力学竞赛动力学

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1、动力学普遍定理及达朗伯原理,中国矿业大学理学院力学系 巫静波,1.1质点系及刚体动量的计算,1 基本物理量的计算,质点系质心的位置矢量及坐标,1.2 质点系动量矩计算,由质心坐标公式，有,图中杆长为l，质量为m ，均质圆盘半径为R，质量为m，圆心在A点。已知杆OA以角速度 绕O轴转动，试求如下几种情况下圆盘对定点O的动量矩：,（1）圆盘固结于OA杆上。,（2）圆盘绕轴 A 相对于杆以角速度 转动。,（3）圆盘绕轴 A 相对于杆以角速度 转动。,（4）圆盘以绝对角速度 绕 A 轴转动。,（5）圆盘以绝对角速度 绕 A 轴转动。,1.3 质点系动能和力的功的计算,质点系的动能,a. 平动刚体的动能

2、,b. 定轴转动刚体的动能,c. 平面运动刚体的动能,柯尼希定理,质点系的动能(绝对运动动能)，等于系统跟随质心平移的动能(牵连运动动能)与相对于质心平移系运动的动能(相对运动动能)之和。 _柯尼希定理,图示坦克的履带质量为 m ，两个车轮的质量均为 m1 。车轮可视为均质圆盘，半径为 R ，两车轮间的距离为 R。设坦克前进速度为 v，计算此质点系的动能。,O1,O2,质量为m、半径为 3R 的均质大圆环在粗糙的水平面上纯滚。另一小圆环质量亦为m ，半径为R ，又在粗糙的大圆环内壁做纯滚动。不计滚动摩阻，整个系统处于铅垂面内。求以下三种情况下系统的动能。,（1）大圆环固定。,（2）大圆环绕中心

3、定轴转动。,（3）大圆环沿粗糙水平面纯滚动。,O1,O2,（1）大圆环固定。,O1,O2,（2）大圆环绕中心定轴转动。,（3）大圆环沿粗糙水平面纯滚动。,计算系统的动能：,由运动学可知：,建立随质心O1平动的坐标系O1 x1 y1,计算系统的动能：,平面运动刚体上力系的功,滚动摩阻的功：,拉力 F 的功：,功是力与其作用点位移的点乘。这里“位移”并不是力作用点在空间中的位移，而是指受力物体上受力作用那一点的位移。,例 题,例 题,已知：轮 O 质量为 m，P，f 。,求： 轮 O 移动距离 S 时 轮的角速度、角加速度。,解：取轮 O 为研究对象,主动力的功：,由动能定理得：,由动能定理得：,

4、解得：,1.4 刚体的惯性力系简化结果,1、刚体作平动,质体作平动时，惯性力系简化为一个通过质心的合力 FI 。,FI maC,2、刚体绕定轴转动,惯性力系向转轴上任一点O简化，得一力和一力偶，该力等于惯性力系主矢 FI ，该力偶的矩等于惯性力系对点的主矩 MIO 。,FI maC,其 中：,如果刚体具有对称平面，该平面与转轴垂直，则惯性力系向对称平面与转轴的交点O简化，得在该平面的一力和一力偶。,或向质心C简化,3、刚体作平面运动,如果刚体具有对称平面，则惯性力系向质心简化得一力和一力偶。, 质刚体绕定轴转动时，轴承附加动反力等于零的条件为：刚体的转轴是中心惯性主轴。即：（1）转轴通过质心；

5、（2）惯性积等于零。,动力学普遍定理,动量定理,动量矩动量,动能定理,动量方法,能量方法,2 质点系普遍定理的综合应用,动力学两类问题与分析程序,主动力,质点系运动,质点系运动,动约束力,非自由质点系,一般分析程序： 先避开未知约束力，求解运动量； 然后再选择合适的定理，确定动约束力。,动力学两类问题与分析程序,需要特别注意自由度的概念，注意分析约束的性质,确定：系统是单自由度还是多自由度； 是一处约束还是多处约束； 是理想约束还是非理想约束。,对于具有理想约束，特别是具有多处约束的一个自由度系统，一般先应用动能定理分析运动，然后再采用动量定理或动量矩 定理，求动约束力。,对于具有一处约束的系

