计算63.2 利用行列式的性质计算63.3 三角化法73.4 降阶法83.5利用范德蒙德行列式求解103.6 数学归纳法113.7 拆项法123.8析因子法133.9 加边法(升阶法)133.10递推公式法143.11超范德蒙行列式法153.12利用分块计算行列式164 结论16致 谢17参考文献17 行列式计算的若干方法摘要：在线性代数中,行列式的求解是非常重要的. 本文首先介绍行列式的定义与性质；然后通过实例给出了计算
3、行列式的几种方法.从文中可以看出，选择合适的计算方法可有效的计算行列式.关键词：行列式；性质；计算方法 Some Methods of Determinant CalculationAbstract: Determinant plays an important role in the linear algebra. In this paper we first introduce the definition and properties of determinant. Then several methods of the calculation are given by some exa
4、mples. It can be seen from the paper that choose the appropriate calculation method can efficiently compute the determinant.Key words: determinant; property; the calculation methods1 引言 行列式最早出现在十六世纪关于线性方程组的求解问题，时至今日行列式的应用却远不如此，它在消元法，矩阵论，坐标变换，多重积分中的变量替换，解行星运动的微分方程组，二次型有广泛应用，其中行列式的计算是个重要问题.利用行列式的性质与计算
5、方法的技巧较易地解决初等数学中的一些较繁与较难解决的问题, 如运用行列式分解因式, 证明等式与不等式, 以及在几何方面的应用, 从而体现用高等数学理论与方法解决初等数学问题的优越性.线性代数在各门学科中占据着重要地位，在大多数的理工科专业都开设这个课程，是所有理工科的基础学科，而行列式在线性代数里是最为基础且最重要的一章.行列式是研究线性代数的有力手段和重要工具，主要应用在线性方程组、二次型、矩阵的计算求解中，例如求解线性方程组、求矩阵的秩、判断向量线性相关、求矩阵的特征值等.许多实际和理论问题归结为行列式计算.因此，行列式尤为重要，跟其他理工学科相辅相成，然而行列式的计算往往是极为复杂的，求
6、解行列式的算法要比解线性方程组的算法要少得多，所以在实际运用中，我们要掌握各种计算行列式的方法，寻求最优算法来计算行列式，从而解决各种实际问题. 行列式计算的基本思想：对于某些特殊的行列式可以直接利用行列式的定义计算.对于一般的行列式，我们主要有下面两种计算思想：利用行列式的性质进行行列式的初等变换,将其划为上(或下)三角形行列式,进而得到结果.利用行列式按行(列)展开定理进行降阶和递推.在典型的计算过程中一般两种方法同时应用,先利用性质化出尽可能多的零元素,然后再利用行(列)展开定理降阶,化为低阶行列式进行计算. 本文将介绍行列式的定义以及性质，通过介绍行列式计算的基本方法利用行列式定义直接
7、计算、利用行列式的性质计算、三角形化法、降阶法、利用特殊行列式、数学归纳法、拆项法、析因子法、加边法、递推法、超范德蒙行列式法等.再应用实例计算行列式，理论和应用相结合，较全面的介绍行列式的几种计算方法.2 行列式的定义及性质2.1排列定义1 由个不同自然数组成的一个有序数组称作为级排列，级排列的总数为定义2 在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的大于后面的数，那么它们就为一个逆序.一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数.定义3 逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列.2.2行列式的定义2.2.1 二阶、三阶行列式行列式是代数式的简要记号，如下： （
8、2-1） （2-2）分别是二阶、三阶行列式，两式的左端表示行列式的记号，右端是行列式的全面展开式.行列式的元素有两个下标，分别称为行标和列标.如表示该元素位于第3行、第2列.从上面的二级行列式和三级行列式的定义中可以看出，行列式的结果都是由一些乘积的代数和，而且每一项乘积都是由行列式中位于不同的行和不同的列中的元素组成，并且所有的展开式恰好是由所有这种可能的乘积组成.每一项乘积所带的符号是由排列的逆序数奇偶性原则决定的（当排列的逆序数为偶排列时，在三级行列式的展开式定义中，该项带有正号，当排列的逆序数为奇排列时，在三级行列式的展开式定义中，该项带有正号）.2.2.2 n阶行列式的定义 （2-3
9、）其中 表示对所有 阶排列 的种数进行相加，共有项2.2.3 几种特殊的行列式的定义 在行列式计算中，往往会将行列式转换成具有特殊形式的行列式，再进行计算，因此熟悉和掌握这些特殊行列式及其计算公式对提高计算行列式的技巧和效率是非常重要的.（1） 上(下)三角行列式等于它主对角线元素的乘积. ； . （2-4） （2）对角行列式等于它的主对角线元素的乘积，. （2-5）（3）副对角线下(上)边的元素全为0的行列式 ； （2-6） （2-7） （4）阶范德蒙德行列式 （2-8）称为范德蒙德（Vandermonde）行列式，其中表示连乘.范德蒙德行列式的特点： 第一行全为1； 第二行的各个数各不相同
10、； 后一行与前一行对应列的比值等于第二行对应列的元素; 范德蒙德行列式为零的充要条件是这个数中至少有两个相同.（5） 箭形行列式设，则. （2-9）若存在某个或某些对角元可对行进行降阶处理，箭形行列式有以下几个形式： 这几个形式的都可类似方法化为三角行列式进行计算.（6）分块上(下)三角行列式等于它的主对角线上各方阵的行列式的乘积分块上三角行列式，又称为上块(准)三角行列式：. （2-10）其中对角块为阶行列式，且，为行列式的阶，特别地，当，时成立：分块下三角行列式，又称为下块(准)三角行列式：. （2-11） （7）分块对角方阵的行列式等于主对角线上各方阵的行列式的乘积 . （2-12）2.
11、3 行列式的基本性质性质1 行列式的行与列对应互换得到的新行列式，记作 （2-13）性质2 任意对换行列式的两行（或两列）元素，其值变号.性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式.推论 两行（或两列）元素对应相同或者有一行（或列）全为零的行列式，其值为零.性质4 行列式中若有两行（或两列）对应元素成比例，其值为零性质5 行变换与列变换行列式的值不变.性质6下列行列式成立 （2-14）3几种常见的行列式的计算方法3.1利用行列式定义直接计算例1计算行列式解: 中不为零的项用一般形式表示为. （3-1）该项列标排列的逆序数t（n1 n21n）等于，故 （3-2） 3.2 利用行列式的性质计算例2一个n阶行列式的元素满足 （3-3） 则称为反对称行列式，证明奇数阶反对称行列式为零.证明：由知，即故行列式可表示为由行列式的性质 （3-4）当n为奇数时，得，因而得 3.3 三角化法 运用行列式的性质把行列式变换成位于主对角线一侧的所有元素全等于零，这样得到的行列式等于主对角线上元素的乘积，对于次对角线上的情形，行列式的值等于与次对角线上所有元素的乘积.例3计算行列式 解：把每行均加至第一行, 提出公因式,再把第一行的-a倍分别加到第二行至第n行,得例4计算阶行列式解：利用性质7对行列式做变换，依次将第行乘加到第行
