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1、用心 爱心 专心 1康杰中学 20122013 学年第一次月考高二数学（理）试题(本试题考试时间 120 分钟，满分 150 分，答案一律写在答卷页上)一、选择题：（本大题共 12 小题. 每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. A， B 为球面上相异两点，则通过 A， B 两点可作球的大圆(圆心与球心重合的截面圆)有( )A一个 B无穷多个 C零个 D一个或无穷多个2. 如图，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )正方体 圆锥 三棱台 正四棱锥A B C D3. 对于任意的直线 与平面 ，在平面 内必有直线 ，使 与 ( )
2、mlmlA平行 B相交 C垂直 D互为异面直线4. 如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，AB=6，AD=4，AA 1=3，分别过 BC、A 1D1的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为 1111123,.AEDFEBFCBECFVVV若 ，则截面 的面积为（ 23:4）A B 113C D 6385. 在下列关于点 P，直线 、 与平面 、 的命题中,正确的是 （ ）lmA. 若 , ，则 mlB. 若 ， ， ，且 ，则lP,mlC. 若 且 , ，则lD. 若 、 是异面直线， , , , ,则 . lmll6. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E、F 分别是
3、AA1和 B1B 的中点，则 D1F 与 CE 所成角的余弦值为（ ）2 题图E1F1 C1B1D1A1A BCDEF4 题图用心 爱心 专心 2A B C D 191323297. 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为 ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积a为（ ）A B. C. D. 2a273a21325a8. 如图，在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中， E、 F 分别是AB1、BC 1的中点，则以下结论中不成立的是（ ）A. EF 与 BB1垂直B. EF 与 BD 垂直C. EF 与 CD 异面D. EF 与 A1C1异面9. 如图，直线 PA 垂直于圆 O 所在的平面， 内
4、接于ABC圆 O，且 AB 为圆 O 的直径，点 M 为线段 PB 的中点现有以下命题： ； ；点 A 到平面BP/P平 面PBC 距离就是PAC 的 PC 边上的高 二面角 P-BC-A 大小不可能为 450，其中真命题的个数为 （ ）A3 B2 C1 D010. 下列四个正方体图形中， 为正方体的两个顶点，AB、分别为其所在棱的中点，能得出 平面MNP、 、 /的图形的序号是（ ）A. 、 B. 、 C. 、 D. 、11. 如图，平面 平面 ， A ， B ， AB 与两平面 ， 所成的角分别为 和 ，46过 A， B 分别作两平面交线的垂线，垂足为 A， B ，若 AB=12，则 A
5、B 等于( ) A4 B6 C8 D912. 已知结论：在正三角形 ABC 中，若 D 是边 BC 的中点，G 是三角形C1D1A1 B1A BC DEF8 题图10 题图11 题图9 题图ACBPMO用心 爱心 专心 3ABC 的重心，则 AG：GD=2:1，若把该结论推广到空间中，则有结论：在棱长都相等的四面体 ABCD 中，若三角形 BCD 的中心为 M，四面体内部一点 O 到各面的距离都相等，则AO：OM=（ ）A1 B2 C3 D4二、 填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13. 如图，侧棱长为 的正三棱锥 V-ABC 中，AVB=BVC=CVA=40 0 ，
6、 过 A 作截面 AEF，则截面AEF 周长的最小值为 14. 设某几何体的三视图如图所示，则该几何体表面积是 15. 已知ABC 和DBC 所在的平面互相垂直，且AB=BC=BD，CBA=DBC=120 0，则 AB 与平面 ADC 所成角的正弦值为 16. 如图，点 P 在正方体 的面对角线1ABCD上运动，则下列四个命题：1BC三棱锥 的体积不变； 面 ；11P1ACD ； 面 面 。DP1DB其中正确的命题的序号是_（写出所有你认为正确结论的序号）三 、 解 答 题 （ 本 大 题 共 6 小 题 ， 共 70 分 。 解 答 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 步 骤 ）
