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1、. . . .关于DVD在线租赁问题的数学建模的研究摘 要 本文考虑的是DVD在线租赁的问题，我们从历史统计数据出发把会员分为两类，A类：（占60%）一个月内可以租碟两次，B类：（占40%）一个月内只可以租碟一次。基本假设出发，第一问我们根据实际情况以及基本假设，A类：一个月内第一次租碟看了半个月就还回来，可以提供本月下一次再出租，B类：租一次就看了一个月这个，我们通过推理的出了满足假设的结果，其结果基本上是合理的，第二问我们可以把它归结为（0，1）整数规划，把会员的满意度作为目标函数进行决策，首先我们把代表会员偏爱程度用层次分析的方法（即通过取倒数的方法）转化为顾客满意程度，由于我们建立的模
2、型是一个（0，1）整数规划的模型，它是一个NP-难的问题，基于问题复杂性，我们只能提供贪婪算法这种启发式算法，通过逐步寻优得出一个近似解后，我们再对解进行改进，使之得到更具实际意义的解，第三问也可以把它归结为（0，1）整数规划，我们首先确定1000个会员中A类会员与B类会员，我们的作法是在（1-1000）中随机产生600数我们令会员编号属于这600个数是属于A类的，其余的属于B类。然后初步确定每种DVD数量，我们开始取的DVD总的数量为应该有的下界（即3*950=2850），则第j种DVD的数量为：然后与第二问类似的算法的出初始解，然后对解进行进一步优化与改进，使满足95%的会员在一个月内能够
3、看到他想看到的DVD。最后我们提及了模型的改进以及算法的改进建议。关键字 整数规划 贪婪算法 满意度在线租碟一问题的重述及研究背景随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。例如，教育资源的光盘制品在线租赁就是一种可行的服务。这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的服务。在为顾客提供方便的同时，为了追求利润的最大化，租赁服务将面临以下决策问题：1在知道愿意观看的顾客的数量的情况下，如何对准备DVD的数量，使愿意观
4、看的人数达到某种程度？2在知道每个顾客的定单、偏爱程度以及现有的DVD的数量的情况下，如何分配才能使会员获得最大的满意度？3在知道顾客的定单、偏爱的程度的情况下，如何决定DVD的购买量以及分配，使满足一定的顾客得到他想要的情况下使满意度最大4如何预测顾客的需求，使准备的DVD利用率最高以及使顾客的满意度最大。以上问题的解决将使在线租赁服务的决策者对需求、购买量、分配进行决策使顾客的满意度以及服务的利润最大。二问题假设（1）每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD会员看完3张DVD之后，需将DVD寄回，才可以继续下次租赁。（2）每个会员所租的DVD都是不同种类的。（3）在所有的会员
5、中有60%的租一次看了半个月就还回来，可以提供本月下一次再出租，而40%租一次就看了一个月。（4）假设月初和月中两次发货，租出去的DVD月末全部收回。（5）DVD在邮寄和使用时不会被弄坏。三符号说明四模型的建立与求解41 第一问分析假设与求解基本假设：5张不同种类的 假设不愿意观看DVD1的会员不会租看DVD1。假设准备x1张DVD1，。，x5张DVD5。对于DVD1来说，根据历史数据显示，有200个人想看，其中有60%的人（A类）租一次看了半个月就还回来，可以提供本月下一次再出租，40%的人（B类）租一次就看了一个月。其中每次租赁遇到A类的人的概率为0.6。为了满足题设的要求：至少准备多少张
6、DVD（i）。所以应该尽力提高每张DVD（i）的利用率。我们将A类准备租同一种DVD的会员分成均等的两批，分上下两个半月来观看那种DVD，上半月DVD（i）全部租出去：租给1/2A类人和全部B类人：下半月DVD（i）租给另外的1/2A类人。这时人均使用DVD张数减少，即为（0.6/2+0.4=0.7），这是我们人为完全可以实现的，操控的。这是我们减少同种DVD库存数量的一种行之有效的方法，由此很容易想到可以通过以A类人为对象来实现DVD的利用率达到更高，可以假设：比如租借DVD1的人全是A类人，此时可通过上述方法使人均使用DVD张数减少到（1/2=0.5），但是这只是理想的情况，实际中是不可能
7、存在的，是违背概率规律的。是我们人为不可能通过操控实现，达到的。愿意观看DVD（i）的人数=会员总数抽样中愿意观看DVD（i）的人数/抽样总人数i=1，2，3，4，5（1）需要准备的DVD（i）的张数=愿意观看DVD（i）的人数50%0.7将已知数据代入上面的式子算得：X1X2X3X4X5700035001750875350(根据实际情况，若出现小数则取整再加1)（2）需要准备的DVD（i）的张数=愿意观看DVD（i）的人数95%30.7将已知数据代入上面的式子算得：X1X2X3X4X5443422171109555222(根据实际情况，若出现小数则取整再加1)42 第二问的模型与算法421
