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1、第二章 水动力学基本微分方程,2-1 地下水动力学基本微分方程,一、含水层的弹性理论,1.含水层的弹性释水（以承压水为例） 从承压含水层中抽出的水，由两部分组成 含水层所贮存水的弹性释放 侧向补给（来自远方） 现取一处于平衡状态的承压含水层柱体。设含水层上覆岩层对含水层中的固体颗粒和地下水产生的应力为，骨架上的反压强为 ，水的顶托力为P。 当水处于平衡状态时， 当从含水层中抽水、水头下降h时，,图,（1）H下降h，水体积膨胀，从而释放出一定体积的水； （2）保持不变，骨架所受压力增加，因为固体颗粒接近于刚性体不可压缩，所以压力增加引起含水层压缩，使含水层空隙中的部分地下水被挤出。 这两点就是弹
2、性释水的机理。,上述分析表明：H降低，承压含水层释放部分地下水；H增大，承压含水层贮存部分地下水，这部分水量称为弹性贮存量。 弹性贮水量的大小与含水层的岩性和结构有关，为了表征含水层弹性释水（储水）的能力，下面将给出弹性贮水率和贮水系数的概念。,2.含水层的贮水率和贮水系数,.贮水率（Specific storativity）用 表示 当含水层中的水头降低（或升高）一个单位时，单位时间内在单位体积含水层中，由于水的弹性膨胀（或压缩）及含水层的弹性压缩（或膨胀）释放（或贮存）的水量，称为贮水率,也称单位贮存量，量纲为L-1。,.贮水系数（ storage coefficient ） m为含水层厚
3、度，用于二维流计算。 无量纲，大部分含水层 介于10-510-3之间 物理意义：在单位面积、厚度为m的含水层柱体中，当水头降低（或升高）一个单位时，单位时间内从含水层中释放（或贮存）的水量。,3.给水度 对潜水含水层而言，当水头下降时，引起两部分排水： 含水层下部饱水部分的弹性释水，其释水能力用 表示； 上部潜水面下降部分引起的重力疏干排水，这部分给水能力用给水度 （Specific yield）表示； 给水度的物理意义：当含水层中水头下降一个单位时，在单位体积含水层中，由重力疏干所排出的水量。,4.贮水率与给水度的区别 弹性释水由减压引起， 为压力变化所给出的水量， 为重力疏干排出的水量；
4、贮水率与整个含水层厚度上的岩性、液体性质有关，给水度仅与水位波动带的岩性、液体性质有关； 弹性释放瞬时完成；重力疏干具明显的滞后效应； 数量级： 约10-510-3； 约0.10.3； 在潜水含水层中，通常只考虑重力疏干，忽略弹性释水。,二、承压含水层中渗流基本微分方程 （一）方程的建立 设： 地下水、含水层均为弹性体； 弹性释水瞬时完成； 为常数（constant）； 在渗流场中取一无限小的平行六面体，作为均衡单元，如图示，六面体边长分别为dx、dy、dz，下面分析dt时段内，均衡单元中的质量守恒问题。,均衡区,均衡期,依据质量守恒和能量守恒定律，建立承压含水层中渗流基本微分方程。,dt时段
5、内分别沿oy、 oz进入单元的水量为 而流出的水量为,在dt内，均衡单元贮存量的变化量为: 据水均衡原理得：,化简为：,根据达西定律：,上式就是非均质各向异性承压含水层中地下水三维非稳定运动的基本微分方程。对各向异性介质，取坐标轴方向与主渗透方向一致。 （二）方程的化简和讨论 .对于均质各向同性含水层，为常数，这时 简化为：,.对于二维的情况，常用 和T表示( 各项均乘以m）,.当含水层有垂直水量交换时，其量常用表示，称为源（汇）项，含水层的源（汇）项可是t和位置的函数 W=W(x,y,z,t)。 当从含水层中抽水或从垂直方向有水流出含水层时，为负，称为汇； 当给含水层中注水或从垂直方向有水流
6、入含水层时，为正，称为源；,二维：,W为单位时间从单位体积含水层中流入或流出的水量,三维：,W为单位时间从垂直方向单位面积含水层中流入或流出的水量(补给强度或蒸发强度),可得到三维、二维相应的稳定状态下的渗流基本微分方程。 对于均质各向同性的三维流来说：,5.若化为柱坐标（三维各向同性介质）,三、越流含水层中渗流基本微分方程,（一）什么是越流？ 1.半承压含水层：一个主含水层的上层和（或）下层为弱透水层，主含水层通过弱透水层与相邻含水层发生水力联系，但它本身具有承压性，主含水层称为半承压含水层。 2.越流：当半承压含水层与相邻含水层间存在水头差时，地下水便通过弱透水层从高水头含水层向低水头含水
