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1、I 目 录 1 行列式的基本理论3 1.1 行列式定义 3 1.2 行列式的性质 3 1.3 基本理论5 1.4 几种特殊行列式的结果 5 2 行列式的计算技6 2.1 定义法 6 2.2 化成三角形行列式法 7 2.3 两条线型行列式的计算 8 2.4 箭型行列式的计算 9 2.5 三对角行列式的计算 .10 2.6 利用范德蒙行列式 .11 2.7 HESSENBERG 型行列式的计算12 2.8 降阶法 .13 2.9 加边法（升阶法） .14 2.10 计算行（列）和相等的行列式 15 2.11 相邻行（列）元素差 1 的行列式计算16 2.12 线性因子法 16 2.13 辅助行列式
2、法 18 2.14 n阶循环行列式算法 18 2.15 有关矩阵的行列式计算 20 2.16 用构造法解行列式 21 2.17 利用拉普拉斯展开 22 3 用多种方法解题 22 参考文献：参考文献： 26 2 【内容摘要】行列式是高等代数课程里基本而重要的内容之一，在 数学中有着广泛的应用，懂得如何计算行列式显得尤为重要。本文先 阐述行列式的基本理论，然后介绍各种具体的方法，最后由行列式与 其它知识的联系介绍其它几种方法。通过这一系列的方法进一步提高 我们对行列式的认识，对我们以后的学习带来十分有益的帮助。 【关键词】行列式 ； 矩阵； 范德蒙行列式 ； 递推法 Abstract: Deter
3、minant is an basic and important subject in advanced algebra ,it is very useful in mathematic. It is very important to know how to calculate determinant. The paper first introduced the basic nature of determinant,then introduced some methods, Finally,with the other determinant of knowledge on the li
4、nks in several other ways.,through this series of methods will futher enhance our understanding of the determinant,on our learning will bring very useful help. Keywords: Determinant；matrix；Vandermonde Determinant； recurrence method 3 引 言 行列式在高等代数课程中的重要性以及在考研中的重要地位使 我们有必要对行列式进行较深入的认识，本文对行列式的解题技巧 进行总结
5、归纳。 作为行列式本身而言，我们除了利用行列式的性质化三角行列式 和按行或列展开公式使行列式降阶这些常用的手法外，要根据行列 式不同的特点采用特殊的方法，如递推法，数学归纳法，加边法（ 升阶法），以及利用范德蒙行列式的结论等等。 1 行列式的基本理论 1.1 行列式定义 定义定义 行列式与矩阵不同，行列式是一个值，它是所有不同行不 同列的数的积的和，那些数的乘积符号由他们的逆序数之和有 关，逆序数之和为偶数符号为正，逆序数之和为奇数符号为负。 这一定义可以写成 ,这里 1 2 12 1 2 11121 21222 12 12 1 n n n n j jj n jjnj j jj nnnn aa
6、a aaa a aa aaa 表示对所有级排列求和. 1 2n j jj n 4 1.2 行列式的性质 1、行列式的行列互换，行列式不变； nnnn n n nnnn n n aaa aaa aaa aaa aaa aaa 21 22212 12111 21 22221 11211 2、互换行列式中的两行或者两列，行列式反号； nnnn inii knkk n nnnn knkk inii n aaa aaa aaa aaa aaa aaa aaa aaa 21 21 21 11211 21 21 21 11211 3、行列式中某行乘以一个数等于行列式乘以这个数； nnnn inii n nn
7、nn inii n aaa aaa aaa k aaa kakaka aaa 21 21 11211 21 21 11211 4、行列式的某两行或者某两列成比例，行列式为零； 0 21 21 21 11211 21 21 21 11211 nnnn inii inii n nnnn inii inii n aaa aaa aaa aaa k aaa kakaka aaa aaa 5、行列式的某一列或者某一行可以看成两列或两行的和 时，行列式可拆另两个行列式的和。 5 nnnn n n nnnn n nn nnnn nn n aaa ccc aaa aaa bbb aaa aaa cbcbcb
