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1、第四节二次函数与幂函数1二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)ax2bxc(a0)；顶点式：f(x)a(xh)2k(a0)，顶点坐标为(h，k)；零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2为f(x)的零点(2)二次函数的图象与性质函数yax2bxc(a0)yax2bxc(a0)图象定义域R值域单调性在上减，在上增在上增，在上减对称性函数的图象关于x对称2.幂函数(1)定义：形如yx(R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数(2)五种常见幂函数的图象与性质函数特征性质yxyx2yx3yxyx1图象定义域RRRx|x0x|x0值域Ry|y0Ry|y0y|y0奇偶
2、性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(，0)减，(0，)增增增(，0)和(0，)减公共点(1,1)1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)二次函数yax2bxc，xR，不可能是偶函数()(2)二次函数yax2bxc，xa，b的最值一定是.()(3)幂函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0)()(4)当n0时，幂函数yxn在(0，)上是增函数()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)已知幂函数f(x)x的图象过点(4,2)，若f(m)3，则实数m的值为()A.BCD9D由题意可知4222，所以.所以f(x)x，故f(m)3m9.3已知函数f(x)ax2x5的图象在x轴上
3、方，则a的取值范围是()A.B.C.D.C由题意知即得a.4(2017衢州市适应性考试(二)二次函数f(x)2x2bx3(bR)零点的个数是()A0B1 C2D4C因为判别式b2240，所以原二次函数有2个零点，故选C.5若二次函数yax2bxc的图象与x轴交于A(2,0)，B(4,0)且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是_. 【导学号：51062031】yx22x8设ya(x2)(x4)，对称轴为x1，当x1时，ymax9a9，a1，y(x2)(x4)x22x8.求二次函数的解析式已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式解法一(
4、利用一般式)：设f(x)ax2bxc(a0).4分由题意得10分解得所求二次函数为f(x)4x24x7.15分法二(利用顶点式)：设f(x)a(xm)2n.f(2)f(1)，抛物线的图象的对称轴为x.4分m.又根据题意函数有最大值8，n8.yf(x)a28.8分f(2)1，a281，解得a4，f(x)4284x24x7.15分法三(利用零点式)：由已知f(x)10的两根为x12，x21，2分故可设f(x)1a(x2)(x1)，即f(x)ax2ax2a1.10分又函数的最大值是8，即8，解得a4，所求函数的解析式为f(x)4x24x7.15分规律方法用待定系数法求二次函数的解析式，关键是灵活选取
5、二次函数解析式的形式，选法如下变式训练1已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意xR，都有f(2x)f(2x)，求f(x)的解析式解f(2x)f(2x)对xR恒成立，f(x)的对称轴为x2.2分又f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，f(x)0的两根为1和3.8分设f(x)的解析式为f(x)a(x1)(x3)(a0)又f(x)的图象过点(4,3)，3a3，a1.12分所求f(x)的解析式为f(x)(x1)(x3)，即f(x)x24x3.15分二次函数的图象与性质角度1二次函数图象的识别及应用(1)设abc0，则二次函数f(x)ax2bxc的图象可能是(
6、)A BCD(2)已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)0成立，则实数m的取值范围是_(1)D(2)(1)由A，C，D知，f(0)c0.abc0，ab0，对称轴x0，知A，C错误，D符合要求由B知f(0)c0，ab0，x0，B错误(2)作出二次函数f(x)的图象，对于任意xm，m1，都有f(x)0，则有即解得m0.角度2二次函数的最值问题(1)(2017绍兴一模)若xlog521，则函数f(x)4x2x13的最小值为()A4B3C1D0(2)(2017浙江五校第一次联考)已知函数f(x)x22ax1a在区间0,1上的最大值为2，则a的值为()A2B1或3C2或3D1或2
