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1、1,4.1 假设检验的基本概念,4.2 判决准则,4.3 检测性能及其蒙特卡罗仿真,4.4 复合假设检验,4.5 多元假设检验,第二部分 信号检测,2,一、假设检验,假设：对可能的判决结果的陈述； 雷达目标检测：H1 : “Target present” H0 : “Target not present” 假设检验：对几种可能的假设作出判决；,H1 和 H0 是互不相容的，这是最简单的二元假设问题，对两种假设进行判决称为二元假设检验问题；,更一般的问题是有M个假设，称为M元假设问题，对M个假设进行判决称为M元假设检验问题。,4.1 假设检验的基本概念,3,信源s P(s);(H0,H1),混合
2、,P(n),n,判决准则,判决 (H0,H1),P(x|s),x,观测空间,信号检测的统计推断模型,假设检验的实质是对观测空间进行划分。,4.1 假设检验的基本概念,4,借助假设检验进行统计判决，步骤如下: 作出合理的假设； 选择进行判决时所遵循的判决准则； 获取观测样本； 作出具体判决。,4.1 假设检验的基本概念,5,1、最大后验概率准则,在观测到数据z的情况下，可以计算出后验概率P(H1|z)和P(H0|z)，对二个后验概率进行比较，如果P(H1|z)P(H0|z)， 有理由认为，之所以得到这样的观测值z，最有可能是事件H1发生引起的，则判决公式为：,4.2 判决准则,6,利用贝叶斯公式
3、:,似然比,门限,假设检验问题转化为似然比与门限进行比较的问题，称为似然比检验,4.2 判决准则,7,例1：二元假设： H1：z=1+v H0：z=v 其中v是均值为零、方差为1的正态随机变量；假定P(H0)=P(H1) 给出最大后验概率判决式，并确定判决性能。,4.2 判决准则,8,对于二元假设检验，有四种可能结果,H0为真，判H0成立 H1为真，判H1成立 H0为真，判H1成立 H1为真，判H0成立,发现概率或检测概率：,正确判决 正确检测 虚警（第一类错误） 漏警（第二类错误）,虚警概率(常用表示)： 漏警概率(常用表示):,4.2 判决准则,9,最大后验概率准则产生的总的错误概率Pe为
4、:,检测器的性能可以通过计算判决可能产生的错误概率来评估。,4.2 判决准则,10,已知信号的先验概率和代价因子，使统计平均代价最小。 统计平均代价: 代价因子Cij表示Hj为真，判决为Hi所付出的代价。,2、贝叶斯准则,判决表达式为：,似然比,门限,假设检验问题转化似然比检验,4.2 判决准则,11,例2：二元假设： H1：z=1+v H0：z=v 其中v是均值为零、方差为1的正态随机变量； 代价函数及先验概率已知，作出贝叶斯准则的判决。,4.2 判决准则,12,在已知信号的先验概率 和 的条件下，使总错误概率最小： 常应用在数字通信中。相当于贝叶斯准则中 C00C11=0, C01=C10
5、=1。 判决规则为：,3、最小总错误概率准则,最大后验概率判决式,假设检验问题转化似然比检验,4.2 判决准则,13,例3：二元假设： H1：z=A+vi i=1,2,.,N H0：z=vi i=1,2,.,N 其中A为常数，vi是均值为零、方差为 的高斯白噪声； 先验概率相等，作出最小总错误概率准则的判决。求总错误概率。,多次测量问题,4.2 判决准则,14,已知代价因子，不知先验概率时，可以采用极大极小准则：根据最不利的先验概率确定门限的一种贝叶斯判决方法。 平均代价：,4、极大极小准则（Minimax Criterion）,对于给定的p1，如果按照贝叶斯准则确定门限，即,对于给定的p1，