7、17. （本小题满分 10 分）已知正方体、球、底面直径与母线相等的圆柱，它们的表面积相等，试比较它们的体积 V 正方体 ， V 球 ， V 圆柱 的大小BC VAEF13 题图42正视图俯视图4222侧视图14 题图16 题图用心 爱心 专心 418. （本小题满分 12 分）在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 为平行四边形， ACB=90， EF AB， FG BC， EG AC. AB=2EF. 若 是线段 AD 的中点。求证： GM平面 ABFE 19. （本小题满分 12 分）如图，在 中，ABC是 上的高，沿 把60,90,ABCADBD折起，使 。D（）证明：平面 ADB 平
8、面 BDC；（）设 为 BC 的中点，求 AE 与 DB 夹角的余弦值。20. （本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中， PD平面ABCD， PD DC BC1， AB2， AB DC， BCD90（1）求证： PC BC；（2）求点 A 到平面 PBC 的距离21. （本小题满分 12 分）已知 BCD 中， BCD90，BC CD1， AB平面 BCD， ADB60， E， F 分别是 AC， AD上的动点，且 (0 1)ACEDF（1）求证：不论 为何值，总有平面 BEF平面 ABC；（2）当 为何值时？平面 BEF平面 ACD.22. （本小题满分 12 分）四棱锥
9、中，底面ABCDE20 题图21 题图18 题图CABDE22 题图用心 爱心 专心 5为矩形，侧面 底面 ， ， ， BCDEABCDE2BCABC（）证明： ；（）设 与平面 所成的角为 ， E45求二面角 的余弦值康杰中学 2011-2013 学年第一次月考高二数学（理科）答案一、选择题：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12D A C B D A B D A B B C二、填空题：13 6 14 . 32 15. 16 . 7三、解答题：17. 解：设正方体的边长为 a，球的半径为 r，圆柱的底面直径为 2R，则 6a24 r26 R2 S a2 ， r2 ， R2 -6
10、S46S-3 分( V 正方体 )2( a3)2( a2)3 ，213(V 球 )2 2(r2)3 2 ，34r9169634S08(V 圆柱 )2( R22R)24 2(R2)34 2 36 V 正方体 V 圆柱 V 球 -10 分163S18. 证法一：因为 EF/AB，FG/BC，EG/AC， ，90ACB18 题图用心 爱心 专心 6所以 90,EGFABC.EFG由于 AB=2EF，因此，BC=2FG，连接 AF，由于 FG/BC， -6 分1,2在 中，M 是线段 AD 的中点，DA则 AM/BC，且 因此 FG/AM,BC且 FG=AM，所以四边形 AFGM 为平行四边形，因此
11、GM/FA。又 平面 ABFE， 平面 ABFE，FG所以 GM/平面 AB。-12分证法二：因为 EF/AB，FG/BC，EG/AC，90ACB所以 由,EGFABC.EFG于 AB=2EF，因此，BC=2FC，取 BC 的中点 N，连接 GN，因此四边形 BNGF 为平行四边形，所以 GN/FB，-6 分在 中，M 是线段 AD 的中点，连接 MN，则 MN/AB，ABCD因为 所以平面 GMN/平面 ABFE。又 平面 GMN，,NGGM所以 GM/平面 ABFE。-12 分19. 解（）折起前是边上的高， 当 折起后，AD，AD，又 DB ，平面，AD 平面 平面 BDC 平面 ABD
12、 平面 BDC。-4 分（）由 及（）知 DA，DC 两两垂直，不防设 =1，以 D90 B为坐标原点，以 所在直线 轴建立如图所示的空间直角坐标系，易,DBCA,xyz得 D（0,0,0） ，B（1,0,0） ，C（0,3,0） ，A（0,0， ） ，E（ ， ，0） ，3123= ， =（1，0,0,） ，AE13,2与 夹角的余弦值为B ， =cosAED12.|4B18 题图N用心 爱心 专心 7-12 分12420. (1)证明： PD平面 ABCD， BC 平面 ABCD， PD BC由 BCD90，得 CD BC又 PD DC D， PD， DC 平面 PCD， BC平面 PCD
13、 PC 平面 PCD，故 PC BC-4 分(2)解：(方法一)分别取 AB， PC 的中点 E， F，连 DE， DF， 则易证 DE CB， DE平面 PBC，点 D， E 到平面 PBC 的距离相等又点 A 到平面 PBC 的距离等于点 E 到平面 PBC 的距离的 2 倍，由(1)知， BC平面 PCD，平面 PBC平面 PCD PD DC， PF FC， DF PC又 平面 PBC平面 PCD PC， DF平面 PBC 于 F易知 DF ，故点 A 到平面 PBC 的距离等于 -12 分22(方法二)：连接 AC，设点 A 到平面 PBC 的距离为 h AB DC， BCD90， ABC90由 AB2， BC1，得 ABC 的面积 S ABC1由 PD平面 ABCD，及 PD1，得三棱锥 P-ABC 的体积V S ABCPD PD平面 ABCD， DC 平面33A
