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1、函数极限的若干求法摘要：极限是高等数学中的一个基本概念，而且它在高等数学中也占有重要的地位。极限分为数列极限和函数极限。本文主要总结了几种求函数极限的常用方法。这些方法分别是利用函数连续性及四则运算法则、迫敛性、替换法、罗必达法则、导数定义、定积分、泰勒展式和马克劳林展式、微分和积分中值定理求函数极限，并且在介绍每种方法的时候给出了相应的说明，同时还强调了这些方法的适用范围及使用时应注意的问题。关键词：极限 等价 罗必达法则 Some Solutions to The Problems of Functional LimitAbstract:The limit is a fundamental
2、 concept in advanced mathematics, and a crucial part of it as well. It is divided into two parts,the sequencial limit and the functional limit. The papesr mainly deals with the summarization of several common to the problem of functional limit. These approaches aim to solve the very problem with the
3、 application of the continuity of functions,the four algorithms, Squeeze, replacing France, Romanias Rule, definition of derivative, definite integral, Taylor Expansion and Maclaurin expansion, differential and integral mean value theorem ,and the relevant introduction is provided when introducing t
4、hese methods,whose applicability and notice when being used are also highlighted in this paper. Keywords: the limit equivalence LHospital极限是高等数学中的一个基本概念，它在高等数学中占有重要的地位。高等数学中的许多概念，比如连续、微分、积分等等都是建立在极限的定义基础上的。可以说没有极限的定义，高等数学中的很多知识都无从谈起，所以极限的求解很重要。极限包括数列极限和函数极限两部分，其中函数极限的求法更是重中之重。书上给出了函数极限的定义，可以利用函数极限的定
5、义法求函数极限，但是利用函数极限的定义通过寻找一般都很难，需要很强的技巧和经验，这种方法很难掌握。其实函数极限的求法有很多，本文总结了几种求函数极限的常用方法。1.利用函数连续性及四则运算法则求函数极限1.1 利用函数连续性求函数极限如果函数在定义域内的某点处连续，按函数在处的连续性定义，则有。因此，对连续函数求极限就是用代入法求函数值。因为一切初等函数在其定义域内都是连续的，所以，若是初等函数，属于它的定义域，则。即对于初等函数而言，。 =解：可设， J=1.2利用四则运算法则求函数极限定理1.2.1 （）1 在利用四则运算法则时一定要注意，只有当和都存在时才可以使用此定理；否则，定理无效。
6、比如，若由此定理可推得：,而都不存在，则可得出，也不存在的错误结果，然而。所以在使用四则运算法则时，一定要注意上述限制条件。 1.3 不连续的分式函数对于不连续的分式函数（如），可采用约简分式、分子分母有理化、通分变形、式子变形等方法消去分子、分母中极限为零或的因子，于是就可以转化成可以用函数连续性或四则运算法则求解的情形。 （1） 解：（1） 类似的，得出两个有用的结论：2.利用迫敛性求函数极限定理2.1（迫敛性） ，。1用迫敛性求极限，就是要将函数放大及缩小成和，即使得成立，易求并且相等，那么根据定理2.1就可求出。例3 求极限 （1） （2）解：（1）易知， 。又 ，则， I=.（2），
7、当时， ，又，J=0。3.利用替换法求函数极限 通过变量替换，把求某个极限转化为求另一个极限，若后者已知或者易求，则问题就解决了。3.1利用两个重要极限 第一个重要极限可用来求型未定型极限，它的一般形式为:；第二个重要极限可用来求型未定型极限，它的一般形式为：或。例4.求下列极限 解：（1）（2）（3）3.2 利用等价无穷小替换定义3.2.1 设在某内有定义，若，则称是当时的无穷小量。1定义3.2.2 当时，和都是无穷小量，若1，则称与是当时的等价无穷小量，记作： （）1定理3.2.1 设函数，在内有定义，且有（）则：（1）若，则（2）若，则13.2.1利用常用的等价无穷小量进行替换（1）时，
