（多自由度系统的振动）

《（多自由度系统的振动）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（多自由度系统的振动）（132页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、上次课内容回顾,1.完整约束系统的Lagrange方程的具体形式,系统不存在粘性阻尼时,系统存在粘性阻尼时,上次课内容回顾,2.利用Lagrange方程建立系统运动微分方程的步骤, 判断系统的自由度数目，选定系统的广义坐标;, 以广义坐标及广义速度来表示系统的动能,势能和耗散函数；, 将以上各量代入Lagrange方程，即得到系统的运动方程.,上次课内容回顾,在计算动能和势能的时候必须精确到二阶小量。方同著振动理论及应用,4. 微振动假设下的注意事项,3. 用Lagrange方程建立系统运动微分方程的优点,不用做隔离体的受力分析,免去处理约束力, 是建立复杂离散 系统运动微分方程的首选方法；,

2、即可用于线性系统，也可用于非线性系统。,多自由度系统的振动,第三章,与单自由度系统相比，多自由度振动系统带来的一些变化有：,系统的固有频率不是一个，而是多个；,引入了固有振型的概念；固有振型关于质量和刚度矩阵的加 权正交性是线性振动理论的精髓；,在研究方法上大量使用线性代数和矩阵理论方面的知识；,第三章：多自由度系统的振动分析,1.预备知识线性代数与矩阵理论,2.多自由度系统的固有振动,第一讲：,第三章：多自由度系统的振动分析,预备知识线性代数与矩阵理论,【代数余子式】,已知 为一矩阵,则 的余子式定义为:划掉 所在的第 行 和第 列的元素,剩下的元素组成的矩阵的行列式,计作,则 的代数余子式

3、=,已知:,预备知识线性代数与矩阵理论,【矩阵的行列式的计算】,定理：任意方阵的行列式等于它的任一行或任意列的各元素与其对应 的代数余子式乘积的和。,已知：,则：,已知：,则：,预备知识线性代数与矩阵理论,【矩阵转置】,将矩阵 的行、列互换所得到的矩阵就是 的转置矩阵，用 表示。,矩阵的转置满足以下规律：,【矩阵的逆】,预备知识线性代数与矩阵理论,如果一个矩阵的行列式等于0，这个矩阵就称为奇异矩阵。,【奇异矩阵】,预备知识线性代数与矩阵理论,【分块矩阵的乘积】,【半正定矩阵】,【正定矩阵】,预备知识线性代数与矩阵理论,【线性相关与线性无关】,定义 向量 线性相关指的是：存在不全为零的数 使,定

4、义 向量 线性无关指的是：仅当 才使,也就是说，若,则必有,预备知识线性代数与矩阵理论,【线性代数方程组的解】,预备知识线性代数与矩阵理论,【特征值与特征向量】,剪切变换前后的蒙娜丽莎图像,推论：如果向量 是 的属于特征值 的特征向量，则 （ 为任意常数）也是 的属于特征值 的特征向量。,如何求特征值和特征向量？,预备知识线性代数与矩阵理论,【内积】,【正交】,预备知识线性代数与矩阵理论,【二次型】,它可以表示为如下矩阵相乘的形式,返回,1. 同步振动是否存在？,假设系统存在这样的振动，系统的位移可写作:,多自由度系统的固有振动,多自由度系统的固有振动,2.多自由度系统的固有振动,多自由度系统

5、的固有振动,固有频率（模态频率）,固有振型（模态振型）,多自由度系统的固有振动,第一阶固有振动,第二阶固有振动,第N阶固有振动,固有振动,多自由度系统的固有振动,多自由度系统的固有振动,周边固支鼓膜的各阶固有振动,从物理上看：第i阶固有振型向量 中的一列元素，就是系统做第i阶固有振动时各个坐标上位移（或振幅）的相对比值， 描述了系统做第i阶固有振动时具有的振动形态，称为第i阶固有振型。虽然各个坐标上振幅的精确值并没有确定，但是所表现的系统的振动形态已经确定。,如何理解固有振型,从数学上看：固有振型是广义特征值问题的特征向量；,【问题】在已知固有频率求固有振型时,所得到的N个线性方程中有几个是独