6、统，或者虽然具有多处约束的系统，但所要求的是瞬时二阶运动量和未知约束力，这时可以联合应用动量定理和动量矩定理以及达朗伯原理。,对于二自由度系统或多自由度系统，需要综合应用动能定理、动量定理、动量矩定理。这种情形下需要特别注意系统的守恒情形。,达朗伯原理与动静法为解决非自由质点系的动力学问题提供了有别于动力学普遍定理的另外一类方法。,例 题,均质圆轮A和B的半径均为r，圆轮A和B以及物块D的重量均为W，圆轮B上作用有力偶矩为M的力偶，且3Wr/2 MWr/2。圆轮A在斜面上作纯滚动。不计圆轮B的轴承的摩擦力。,求：1、物块D的加速度； 2、二圆轮之间的绳索所受拉力； 3、圆轮B处的轴承约束力。,

7、解：首先，讨论系统的自由度、 约束以及广义坐标的选择。,自由度：,1,约束：,多约束,广义坐标：,sD,解：1、确定物块的加速度,对系统整体应用动能定理,解：1、确定物块的加速度,将所有运动量都表示成广义坐标 sD 的形式,为求物块的加速度，将等式两边对时间求一阶导数，得到,当MWr/2，aD0，物块向上运动,解：2、确定圆轮A和B之间绳索的拉力,解除圆轮B轴承处的约束，将AB段绳索截开，对圆轮 B、绳索和物块D组成的局部系统应用动量矩定理,根据运动学关系,解：3、确定圆轮B轴承处的动约束力,对圆轮B、绳索和物块D组成的局 部系统应用质心运动定理,解：首先，讨论系统的自由度、 约束以及广义坐标

8、的选择。,自由度：,2,约束：,多约束,广义坐标：,xO ，,解：取系统为研究对象，因轮置于光滑面上，固其作平动。设其速度为 vO。杆转动的角速度为 。,对系统整体应用动能定理,由刚体的平面运动分析得,由系统在水平方向的动量守恒得,将 vO 代入动能定理方程可解得,解：取系统为研究对象，系统质心为C点。,因系统不受外力作用，所以C点不动。 另外，系统对C点的动量矩守恒，且为0。,小虫对C点的动量矩：,圆环对C点的动量矩：,小虫对C点的动量矩：,圆环对C点的动量矩：,由系统动量矩守恒,由系统动量矩守恒,利用初始条件： =0， =0，积分后得,质量为m和2m，长度分别为l和2l 的匀 质细杆OA

9、和AB 在A 点光滑铰接，OA 杆的A端为光滑固定铰链，AB杆的B端 放在光滑水平面上。初瞬时，OA杆水 平，AB杆铅直。由于初位移的微小扰 动，AB杆的B端无初速地向右滑动， 试求当OA杆运动到铅垂位置时，A点 处的约束反力。,解: (1) 取系统为研究对象，由动能定理得：,(2) 取OA 杆为研究对象,(3) 取AB 杆为研究对象,(4) 对AB 杆进行运动分析,取A点为基点，研究B点,取A点为基点，研究C点,(2) 取OA 杆为研究对象,(3) 取AB杆为研究对象,解得：, 解除约束的前、后瞬时，速度与角速度连续， 加速度与角加速度将发生突变。,突然解除约束问题的特点, 系统的自由度一般

10、会增加；,5 关于突然解除约束问题,解：取AB 杆为研究对象,应用平面运动微分方程,应用平面运动加速度分析，取 A 为基点。,B,解得：,请问能否直接对A点列写动量矩方程？,请问若将上述两问题中的绳子改为一刚性系数为k 的弹簧，则会发生什么变化，其计算过程和计算方法是否还不变？,6 关于动量矩定理的应用,mi,ri,A,vi,rA,C,上式表明质点系对动点的动量矩 LA 和相对动量矩 在一般情况下不相等，因此在计算质点系的动量矩时，必须区分质点系的运动是相对惯性系的绝对运动，还是相对平移坐标系的相对运动。 只是对于点A静止（ vA=0 )，或与质心重合（ ) ，以及 vA与 相平行的特殊情形下

11、，两者是相等的。,质点系对动点的动量矩定理,质点系对动点的动量矩对时间的导数以及动点速度与质点系动量的矢积这和，等于质点系的外力对动点的矩。,上式表明，以一些特殊点为矩心时，动量矩定理仍具有简洁的形式。如： （1）当A为固定点时； （2）当A为系统质心时； （3）当A为速度瞬心，且到质心C 的距离保持 不变时。,质点系对动点的相对动量矩对时间的导数，等于质点系的外力以及全部质量集中于质心处的质点的牵连惯性力对该动点的合力矩。在下述情形下，其附加项不出现： （1）动矩心为加速度瞬心； （2）动矩心的加速度矢通过质心； （3）动矩心的加速度矢与质心的相对矢径平行。,质点系对动点的相对动量矩定理,相

