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1、衢州五校2018学年第一学期高二年级期末联考数学试题第卷（选项题）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据并集定义，所有元素合到一起，得出结果。【详解】集合，则 故选C【点睛】本题考查了并集的定义。2.设向量，若，则角（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用，即与数量积为零，求得角。【详解】 得 因为 所以 故选B【点睛】本题考查了空间向量的数量积知识点。3.过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，则（ ）A. 4 B. 5 C. 6 D. 8【答案】B【解析】【分析】根
2、据抛物线的定义，得到焦点弦长公式为 ，从而求得弦AB。【详解】，2p=2，p=1 故选B【点睛】本题考查了抛物线焦点弦长公式的应用。4.直线，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据两条直线平行的条件，求得m的值，就可以判断是的什么条件。【详解】， 且 或 且 所以“”是“”的充分不必要条件 故选A【点睛】本题考查了两条直线平行的条件和充要条件这两个知识点。5.下列命题正确的是（ ）A. 若两个平面分别经过两条平行直线，则这两个平面平行.B. 若平面，则平面.C. 若，是两条不同的直线，平面，则.D.
3、 若一条直线上的两个点到平面的距离相等，则这条直线平行于平面.【答案】C【解析】【分析】根据线面和面面平行和垂直的判定和性质，来判断此题。【详解】A这两个平面可能相交，故A错B这两个平面可能平行，也可能相交但不垂直，故B错D这条直线可能与平面相交，这两个点分别在平面的两侧，到平面距离相等。故选C【点睛】本题考查了线面和面面平行和垂直基本的判定和性质知识点。6.直线与圆相交于，两点，则的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】此题直线与圆的交点恰有一点就是（0，1），就以1为底，另一点到y轴的距离就是另一点的横坐标的绝对值为高，求得面积。【详解】解得 或 故选B【点睛】求解
4、三角形面积问题，选取合适的底和高是解题关键。7.函数的大致图象是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用函数的奇偶性和函数值的正负来判断。【详解】 为奇函数，排除C、D当 函数值为正 当 函数值为负 排除B 故选A【点睛】利用函数的基本性质是判断函数大致图像的方法。8.如图，正方体中，是棱的中点，是棱上的点，且，则直线与所成的角的余弦值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】建立适当的空间直角坐标系，利用数量积求两直线所成角的余弦值。【详解】以D为坐标原点，以 所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系。设 N(,0,0) B(3,3,0) M(0,3,
5、1) (3,3,3) ，. 故选D【点睛】本题考查了空间向量在几何中的应用。建立空间直角坐标系时，单位长度利用已知条件适当选取，尽量使得点的坐标为整数。9.过双曲线右焦点，且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，是坐标原点.若，设双曲线的离心率为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由，可知BO=BA。又由已知判断为通径，再利用 得到 的关系，求得。【详解】 BO=BA由已知得为通径 = 因为双曲线离心率大于1所以 故选D【点睛】求双曲线离心率的问题，就是要利用已知条件找出的关系，再利用，求得e。10.如图，在矩形中，点为的中点，为线段（端点除外）上一动点，现将沿折起，使得平
6、面平面，则当直线与平面所成角取得最大时，点到平面的距离为（ ）A. B. 1 C. D. 【答案】C【解析】【分析】平面平面,过D做DM , DM为平面的垂线，即点到平面的距离，直线与平面所成角就为 ，利用把的正弦值写成DM的函数，求得函数取得最大值时的DM。【详解】在面ABD中，过D做交于M点，连接MF。在平面中过F做的垂线，交于N点。平面平面, , DM为平面的垂线，即点到平面的距离，直线与平面所成角就为设 , 则， ， 在中,整理得 设 当时，取得最大值，即角最大，。 故选C【点睛】本题利用函数的思想求得在给定条件下，某个变量取何值时，另一个变量取得最值。用函数的思想解决最值问题是常用方