7、(1)A(2)D(1)xlog521log52xlog5512x，令t2x，则有yt22t3(t1)24，当t1，即x0时，f(x)取得最小值4.故选A.(2)函数f(x)(xa)2a2a1图象的对称轴为xa，且开口向下，分三种情况讨论如下：当a0时，函数f(x)x22ax1a在区间0,1上是减函数，f(x)maxf(0)1a，由1a2，得a1.当0a1时，函数f(x)x22ax1a在区间0，a上是增函数，在a,1上是减函数，f(x)maxf(a)a22a21aa2a1，由a2a12，解得a或a.0a1，两个值都不满足，舍去当a1时，函数f(x)x22ax1a在区间0,1上是增函数，f(x)m
8、axf(1)12a1a2，a2.综上可知，a1或a2.角度3二次函数中的恒成立问题已知a是实数，函数f(x)2ax22x3在x1,1上恒小于零，则实数a的取值范围为_. 【导学号：51062032】由题意知2ax22x30在1,1上恒成立当x0时，适合；当x0时，a2.因为(，11，)，当x1时，右边取最小值，所以a.综上，实数a的取值范围是.规律方法1.二次函数最值问题应抓住“三点一轴”数形结合求解，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，用函数的单调性及分类讨论的思想即可完成2由不等式恒成立求参数的取值范围，常用分离参数法，转化为求函数最值问题，其依据是af(x)af(x
9、)max，af(x)af(x)min.与二次函数有关的综合问题(2015浙江高考)已知函数f(x)x2axb(a，bR)，记M(a，b)是|f(x)|在区间1,1上的最大值(1)证明：当|a|2时，M(a，b)2；(2)当a，b满足M(a，b)2时，求|a|b|的最大值解(1)证明：由f(x)2b，得对称轴为直线x.2分由|a|2，得1，故f(x)在1,1上单调，所以M(a，b)max|f(1)|，|f(1)|当a2时，由f(1)f(1)2a4，得maxf(1)，f(1)2，即M(a，b)2.当a2时，由f(1)f(1)2a4，得maxf(1)，f(1)2，即M(a，b)2.综上，当|a|2时
10、，M(a，b)2.8分(2)由M(a，b)2得|1ab|f(1)|2，|1ab|f(1)|2，故|ab|3，|ab|3.12分由|a|b|得|a|b|3.当a2，b1时，|a|b|3，且|x22x1|在1,1上的最大值为2，14分即M(2，1)2.所以|a|b|的最大值为3.15分规律方法(1)解决含参数的二次函数的最值问题，要形成分类讨论的习惯，重点在“轴与区间”的位置关系，其次是“端点值”的大小关系(2)解决|f(x)|的相关问题，可利用数形结合思想(3)求解过程中，求出的参数值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求变式训练3(2016浙江冲刺卷二)设二次函数f(x)ax24x
11、c(a0)(1)当c4a时，讨论函数g(x)|f(x)|的单调性；(2)若函数f(x)的值域为0，)，且f(1)4，求u的最大值解(1)当c4a时，f(x)ax24x4aa(x1)(a0)，则g(x)|f(x)|a|(a0).4分当1，即0，也即0a2时，函数g(x)在区间(，1上为减函数，在区间上为增函数，在区间上为减函数，在区间上为增函数.6分当a2时，g(x)|f(x)|2(x1)2，则函数g(x)在区间(，1上为减函数，在区间1，)上为增函数当a2时，有0，且0，即a0，c0，且ac4.u，令xac，由f(1)4，得ac8，又a0，c0，且ac4，所以ac24，13分故4x8，而u在区间4,8上是增函数，故u的最大值为.15分幂函数的图象与性质(1)幂函数yf(x)的图象过点(4,2)，则幂函数yf(x)的图象是()A BCD(2)已知幂函数f(x)xm22m3(mN*)的图象关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，则m的值为_(1)C(2)1(1)令f(x)x，则42，f(x)x.(2)f(x)在(0，)上是减函数，m22m30，解得1m3.又mN*，m1或m2.由于f(x)的图象关于y轴对称m22m3的值应为偶数，又当m2时，m22m3为奇数，m2舍去因此m1.规律方法1.幂函数的形式是yx(R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式2若幂函数