8、问题的假设与分析问题要求我们只处理当前的1000位会员的在线定单，因而我们只考虑当前满足一次的情况，即给每一个会员的DVD不超过3张也就是说每个会员的DVD数只能是0或者3，要使会员的满意度最大，由于问题给出的是反映偏爱程度的数字，而且数字越小偏爱程度越高。显然满足了偏爱程度高其满意程度就高，因而我们可以用数组数字的倒数来刻画满意程度的高低，如表：偏爱程度12345678910满意程度1即若满足了偏爱程度为2的，则其满意程度为，如果不在会员的定单中，则其满意度为0，这样刻画满意度在事实上是比较合理的。422 问题的模型 （0） （1） （2）其中：为第个客户对第个客户的满意程度。 为第种碟的数
9、量（0） 式为目标函数，约束（1）表示每个人分到的DVD只能是3或者是0，约束（2）表示的是分第分给会员的DVD的数量不能超过该DVD的数量。423 模型的算法：由于数据过于庞大，我们在此提供一个贪婪算法，贪婪算法是一种逐步寻优的方法，它虽然是一种近似算法，但是用它可以快速的解决较大规模的问题。具体步骤如下：Step0: 首先我们要求满足第一列满意程度高的，直到所有的该碟分配完或所有有定单的客户得到满足，k=2.Step1: 考察第k列，先满足满意程度高的（如果满足约束条件），不满足约束条件则考虑满足约束条件满意程度次之的。依次类推直到所有的碟分配完，或已经满足有定单的会员。Step2: k+
10、, 转Step1, 直到k=100。Step3:解的改进:用上面的算法得到的解有可能使某个会员得到的DVD数少于3张，因而必须对所求的解进行改进，我们的做法是把小于3张的取出来在进行同列再分配使尽量满足其他小于3张的会员使其达到3张，如果不能再分配则与同列比他的满意度低的相交换。然后该会员的DVD数变为0。423 数值结果及分析 我们通过Matlab编程计算可以得到前30位的客户所分配到的DVD种类为：成员编号需求1需求2需求3成员编号需求1需求2需求3C0001D008D082D098C0016D084 D097D006C0002D006D044D005C0017D047D051D067C0
11、003D004D50D080C0018D041D060D078C0004D007D018D041C0019D066D084D086C0005D011D066D068C0020D089D061D045C0006D016D019D053C0021D045D053D002C0007D008D026D081C0022D038D055D057C0008D015D0071D099C0023D029D081D095C0009D053D028D100C0024D037D041D076C0010D055D060D085C0025D037D041D081C0011D019D059D063C0026D009D069
12、D081C0012D002D007D031C0027D022D050D058C0013D021D078D096C0028D082D034D008C0014D052D023D046C0029D055D030D044C0015无无无C0030D037D062C098从上表结合在线定单表我们可以看到其中大部分都会满足满意度最高的三个，这主要是因为DVD的总数量超过了3000张达到3007张，从理论上讲应该大部分满足满足最高的三个，从表中我们还可以看到编号为C0015会员没有分到DVD，这是因为从在线定单表中可以看出编号为D037的DVD的数量为106张，而其定单数只为91个因而有15张D037不能被
13、分配，从而最多只有3007-15=2992被分配，所以将存在会员没有被分配。43 第三问的模型与算法431 问题的分析与假设此问要求在一个月内满足95%的会员得到他想看的条件下使满意度最大，为此我们假设若某会员对某张DVD有定单的话，那么该会员就想看这张碟，从表中我们可以看到：每一个会员发的定单数都超过了六张，而每个会员所能租的DVD不会超过六张，因而我们不可能满足其所有想看的DVD，所以我们假设当一个会员得到他所想要的一部分，就说他得到他想看的DVD，即我们只要给某个会员分三张或者六张DVD，则该会员得到了想看的。432模型为： （0） （1） （2） （3） （4）其中：、的定义与的第二问相同，（0）为模型的目标函数表示的是使满意度最大，约束（1）表示的是属于A类的会员分配到的DVD不能超过6张（即：只可能为0，3，6），约束（2）表示的是属于B类的会员分配到的DVD不能超过3张（即只可能是0，3），约束（3）表示DVD的数量至少应该使950个人得到3张DVD，约束（4）DVD的数量不可能超过分给950个会员每个会员6张DVD。432 模型的算