6、 立的?,多自由度系统的固有振动,【例】设图中二自由度系统的物理参为 , , ,确定系统的固有振动.,系统运动方程：,多自由度系统的固有振动,固有振动：,多自由度系统的固有振动,固有频率和固有振型,固有振动,固有振动就是系统以某一阶固有频率为振动频率,以该阶固有振型向量为振动形态的简谐振动。,内容回顾,1.理解固有振型,第二讲：,2.固有振型的正交性,3.固有频率为零的情况,第三章：多自由度系统的振动分析,从物理上看：第i阶固有振型向量 中的一列元素，就是系统做第i阶固有振动时各个坐标上位移（或振幅）的相对比值， 描述了系统做第i阶固有振动时具有的振动形态，称为第i阶固有振型。虽然各个坐标上振

7、幅的精确值并没有确定，但是所表现的系统的振动形态已经确定。,如何理解固有振型,从数学上看：固有振型是广义特征值问题的特征向量；,理解固有振型,图 膜的各阶固有振型,理解固有振型,【问题】在已知固有频率求固有振型时,所得到的N个线性方程中有几个是独 立的?,图 一杯热咖啡的某阶固有振动（大约20Hz）,理解固有振型,【题】 ：图示的三自由度系统，试计算系统的固有频率和固有振型。,理解固有振型,广义特征值问题:,特征方程:,固有频率:,理解固有振型,理解固有振型,理解固有振型,理解固有振型,理解固有振型,返回,理解固有振型,1.固有振型的归一化,固有振型的正交性,按某一自由度的幅值归一化,都是固有

8、振型向量,按模态质量归一化,特点：一眼可以看出某阶固有振动振动最大的部位,特点：理论推导，分析方便,按自由度中最大幅值归一化：,固有振型的正交性,固有振型的正交性,2. 固有振型关于质量矩阵和刚度矩阵的加权正交性,固有振型关于刚度矩阵加权正交,固有振型关于质量矩阵加权正交,(1),(2),(1) 减 (2)，得,固有振型的正交性,固有振型关于质量矩阵的加权正交性,固有振型关于刚度矩阵加权正交性,当 时,当 时,当 时,当 时,固有振型的正交性,加权正交性的简洁表示,固有振型的正交性,试证：固有振型按模态质量归一化后，固有振型的加权正交条件变为：,固有振型的正交性,3. 固有振型的线性无关性,所

9、以，诸 线性无关。,只要证明满足上式的 必全为零就可以了,返回,固有振型的正交性,4. 固有频率为零的情况,固有频率为零的情况,零固有频率所对应的固有振型，称为刚体模态振型。,刚体模态多存在于无约束的悬浮结构，如飞机等。,举例,图 无约束三自由度系统,固有频率为零的情况,固有频率为零的情况,固有频率为零的情况,固有频率为零的情况,上次课内容回顾,从物理上看：第i阶固有振型向量 中的一列元素，就是系统做第i阶固有振动时各个坐标上位移（或振幅）的相对比值， 描述了系统做第i阶固有振动时具有的振动形态，称为第i阶固有振型。虽然各个坐标上振幅的精确值并没有确定，但是所表现的系统的振动形态已经确定。,理

10、解固有振型,从数学上看：固有振型是广义特征值问题的特征向量；,固有振型关于质量矩阵和刚度矩阵的加权正交性,【特征向量的计算】,当 不是特征方程的重根时,上述N个方程中，只有N-1个方程是独立的,上次课内容回顾,第三讲：,1.运动耦合,无阻尼系统的自由振动（三）,3.无阻尼系统的自由振动,2.展开定理与模态坐标变换,4.课堂练习,运动耦合,1. 运动耦合,运动耦合,返回,展开定理与模态坐标变换,1. 展开定理,自由度系统的 个模态振型向量 构成了 维线性空间的正交基。,维空间中的任何一个向量都可以表示成这组基的线性组合，即,系数 反映了各阶模态振型向量在构成向量 时的参与程度。,2. 模态坐标变

