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1、1曲线的方程与方程的曲线 在直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线(图形)2平面解析几何研究的两个主要问题 (1)根据已知条件，求出表示曲线的方程；(2)通过曲线的方程研究曲线的性质 3求曲线方程的一般方法(五步法) 求曲线(图形)的方程，一般有下面几个步骤：(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；(2)写出适合条件p的点M的集合PM|p(M)；(3)用坐
2、标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)0；(4)化方程f(x，y)0为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上4两曲线的交点 (1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点，方程组 ，两条曲线就没有交点(2)两条曲线有交点的 条件是它们的方程所组成的方程组有实数解可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题5求曲线轨迹方程的常用方法 (1)直接法如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，直接表述成含x，y的等式，就得到轨迹方程，这
3、种方法称为直接法(2)定义法如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程，这种方法称为定义法(3)代入法又称相关点法，其特点是，动点M(x，y)的坐标取决于已知曲线C上的点(x，y)的坐标，可先用x，y来表示x，y，再代入曲线C的方程，即得点M的轨迹方程6圆锥曲线的共同特征 圆锥曲线上的点到焦点与到定直线的距离之比为定值e，当 时，圆锥曲线为双曲线；当时，为椭圆；当时，为抛物线 7直线与圆锥曲线交点 直线与圆锥曲线的交点由直线方程与圆锥曲线方程联立得到8、基础自测1(2011山东潍坊)已知圆x2y24，过点A(4,0)作圆的割线ABC，则弦BC中点的轨迹方程为()A(x
4、1)2y24(1x) B(x1)2y24(0x1)C(x2)2y24(1x) D(x2)2y24(0x1)答案D 解析由圆的几何性质知，BC的中点到A与圆心连线的中点的距离为2，即方程为(x2)2y24，又中点在圆内，0xb0)的两焦点，P是椭圆上任一点，过一焦点引F1PF2的外角平分线的垂线，则垂足Q的轨迹为()A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线4过双曲线x21的右焦点F作直线l交双曲线于A、B两点，若|AB|4，这样的直线条数为()A1 B2 C3 D4答案 C 解析若与双曲线右支交于两点A，B，则|AB|4(通径)，此时弦长为4的弦有一条；若与左右两支各有一交点A、B，则|AB|2(实轴长
5、)，此时弦长为4的弦有两条共3条5如图所示，过点P(0,2)的直线和抛物线y28x交于A，B两点，若线段AB的中点M在直线x2上，则弦AB的长为_答案2 解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB的中点M，由y128x1，和y228x2相减得(y1y2)(y1y2)8(x1x2)，kPMkAB，kAB 令y1y22b，则有b22b80，b4或b2，于是M(2,4)或M(2，2)M(2,4)在抛物线上(舍去)M的坐标为(2，2)，从而kAB2.AB：y2x2，将其代入抛物线方程得x24x10.|AB|2.6两动直线l1、l2分别经过O(0,0)和A(0,2)，且方向向量分别为(1，)和(，
6、1)，则它们交点的轨迹方程是_ 答案x2y22x0 解析当0时，l1与l2的交点为(0,0)；当0时，kl1，kl2，l1：yx，l2：y2x，l1与l2的方程相乘可得：x2y22y0.(当0时也适合此式)综上可得交点的轨迹方程为x2y22y0.(当0时，也适合此式)7已知ABC的两个顶点为A(2,0)，B(0，2)，第三个点C在曲线y3x21上移动，求ABC重心的轨迹方程解析设C(x1，y1)，重心G(x，y)，由重心坐标公式得，即，C(x1，y1)在曲线y3x21上， 3y23(3x2)21，化简得y(3x2)219x212x3，故ABC的重心的轨迹方程为y9x212x3.题型分析例1(2
