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1、. . . .A. 公平的竞赛评卷系统目录A.公平的竞赛评卷系统10.摘要2.关键词31.问题的重述32.问题分析53.模型的基本假设64.符号的说明65.模型的建立和求解7问题一7问题二 评委的分配9（1）在这里，我们再做一些必要的假设：9（2）数据的处理9（3）模型建立10问题三 评阅试卷公平性与一致性的分析165.3.1模型（一）175.3.2模型（二）175.3.3模型（三）21问题四 分数的调整22问题五 百分制与等级制的比较25六 模型评价26七 模型推广28摘要 我们这次做的是A题。现在，越来越多的大学生积极参与到全国大学生数学竞赛当中，如何公正客观的评阅参赛卷是很重要的！针对此
2、题目的五个问题，我们分析相关的数据，建立了相应的数学模型，并且求解出最后结果。 问题一，题目要求给出一种答卷编号加密和解密的数学公式，自然会想到常用且简单的XOR（异或）运算，其原理如下：设待加密明文为M，加密密钥为P，则密文C=MP；由异或运算的性质易得CP=M，CM = P；故可以通过CP解密出原明文M。异或运算简单，计算快速；由于使用了加密密钥P（由密码变换得来），故能满足可随意变换；只要密码的安全性能得到保障，其加密性能还是较好。问题二中，我们利用整数规划以及层次分析法，建立相应的数学模型。我们对 “特殊要求”赋予不同的期望值，构成一个4行25列的适配度矩阵，我们以最大适配度为目标函数
3、，利用相应的数学软件求解出每个题组需要的评委数目以及评委编号；同时，为了每个评委评阅的答卷尽可能广泛，在我们建立的广泛度模型中，我们采用了倒置的钟型隶属函数为广泛度函数，求出相应的权值，同时建立一个广泛度最大的函数，使函数值最大，求出每个评委具体评阅各个学校的试卷份数。问题三，对评分一致性和公正性进行分析，我们采用两种模型：模型一，我们根据四个分组的样本方差，来比较不同评阅员对试卷打分公平度的分析，由于模型一中，当样本方差小时，我们能够得出，这个评阅员的打分比较客观，但是，当样本方差很大时，我们只能够得出这个评分不够客观，不能够更客观，更精确的分析，所以在模型二中，我们引入了“绝代比”这个概念
4、，这样，我们就可以在绝代比稍稍大于1时，说明这个评委总体来说他的评分比较客观，但是也不能排除他对少部分试卷作弊的嫌疑，当“绝代比”远远大于1时，只能说明他的评分在平均分附近徘徊。模型三中，我们把每个评委评分的走势图以及平均分的走势图相比较，简单，易懂，清晰。问题四中，题目是让我们利用问题三的分析，对评阅的“不公平”现象做出调整并给出公式，在这个问题中，我们采用两个模型，模型一中，我们采用“裁头去尾”的方式，来计算这份试卷的平均分，虽然这样有一定的公平性而且排除了某些作弊的嫌疑，但是这样会让我们失去一些宝贵的评分资源，于是我们在不排除评分的情况下，采用权值形式即，在高评分的情况下，我们乘以一个小
5、的数，在低评分的情况下，我们乘以一个大的数，这样就可以保证评分的公正性，这就是我们问题四的模型二，采用的回归方程的新模型。在问题五中，我们会讨论一下在评阅的过程中，是采用百分制好，还是采用等级制好。 .关键词：XOR（异或）加密运算，整数规划， 柯西隶属函数，回归方程，等级制。1.问题的重述数学建模竞赛吸引了众多的大学生、研究生甚至中学生的参与，越来越多的人关心竞赛评卷的公平性。现今大多数的评卷工作是这样进行的：先将答卷编成密号，评委由各参赛学校（20-50所）派出，按不同的题目分成几个题组，每个题组由M个评委组成，评阅N份答卷，每份答卷经L个评委评阅，评委对每份答卷给出等级分（A+，A，A-