8、 （2） 时， （3）对数函数中常用的等价无穷小 时，特殊情况，当a=e时，就有 （4）二项式中常用的等价无穷小 时， 特殊情况，当时，有例5 求下列极限（1） （2） （3） （4）解：（1）当时，所以，又，所以，则（2），当时， ， 所以（3）当时，（4）当时， 所以 3.2.2在利用等价无穷小进行替换时的注意等价无穷小因子替换只能在极限的乘除运算中使用，不能随意在极限的加减运算中使用，否则常会出错。比如，在求极限时，若由时，则。而，由此可减见对于此题在加减法中使用等价替换是错误的。3.3 替换法在求型未定型极限中的应用那么是型极限，则从上述推导中得出：凡是型未定型，其结果：底必定是e，幂
9、是。使用该方法计算此类型极限，使得计算简便很多。例6：求极限 （1） （2）解：（1），它是型未定型极限， 因为，所以原式=. （2），它也是型未定型极限，因为，所以原式=.4.利用罗必达法则求未定式的极限4.1罗必达法则设，在的某空心邻域内可导，.(A可以是有限数或是，.)1例7 求下列极限 （1） （2）解：（1）这个极限是型的，可用罗必达法则来求， 所以 原式= （2）由分析可知这是型，也可用罗必达法则求，所以 原式=4.2 罗必达法则的扩充4.3 使用罗必达法则的限制条件4.3.1 罗必达法则用于求型或型未定式极限，其他类型的未定型（如等），需要先转化成型或型，然后再用罗必达法则进行计
10、算。4.3.2 使用罗必达法则应注意，若仍然是型或型未定式，可再次使用罗必达法则，只要符合型或型条件，就可反复多次使用罗必达法则，一直可用到求出极限为止。但是若不再是或型未定式，则不可再继续使用，否则就会出错。比如，然而极限是不存在的，上面出错是因为已经不再是或型，就不可再继续使用罗必达法则了。4.4 罗必达法则与其他方法的结合在用罗必达法则求未定式极限时，要使用函数的导数，但若直接求函数导数较繁，则可以先分解未定式，结合等价无穷小，进行变量替换后再用罗必达法则来求，这样既达到了化简的目的，减少计算量，又提高计算的速度与精确度。例8 设常数,求分析：这是型，若直接用罗必达法则求解较繁。这里先分
11、离出未定式因子，再用等价无穷小替换。这里，则最后用罗必达法则求解。5.利用导数定义求函数极限5.1导数定义设函数在点的某邻域内有定义，若极限存在，则称函数在点处可导，并称该极限为函数在点处的导数，记作。15.2利用导数定义求函数极限 根据导数定义，设存在，若所求极限可化为如下类型：，则按导数定义即是，这样就利用导数求出了极限。但是，这种方法应用范围有限，只能用于求一些特殊类型的函数极限。例9 设分析：如果定义，则就变成。解：不妨定义，则由已知就可得到,那么所求极限可化成： 6.利用定积分求函数极限6.1定积分定义1设函数在上有界，在中任意插入若干个分点，把区间分成个小区间 各个小区间的长度依次
12、为 在每个小区间上任取一点，作函数值与小区间长度的乘积，并作出和 记，如果不讨论对怎样分法，也不讨论在小区间上点怎样取法，只要当时，和总趋向于确定的极限，这时我们称这个极限为函数在区间上的定积分（简称积分），记作，即 ，其中叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做积分变量，叫做积分下限，叫做积分上限，叫做积分区间。 对某个可积函数的积分和取极限，就得到了这个函数在某个区间上的定积分。所以，欲求某个和函数的极限，可以把它转换成定积分来求。 例10 求极限 解：此连加和可以看成函数在区间上的积分和，分割T=把区间平均分成等份，取为第个区间的右端点，即， ，因为函数在区间上是连续的，所以可积,故所求极限7
13、.利用泰勒展式和马克劳林展式求未定式极限 对于所求极限是型未定式这种类型，当的导数计算较复杂而易求的泰勒公式时，则可用泰勒公式求极限。设在的泰勒公式分别是,， 例11 求极限解：对于此题，它是型的，可用罗必达法则来求，但是分母的导数很复杂，所以使用马克劳林展式解该题。易得： 又时，所以8.利用中值定理求极限8.1 利用微分中值定理求极限定理8.1.1 （柯西中值定理） 设函数和满足（1） 在闭区间上都连续；（2） 在开区间内都可导；（3） 不同时为零；（4） ，则存在，使得 1微分中值定理有三个，其中罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情况，然而拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况。对于求
14、某些类型的极限，若可以经过转化满足微分中值定理的条件，则可以利用中值定理来求极限。例12 求极限解：，设，由微分中值定理得到：8.2 利用积分中值定理求极限定理8.2.1（积分第一中值定理） 若在上连续，则至少存在一点，使得 1对于求含有积分形式的极限可以利用积分中值定理把它转化成无积分的一般极限，进而可以采用相应方法求出结果。例13 求极限解：由积分中值定理知本文总结出了以上几种求函数极限的常用方法。对于不同的函数形式，所使用的方法不同；同一个函数形式也可能有不同的求解方法；有时求解一个问题可能需要几种方法共同结合起来。而且，求函数极限的题型多样，灵活多变，这些需要视具体情况而分析。但是必须注意的是，求函数极限使用的各种方法都有其适用的范围以及限制条件，如果超出范围或不满足条件的情况下盲目使用，则会得出错误的结果。本文总结的只是几种常用的求极限的方法，除此以外还有很多求极限的方法。比如利用概率中的定理去求极限等等，有待于进一步的深入探究。参考文献：1程其襄，周彭年，郑英元等.数学