12、关的趣味力学问题,几个有意义的实际问题,地面拔河与太空拔河，谁胜谁负,？,？,几个有意义的实际问题,蹲在磅秤上的人站起来时 磅秤指示数会不会发生的变化,？,几个有意义的实际问题,台式风扇放置在光滑的台 面上的台式风扇工作时，会 发生什么现象,？,几个有意义的实际问题,抽去隔板后将会 发生什么现象,定 向 爆 破, 质心运动定理的实例分析, 质心运动定理的实例分析,驱动汽车行驶的力, 质心运动定理的实例分析,跳高运动员的过杆姿势,h3=254305mm,h3=51102mm,？,几个有意义的实际问题,谁最先到 达顶点,？,几个有意义的实际问题,直升飞机如果 没有尾翼将发生 什么现象,？,几个有意

13、义的实际问题,为什么二者 转动方向相反,？,几个有意义的实际问题,航天器是 怎样实现姿 态控制的,？,跳远运动员怎样使身体在空中不发生转动,几个有意义的实际问题,？,跳远运动员怎样使身体在空中不发生转动,几个有意义的实际问题,？,猫在下落过程中是 如何实现其四脚朝地 安全落下。,几个有意义的实际问题,竞技运动中的现象,圈 操,艺术体操运动员使圈高速转动，并在地面上向前抛出，不久圆圈可自动返回到运动员跟前。试分析圈的运动。,解：取圆圈为研究对象,第一阶段,这说明由于摩擦力的作用，圆圈的质心速度越来越小， 其转动的角速度也越来越小。,由平面运动微分方程得,解得：,第二阶段,表明圆圈相对地面没有滑动

14、，所以不在有摩擦力。又因为在水平方向没有其它外力作用，所以圆圈将以等角速度无滑动地滚动下去。,圆圈将连滚带滑地往回滚。,圆圈将无滑动地往回滚。,研究：1、应用势能驻值定理，确定跷板的可能平衡位形；,2、应用机械能守恒确定跷板作二维微振动的振动方程；,3、确定二维微振动的固有频率与运动稳定性条件。,如图所示为玩具跷板简图。在不计质量的木钉上固结两个与木钉夹角为 的刚性臂。臂端分别安装的质量均为 m 的小球。两臂等长均为。钉长OAd ，分别 与两臂所夹 角的范围 。 将木钉的尖端O放置在柱形支承的表面，玩者可随意让跷板旋转或摆动。,跷 板,解：一般情形下，跷板绕点O作定点运动。本例主要研究二维运动

15、，因此，这是一个自由度的理想约束系统。取为广义坐标。,以支点O作为零势能位置,1. 跷板的静平衡位置,2. 跷板的二维微振动方程,为了计算系统的动能，令l1为每个小球到支点O 的距离，,系统的总动能为,系统的总势能为,由系统的机械能守恒，得,将上式对时间求导，并注意到：,得跷板的二维微振动方程,3. 跷板的固有频率,不 倒 瓮,图示为一个简单的“不倒瓮”模型，由空 壳ABDE和配重C 组成。不计空壳质量，其 底部轮廓线ADB 是半径为R的圆弧，且充分 粗糙。配重C在空壳内的轴上，质量为M。 若要求“不倒瓮”直立时平衡且稳定，则,配重C的质量M 。,(a) 越大越好； (b) 越小越好； (c) 可为任意值； (d) 条件不够不能确定。,配重C的位置范围 。,若已知M、R、OC=d, 则模型 微摆动的周期 。,不 倒 瓮,以点O作为零势能位置,1. 不倒瓮的平衡位置,不 倒 瓮,配重C的质量M 。,(c) 可为任意值,配重C的位置范围 。,C在OD之间，（O，D,关于人造卫星的溜溜消旋,图示为一人造卫星上使用的消旋装置。设卫星绕通过质心的对称轴的初始自旋角速度为 0，当细绳与圆周的切点到达A点时，将细绳也释放。问：当卫星达到完全消旋时，绳长应为多少？,解：卫星处于失重状态，系统对转轴的动量矩