6、，B+，B，B-，C+ ，C，C-，D），如果L个评委给出的分数基本一致，就给出这份答卷的平均分，否则需讨论以达成一致（其中M = 5-10，N = 60-200，L = 3-5）。现在需要我们解决如下问题：1有A,B,C,D四个题目，P（P M）所学校参赛，给出一种答卷编号加密和解密的数学公式方法（其中题号为明号）；要求方法简单易算、可随意变换且保密性能好；对你的方法给出分析。2每个题组的M个评委来自不同学校，给出一种评阅答卷分配的数学公式方法，要求回避本校答卷，并且每个评委评阅的答卷尽可能广泛，并满足某些特殊的要求。3给出评分一致性或公正性的检验方法，该方法要求对每个评委的公平性给出评价（
7、某评委分数普遍给的偏高或低属于尺度偏差，不应算作不公平，可在下面的问题中调整）。4给出最终的分数调整计算公式。该公式要处理那些可能出现的“不公平”，及尺度偏差。对可能出现的“不公平”构造例子，说明你的方法。5对评卷中的其他问题（如采用百分制还是等级分，一份答卷由几个评委评阅可以满足既经济又公平，等等）提出你的看法和根据。6假定有35所学校298个参赛队参赛，数据如附表。其中：数字前两位代表学校，甲组选做A，B题；乙组选做C，D题；25名评委所属的学校编号为：1-17，20，21，22，24，26，28，29，30。每份试卷经四位评委评阅，编号为15，22的只容许评C，D题，编号为26的只容许评
8、A，B题，编号为1，4，6，12，16的评委要求评A题，编号为2，5，7，10的评委要求评B题；编号为24的评委要求评C题，编号为29的评委要求评D题。其余按所在学校的甲、乙组别及个人的要求安排。要求对问题1，2给出具体的算法及结果。对问题3，4，5给出模拟数据再进行分析和运算。2.问题分析该问题讨论的是数模竞赛当中所涉及的一个公平评卷问题。该题目有五问：问题一，让我们对P所学校的参赛队的答卷编号写出编号加密和解密的数学公式，题目要求给出一种答卷编号加密和解密的数学公式，自然会想到常用且简单的XOR（异或）运算，其原理如下：设待加密明文为M，加密密钥为P，则密文C=MP；由异或运算的性质易得C
9、P=M，CM = P；故可以通过CP解密出原明文M。异或运算简单，计算快速；由于使用了加密密钥P（由密码变换得来），故能满足可随意变换；只要密码的安全性能得到保障，其加密性能还是较好；故得出加密方法。 问题二，我们需要给出一种评阅答卷分配的数学公式方法，要求回避本校答卷，并且每个评委评阅的答卷尽可能广泛，并满足某些特殊的要求。我们利用整数规划以及层次分析法，建立相应的数学模型。我们对 “特殊要求”赋予不同的期望值，构成一个4行25列的适配度矩阵，我们以最大适配度为目标函数，利用相应的数学软件求解出每个题组需要的评委数目；为了每个评委评阅的答卷尽可能广泛，在我们建立的广泛度模型中，我们采用了倒置
10、的钟型隶属函数为广泛度函数，求出相应的权值，同时建立一个广泛度最大的函数，使函数值最大，求出每个评委具体评阅各个学校的试卷份数。针对问题三，对评分一致性和公正性进行分析，我们采用了两种模型。模型一，我们根据四个分组的样本方差，比较不同评阅员对试卷打分公平度的分析，在模型一中，当样本方差小时，我们能够得出，这个评阅员的打分比较客观，但是，当样本方差很大时，我们只能仅仅得出这个评分不够客观，但不能更客观，更精确的进一步分析，所以在模型二中，我们引入了“绝代比”这个概念，这样，我们就可以在绝代比稍稍大于1时，说明这个评委总体来说他的评分比较客观，但是也不能排除他对少部分试卷作弊的嫌疑，当“绝代比”远