7、层产生垂向流动，这种现象称为越流。 简言之，相邻含水层在水头差的作用下，通过弱透水层与主含水层发生水力联系的现象称为越流。 越流的方向：由两相邻含水层的水位决定。,（二）越流含水层中渗流基本微分方程 1.假定 a.忽略弱透水层的弹性释水； b.水流在弱透水层中是垂向运动，而在主含水层中 折射为水平运动； 2.方程的建立 在主含水层中取一微分柱体（其长宽分别为dx、dy，高为含水层厚度m）作为均衡单元。下面分析在dt时段内，微分柱体的水均衡问题。,P(x，y）,沿x方向流入单元体的水量： 流出：,沿y方向流入单元体的水量： 流出：,沿z方向流入单元体的水量： 流出：,流入量流出量：,单元体内贮存
8、量的变化为： 根据水均衡原理得：,代入上式 得：,这就是不考虑弱透水层弹性释水条件下，非均质各向异性越流含水层系统地下水非稳定运动的基本微分方程。,（三）越流因素和越流系数 .越流因素（Leakage factor） 上式中，若介质为均质各向同性介质， TConstant,式中：为主含水层的导水系数 i，mi分别为弱透水层的渗透系数和厚度,1、2分别称为上、下两弱透水层的越流因素,越流因素是反映弱透水层隔水性能的参数。越大，越流量越小，对于隔水层无穷大，越流量为零。,.越流系数（Coefficient of leakage） 因为 物理意义： 当主含水层和相邻含水层间的水头差等于一个长度单位时
9、，通过单位面积含水层上的越流量。 越流系数反映越流量的大小， 越大，相同水头下的越流量也越大。,四、潜水含水层中渗流基本微分方程,（一）Dupuit假定 潜水面通常不是水平面，潜水含水层中存在着流速的垂直分量，潜水面本身又是渗流区边界，随时间而变化。为了建立潜水含水层中渗流基本微分方程，引出了Dupuit假定：,假设潜水面比较平缓，潜水面上任意一点P有：,相当于忽略了渗透速度的垂直分量 ， 代替，在铅垂面上各点的水头都是相等的；或者说，水头不随深度而变化，同一铅直面上各点的水力坡度和渗透速度都相等，渗透速度可表示为：,在此条件下，通过宽度为B的铅直平面沿x方向的流量x为：,h-含水层厚度，当隔
10、水底板水平时，h = H,（二）潜水含水层中渗流基本微分方程 1.方程的建立 在Dupuit假定下，考虑一维问题，取平行于xoz平面的单位宽度进行研究。,首先取一微分柱体（其长度为x，宽为，高为整个含水层厚度）作为均衡单元，下面分析在dt时段内，微分柱体的水均衡问题。,从上游断面流入： 从下游断面流出：,在t时间内，垂直方向的 补给量为：,由于潜水面的上升而引起的均衡区内的水的增量为：,根据连续性原理，上面两个增量应相等，即,代入上式,得到,上式为非均质各向异性潜水含水层中一维地下水非稳定运动的基本微分方程，也称为.Boussinesq方程。,对于均质含水层，Constant,式中： ：水位下
11、降时称为给水度，水位上升时称为饱和差； W：降雨入渗强度（+）或蒸发强度（）； h：含水层厚度； H：含水层的水位（平均值）； K：含水层渗透系数； 注意： a.为整个含水层厚度上的平均值； b.、h均为未知，所以该方程为二阶非线性偏微分方程； c.该方程不适于水力梯度较大地段；不能计算任一点的。,2.方程讨论,a.二维情况：,b.均质含水层，Constant,c.当隔水层底板水平时，Hh；,d.若需计算渗流区内任一点水位，如土坝渗流等，则需采用下式计算： 其中潜水面要用边界条件考虑，不包括在方程之内。 e.无蒸发、无入渗时，潜水位H变化很小，则 为稳定流。,承压含水层,潜水含水层,给水度随时间的变化图,潜水面的单位降低,重力疏干的滞后效应,弹性释水与重力疏干,弹性释水：对承压水而言，由于水头降低引起的含水层释水的现象；释水过程在瞬时完成。 重力疏干：对潜水而言，当水头下降时，潜水面下降引起的部分水在重力作用下排出的现象；地下水位下降所引起的水量释放有一个过程，表现为滞后。,