8、aaa 21 21 11211 21 21 112 21 2211 11211 6、把一行的倍数加到另一行，行列式不变。 7、行列式有两行（列）相同，则行列式为零。 1.3 基本理论 1其中为元素代数余子式。 ji jiD AaAaAa jninjiji , 0 , 2211 ij A ij a 2降阶定理BCADA DC BA 1 3CA CO BA 4BAAB 5非零矩阵 k 左乘行列式的某一行加到另一行上，则新的分块 行列式与原来相等。 1.4 几种特殊行列式的结果 1 三角行列式 (上三角行列式) nn nn n n aaa a aa aaa 2211 222 11211 00 0 (
9、下三角行列式) nn nnnn aaa aaa aa a 2211 21 2221 11 0 00 2 对角行列式 6 nn nn aaa a a a 2211 22 11 00 00 00 3对称与反对称行列式 满足，D 称为对 nnnn n n aaa aaa aaa D 21 22221 11211 )2 , 1,2 , 1(njniaa jiij 称行列式 满足，D 称为 0 0 0 0 321 33231 22321 11312 nnn n n n aaa aaa aaa aaa D )2 , 1,(njiaa jiij 反对称行列式。若阶数 n 为奇数时，则 D=0 4)( 111
10、1 1 11 3 1 2 1 1 22 3 2 2 2 1 321 j nij i n n nnn n n n aa aaaa aaaa aaaa D 2 行列式的计算技巧 2.1 定义法 例 1：计算行列式 000 000 000 5352 4342 3534333231 2524232221 1312 aa aa aaaaa aaaaa aa D 解：由行列式定义知，且， n n n jj njjj jjj aaaD 1 21 21 21 ),( ) 1( 0 151411 aaa 所以 D 的非零项 j，只能取 2 或 3，同理由，0 5514454441 aaaaa 7 因而只能取 2
11、 或 3，又因要求各不相同，故项中 54j j 51 jj 521jjj aaa 至少有一个必须取零，所以 D=0。 2.2 化成三角形行列式法 将行列式化为上三角形行列式计算步骤，如果第一行第一个元 素为零，首先将第一行(或第一列)与其它任一行(或列)交换，使第一 行第一个元素不为零，然后把第一行分别乘以适当数加到其它各行， 使第一列除第一个元素外其余元素全为零，再用同样的方法处理除 去第一行加第一列余下的低阶行列式依次做下去，直至是它成为上 三角形行列式，这时主对角线上元素的乘积就是行列式的值。 例 2 计算行列式 abbb babb bbab bbba Dn 解：各行加到第一行中去 ab
12、bb babb bbab bna abb bab bnabnabna Dn 1111 ) 1( ) 1() 1() 1( 1 )() 1( 00 00 00 0001 ) 1( n babna bab bab bab bna 例 3 计算行列式 8 1221 21543 1432 1321 nnn n nn D 解：从倒数第二行(-1)倍加到第 n 行 11110 11110 11110 132 2 ) 1( 11111 11111 11111 1321 n n nn nn n n n nn 将所有列加到第一列上 nn nn n nn n n nn 0 0 111 2 ) 1( 1 111 1
13、11 111 2 ) 1( ）倍加各行上第一行的（ n n nn n n nn n 1 ) 1( 2 ) 1( 0 0 111 2 ) 1( 1 2 )1( 2 )1 ( ) 1( nnn nn 2.3 两条线型行列式的计算 除了较简单的行列式（如上、下三角行列式等）可以用定义直 接计算，少数几类行列式可利用行列式性质直接计算外，一般行列 式计算的主要方法是利用行列式的性质做恒等变形化简，使行列式 中出现较多的零元素，然后直接用特殊的行列式的值来计算（如上 （下）三角行列式等）或利用按行（列）展开定理降低行列式的阶 数。 9 例 4 . nn nn ab ba a ba Dn 00 00 00
14、0 00 11 2 11 阶行列式 计算 解：解： 按第 1 列展开得 1 33 22 1 1 11 3 22 1 000 00 00 000 ) 1( 000 00 000 00 n n n n nn b ba ba b b a ba a ba aD . n n n bbbaaa 21 1 21 1 2.4 箭型行列式的计算 对于形如 的所谓箭型 （或爪形）行列式，可以直接利用行列式性质化为三角或次三角形 行列式来计算，即利用对角元素或次对角元素将一条边消为零。 例例 5 5 计算行列式 . 100 1010 1200 1111 n n Dn 解：解： 10 ) 1 2 1 1 ( !1 000 0010 0200 1 2 1 1111 1 2 1 2 )1( 1 1