7、009安徽)已知椭圆1(ab0)的离心率为，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线yx2相切(1)求a与b；(2)设该椭圆的左、右焦点分别为F1和F2，直线l1过F2且与x轴垂直，动直线l2与y轴垂直，l2交l1于点P.求线段PF1的垂直平分线与l2的交点M的轨迹方程，并指明曲线类型解析(1)由e，得.又由原点到直线yx2的距离等于圆的半径，得b，a.(2)解法1：由c1得F1(1,0)，F2(1,0)，设M(x，y)，则P(1，y)由|MF1|MP|，得(x1)2y2(x1)2， 化简得y24x. 此轨迹是抛物线解法2：因为点M在线段PF1的垂直平分线上，所以|MF1|MP|，即M到F1
8、的距离等于M到l1的距离此轨迹是以F1(1,0)为焦点l1：x1为准线的抛物线，轨迹方程为y24x.跟踪练习：已知圆的方程为x2y24，动抛物线过点A(1,0)，B(1,0)，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程是_答案1解析设P(x0，y0)为圆上任一点，过该点的切线l：x0xy0y4(|x0|2)，以l为准线过A、B两点的抛物线焦点F(x，y)，A、B到l距离分别为d1、d2，根据抛物线的定义，|FA|FB|d1d2 4|AB|，F点的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为4的椭圆，c1，b23，方程为1.例2(2011青岛一中期中)如图，两条过原点O的直线l1，l2分别与x轴、y轴成30
9、的角，点P(x1，y1)在直线l1上运动，点Q(x2，y2)在直线l2上运动，且线段PQ的长度为2.(1)求动点M(x1，x2)的轨迹C的方程；(2)设过定点T(0,2)的直线l与(1)中的轨迹C交于不同的两点A、B，且AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围 解析(1)由已知得直线l1l2，l1：yx，l2：yx，点P(x1，y1)在直线l1上运动，点Q(x2，y2)在直线l2上运动，y1x1，y2x2，由|PQ|2，得(x12y12)(x22y22)4，即x124x224x221，动点M(x1，x2)的轨迹C的方程为y21.(2)直线l的方程为ykx2，将其代入y21，化简得(13k2)x
10、212kx90，设A(x3，y3)、B(x4，y4)，(12k)236(13k2)0k21，且x3x4，x3x4，AOB为锐角，0，即x3x4y3y40x3x4(kx32)(kx42)0，(1k2)x3x42k(x3x4)40.将x3x4，x3x4代入上式，化简得0k21且k2，得k(，1)(1，)跟踪练习：已知两点M(1,0)，N(1,0)，且点P使，成公差小于零的等差数列(1)点P的轨迹是什么曲线？(2)若点P的坐标为(x0，y0)，记为与的夹角，求tan.解析(1)设P(x，y)，则(1x，y)，(1x，y)，(2,0)，2(1x)，x2y21，2(1x)，由题意，即，所以点P的轨迹是以
11、原点为圆心，为半径的右半圆(不含端点)(2)点P的坐标为(x0，y0)，而x02y0212.又|2.所以cos， 0x0，cos1，0，sin，故tan|y0|.例3如右图所示，从双曲线x2y21上一点Q引直线xy2的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程解析设动点P的坐标为(x，y)，点Q的坐标为(x1，y1)，则N点的坐标为(2xx1,2yy1)点N在直线xy2上， 2xx12yy12，又PQ垂直于直线xy2， 1.即xyy1x10.由、联立，解得又Q在双曲线x2y21上，x12y121，即(xy1)2(xy1)21整理得2x22y22x2y10，这就是所求动点P的轨迹方程跟踪练习：
12、 M是抛物线y2x上一动点，O为坐标原点，以OM为一边作正方形MNPO，求动点P的轨迹方程分析设M(x0，y0)，即x0y02，设P(x，y)，用x，y表示x0，y0或者直接消掉y0.解析依题意，设P(x，y)，M(y02，y0)四边形MNPO为正方形，|OM|OP|且OPOM.，由消去y0，化简得y2x4，动点P的轨迹方程为x2y(y0)例4(2010天津文)已知椭圆1(ab0)的离心率e，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B.已知点A的坐标为(a,0)若|AB|，求直线l的倾斜角；若点Q(0，y0)在线段AB的垂直平分线上，且4.求y0的值解析本题考查了椭圆的标准方程及其几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、直线的倾斜角、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想(1) 由e，得3a24c2，再由c2a2b2，解得a2b.由题意可得2a2b4，即ab2. 解方程组，得a2，b1. 椭圆的方程为y21.(2)由(1)知，点A的坐标为(2,0)设点B的坐标为(x1，y1)，直线l的斜率为k，则直线l的方程为yk(x