11、远大于1时，只能说明他的评分在平均分附近徘徊。模型三中，我们把每个评委评分的走势图以及平均分的走势图相比较，简单，易懂，清晰。问题四中，题目是让我们利用问题三的分析，对评阅的“不公平”现象做出调整并给出公式，在这个问题中，我们采用两个模型，模型一中，我们采用“裁头去尾”的方式，来计算这份试卷的平均分，虽然这样有一定的公平性而且排除了某些作弊的嫌疑，但是这样会让我们失去一些宝贵的评分资源，于是我们在不排除评分的情况下，采用权值形式即，在高评分的情况下，我们乘以一个小的数，在低评分的情况下，我们乘以一个大的数，这样就可以保证评分的公正性，这就是我们问题四的模型二，采用的回归方程的新模型。在问题五中
12、，我们针对一些数据和资料，讨论在评阅的过程中，是采用百分制好，还是采用等级制好。 3.模型的基本假设：1.假设评委的经验和知识背景都足够的丰富，这样就不会因为自身一些原因，造成评阅的不公平性。2.假设评阅过程当中，不会出现集体作弊的嫌疑。3.假设每个评委的评卷速度、阅卷量、阅卷水平相近；4. 假设每个评委在评卷过程中不会讨论交流评卷以外的试卷信息，独立自主的评出每份试卷的分数，对于同一份试卷评委不会相互透露各自所评的分数；5.没有被强行要求以及自己没有提出要求的评委被随机分配。4.符号的说明 A、B、C、D-分别表示参赛队所选的题目-表示第i个评委评阅的试卷的离差绝对值。-表示第i个评委评阅的
13、试卷的离差。-表示第i个评委对第j份试卷评阅的分数。-表示第j份试卷评分的平均数。-表示第j所学校所选第k组题的参赛对数。-表示第i个评委的“绝代比”。-表示选第k个题的参赛队的总数-第i个评委评阅第j个学校的份数-表示第i个评委评分的权值。5.模型的建立和求解问题一题目要求给出一种答卷编号加密和解密的数学公式，自然会想到常用且简单的XOR（异或）运算，其原理如下：设待加密明文为M，加密密钥为P，则密文C=MP；由异或运算的性质易得CP=M，CM = P；故可以通过CP解密出原明文M。异或运算简单，计算快速；由于使用了加密密钥P（由密码变换得来），故能满足可随意变换；只要密码的安全性能得到保障
14、，其加密性能还是较好。故得出加密方法，我们假设M代表加密明文，P代表加密密钥，C代表密文，A就代表解密出的原明文，根据我们总结出的加密原理，我们会得到以下数学表达式：原文M经过加密密钥P加密后就会得到密文C，即：C=MP。密文C经过解密密钥P解密后，就会得到原明文A，即：A=CP；其中这是一种对称加密算法，所以，加密密钥与解密密钥是相同的。按照这种思路，如果我们得到的还原密文与加密密文相同，就成功了。下面，我们先从自己假设的一个小例题来验证：设原明文M=（0,1,0,1），加密密钥P=（1,0,0,1）；那么经过加密密钥加密之后的密文就是：C=MP=（0,1,0,1）（1,0,0,1）=（1,1,0,0）；密文C经过解密密钥解密之后的还原密文就是： A= CP=（1,1,0,0）（1,0,0,1）=（0,1,0,1）；又因为A=M，即还原之后的密文等于原明文，所以我们加密和解密已成功；按照这种思路，我们就可以对我们的参赛选手的序号进行加密了；因为我们参赛选手的编号是四位十进制的，所以我们必须先把他们转化成16位的8421BCD码，才行。如：第一个学校的第一个参赛选手的编号是：0101，它是一个四位十进制的序号，所以他的8421BCD码是：0000，0001,0000,0001；我们选择加密密钥是：（2010），即：（0010，0000,0001,