7、法。第卷（非选择题部分）二、填空题。11.直线的斜率为_；倾斜角为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】化为斜截式，方便看出斜率和倾斜角。【详解】 【点睛】本题考查了斜率和倾斜角两个知识点。12.双曲线的焦距为_；渐近线方程是_.【答案】 (1). 10 (2). 【解析】【分析】直接利用方程求得，再求焦距和渐近线方程【详解】 . 焦距为10焦点在x轴，所以渐近线方程为 渐近线方程为【点睛】本题考查了双曲线的基本性质。13.九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示（单位：），则该“堑堵”的体积为_，表面积为_.【答案】 (1). 2 (
8、2). 【解析】【分析】侧视图为直三棱柱的底面，高为正视图中标注的2，以此来求体积和表面积。【详解】侧视图中斜边为2，直角顶点到斜边的距离为1，可得直角边为 体积 表面积【点睛】看清哪一个视图是底面以及高和各边长，是解题的关键。14.如图，在中，为边上一点，的面积为，则_；_.【答案】 (1). 6 (2). 【解析】【分析】先利用面积求得，用求得，再利用余弦定理求得， 最后再用余弦定理求得。【详解】 ， 由 得 在三角形ABM和三角形AMC中，分别用余弦定理得 在三角形ABC中，利用余弦定理得=【点睛】本题考查了余弦定理的应用。15.对于直线上任意一点，点在此直线上，则直线的方程为_.【答案
9、】【解析】【分析】设直线方程，用待定系数法求直线方程。【详解】设直线方程为将点代入 得 .【点睛】本题考查了待定系数法求直线方程。16.已知圆与圆交于，两点，且这两点平分圆的圆周，则圆半径最小时圆的方程为_.【答案】【解析】【分析】由已知可得圆的圆心在相交弦所在直线上，从而得到与的关系式，求出的最值，进而求得圆半径的最小值。【详解】圆 圆心 半径为 圆 圆心 半径为2圆与圆的相交弦所在直线方程为：.两点平分圆的圆周，圆心在相交弦所在直线上.当 时，b的最大值为-2， 圆的半径圆的方程为【点睛】求最值问题，最常用的方法就是利用函数来求。本题就是用二次函数求b的最值。17.已知共面的三个单位向量，
10、满足，若空间向量满足，且对于任意，恒有，则_.【答案】【解析】【分析】由，可知 三个向量的夹角，建立空间直角坐标系，用向量坐标进行运算。【详解】共面的三个单位向量，满足, ，彼此夹角为 如图，以起点作为坐标原点，所在直线为x轴，以共面的三个单位向量，所在平面为平面，在其中以与垂直方向为y轴，过点作平面的垂线，以此垂线为z轴，建立空间直角坐标系。 设 对于任意，恒有,上式表示与，所在平面中的任意向量的差向量的模最小值为，即 又因为 所以， 符合题意。 【点睛】解决空间向量的问题常利用空间直角坐标系下的坐标，做解析变换。三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 18.已知.（）求的值
11、；（） 求的最小正周期及单调增区间.【答案】() () ,单调递增区间为，.【解析】【分析】利用辅助角公式将转化为正弦型函数，以便求得函数值、周期和单调递增区间。【详解】（） 或直接代入计算也可：即（）的最小正周期为；由，得，的单调递增区间为，.【点睛】辅助角公式是本题的解题关键，本题主要考查了正弦型函数的周期及单调区间的求法。19.已知.（）若任意，都有，求的取值范围；（）若对于任意的，存在使关于的不等式成立，求实数的取值范围.【答案】() () 【解析】【分析】（1）利用本题这个开口向上的二次函数图像思考的最小值都大于0，则恒成立，即 。（2）先考虑存在问题，即的最小值小于等于b,再考虑恒
12、成立问题。【详解】（）由解得（）的图象的对称轴，.又，【点睛】解恒成立问题转化为的最小值都大于0，则恒成立。解恒成立问题转化为的最大值都小于0，则恒成立。存在x使得成立，转化为的最大值大于0。存在x使得成立，转化为的最小值小于0。20.如图，在直三棱柱中，已知底面为腰长为1的 等腰直角三角形，且，分别是棱，的中点.（）求证：直线平面；（）求直线与平面所成的角的正弦值.【答案】()见证明；() 【解析】【分析】（）利用勾股定理证明， ，从而证明直线平面（）构造与直线平行的直线，方便找到线面角。【详解】（）连结，直三棱柱中，由题意得，又，又，平面直线平面.（）取中点，的中点为，连结，则，直线与平面
13、所成的角等于直线与平面所成的角.由（）证得直线平面，平面，为直线与平面所成的角，在中，直线与平面所成的角的正弦值为.【点睛】本题考查了线面垂直的判定和线面角两个知识点。特别提醒注意的是（2）中要找平行线的时候，条件中若有中点，多想再找一个中点，构造中位线来找平行线。21.已知数列，且数列为公差为1的等差数列.（）求数列、的通项公式；（）设，数列的前项和，对于一切，求实数的取值范围.【答案】（），（）【解析】【分析】（）利用这个等差数列的首项和公差求的通项公式，再求出的通项公式.()错位相减求和，限定的取值范围是的子集，从而求得m的范围。【详解】（），又数列为公差为1的等差数列，.即的通项公式为又，数列的通项公式为（）设，则即 ， -得 即.，数列为递增数列，即.又对于一切，则实数的取值范围是.【点睛】本题考查了等差数列通项公式及错位相减求和，其中错位相减求和是数列求前n项和的重要方法。22.已知椭圆过点，且它的离心率为，直线与椭圆相交于，两点.