11、换,返回,无阻尼系统的自由振动,1. 两个重要公式,令模态矩阵为 则：,2. 无阻尼系统的自由振动,无阻尼系统的自由振动,模态坐标系下的运动方程,无阻尼系统的自由振动,实际计算中，为了避免求解上式中的固有振型矩阵之逆，可采用关于模态质量归一化的固有振型矩阵，此时有 。,自由振动：,无阻尼系统的自由振动,解:,固有频率：,固有振型：,例: 设图中卡车拖车系统在 时静止， 时一汽车迎面与卡车相撞后立即反弹脱离，卡车受到冲量 作用，试确定 后卡车拖车系统的响应。,无阻尼系统的自由振动,无阻尼系统的自由振动,无阻尼系统的自由振动,无阻尼系统的自由振动,1. 模态坐标变换,2.求解多自由度无阻尼系统的自

12、由振动的步骤（模态叠加法）,(1) 求系统的固有频率和固有振型,(3) 求各模态位移响应,(4) 返回到物理坐标系,无阻尼系统的自由振动（小结）,无阻尼系统的自由振动（小结）,返回,课堂练习,课堂练习,第四讲：,习题课,第三章：多自由度系统的振动分析,1. 模态的概念,模态mode是指一种运动模式。,模态参数有：模态频率、模态振型、模态质量、模态刚度、模态阻尼等。,上次课内容回顾,2. 运动耦合,物理坐标系下多自由度系统的运动方程肯定是存在耦合的。,3. 模态坐标变换,上次课内容回顾,4. 无阻尼系统的自由振动模态叠加法,第五讲：,1.无阻尼系统的受迫振动频域分析,2.无阻尼系统的受迫振动时域

13、分析,第三章：多自由度系统的振动分析,是简谐激励,是任意激励,1.系统在简谐激励下的响应,无阻尼系统的受迫振动频域分析,动刚度矩阵,系统在简谐激励下的响应:,无阻尼系统的受迫振动频域分析,位移频响函数矩阵,2.频响函数矩阵的模态展开式,无阻尼系统的受迫振动频域分析,频响函数矩阵的模态展开式揭示了频响函数与模态参数之间的关系，从而为模态参数识别提供了一种有效的途径。,3.振,振的定义：,无阻尼系统的受迫振动频域分析,无阻尼系统的受迫振动频域分析,振频率的确定: 频响函数的零点所对应的频率,无阻尼系统的受迫振动频域分析,振频率的计算：,例：确定图示系统频响函数 和 的振频率。,解:,(a) 确定

14、的振频率,无阻尼系统的受迫振动频域分析,进一步分析质量块1,3 的运动:,无阻尼系统的受迫振动频域分析,进一步分析质量块2,3的运动:,(b) 确定 的振频率,无阻尼系统的受迫振动频域分析,练习 设刚度系数为 的弹簧支承的物体 上受到简谐力 的激励.此物体上安装由小物体 和刚度系数为 的弹簧组成的吸振器. 试证明:在一定条件下吸振器能消除 物体的受迫振动.,无阻尼系统的受迫振动频域分析,无阻尼系统的受迫振动时域分析,基本思路：1.利用模态叠加法求系统的零初始状态下的 单位脉冲响应矩阵,1.系统在任意激励下的响应,2. 系统对任意激励下的响应用Duhamel积分求得,(1) 利用模态叠加法求零初

15、始状态下的单位脉冲响应矩阵,无阻尼系统的受迫振动时域分析,解模态坐标系下的运动方程，得到模态位移,第二步:,无阻尼系统的受迫振动时域分析,回到物理坐标系中，得到物理坐标系下的位移,第三步:,无阻尼系统的受迫振动时域分析,（初始条件为零）,（2） 系统对一般激励下的响应用Duhamel积分求得,（初始条件不为零）,无阻尼系统的受迫振动时域分析,习题课,第六讲：,第三章：多自由度系统的振动分析,上次课内容回顾,1.动刚度矩阵,2.动柔度(频响函数)矩阵,3.振,所谓振指的是弹性系统在某些特定频率的简谐激励作用下,系统某些部位出现响应等于零的情形。,4.系统在任意激励下的响应,2.多自由度系统的阻尼,第七讲：,3.比例阻尼系统的自由振动,4.比例阻尼系统的受迫振动,第三章：多自由度系统的振动分析,1.模态截断,模态变换：,如果系统有10000个自由度,则N=10000,1. 占用资源：内存，计算时间,2. 高阶模态的计算误差也大,1. 模态截断的必要性,模态截断,如果激励 频带覆盖系统