6、如果按照贝叶斯准则确定门限，即,4.2 判决准则,15,p,C,C(p),c,p1,P1*,p2,1,Cmin,Cminmax,C00,C11,4.2 判决准则,16,为了求出极大极小准则应满足的条件，即求出p1*及相应的门限值0，令： 称为极大极小方程。求出p1*及0，即可给出判决准则。,当C00=C110、C10=C011时，上式为：,4.2 判决准则,17,例1：设有两种假设 H0: zi=vi , i=1,2,.,N H1: zi=A+vi , i=1,2,.,N 其中vi是服从均值为零、方差为2的高斯白噪声序列，假定参数A是已知的，且A0，先验概率未知，C00=C11=0，C01=C
7、10=1，求极大极小准则判决式。,当C00=C110、C10=C011时，上式为：,4.2 判决准则,18,在许多情况下，给出信号的先验概率或代价因子是困难的，如雷达系统。此时可采样纽曼-皮尔逊准则：指定一个虚警概率的容许值，在约束不变的条件下使检测概率PD达到最大。即：,5、纽曼-皮尔逊准则(neyman-pearson),利用拉格朗日乘子构造函数: 划分判决域使J最小。,4.2 判决准则,19,选取满足=常数的约束条件，即:,划分的结果是使J最小的分界面满足:,假设检验问题转化似然比检验,4.2 判决准则,20,4.2 判决准则,21,例2：设有两种假设， H0: z=v H1: z=1+
8、v 其中vN(0,1)，试根据一次观测数据z，规定=0.1，应用奈曼-皮尔逊准则给出最佳判决及相应检测概率。,4.2 判决准则,22,例3：在两种假设下观测的概率密度如图所示，给定虚警概率为0.2，求纽曼-皮尔逊准则的判决表达式。,1/2,0,z,1,-1,1,1/2,0,两种假设下观测的概率密度,4.2 判决准则,23,H0: zi=vi , i=1,2,.,N H1: zi=A+vi , i=1,2,.,N,给定一定的信噪比，画出PD-PF曲线称为接收机工作特性（ROC）,1、接收机工作特性,其中v是均值为零、方差为1的正态随机变量； 代价函数及先验概率已知，作出贝叶斯准则的判决。,4.3
9、 检测性能及其蒙特卡罗仿真,24,PF,PD,d=0,d=0.2,d=0.5,d=1,N=8,4.3 检测性能及其蒙特卡罗仿真,25,给定虚警概率，检测概率与信噪比之间的关系曲线称为 检测器的检测性能曲线 。,检测性能曲线,PD,习题：8.8、8.10,信噪比d(dB),4.3 检测性能及其蒙特卡罗仿真,26,1 复合假设检验 在假设检验问题中,对于已知信号的假设称为简单假设； 对于含有未知参量信号的假设称为复合假设; 对于未知参量信号的检测是复合假设检验.,8.4 复合假设检验,4.4 复合假设检验,27,信号一般可表示为: 为信号s(t)附带的随机参量或未知的非随机量. 以二元信号检测问题
10、为例.,4.4 复合假设检验,28,假定已知概率密度 , ,若信号s0及s1的先验概率q、p及代价因子均已知，且代价因子与 无关:,可得贝叶斯判决规则为: 其中: 复合假设检验变换为简单的假设检验.,4.4 复合假设检验,29,例1 考虑一个复合假设检验问题：,其中vN(0,2)，a、b均为随机变量，且aN(1,1)，bN(-1,1)， a和b分别与v相互独立，假定两种假设为真的概率分别为 P(H0)、P(H1)，求最小错误概率准则的判决表达式。,4.4 复合假设检验,30,假定随机参量的先验概率 , 未知,或二者是未知的非随机量，贝叶斯准则无法使用。 若H0是简单假设，H1是复合假设，即：
11、则可以试用奈曼-皮尔逊准则：在给定值并限定虚警概率为常数的条件下使检测概率PD最大。,4.4 复合假设检验,31,若PD与无关，则检验称为一致最大势检验（UMP）。 若一致最大势检验不存在，可以采用下列方法： 广义似然比检验：对未知参数采用最大似然估计，并将此估计当作真值来进行似然比检验。 的最大似然估计：就是使似然函数f(z|)最大的。对于复合假设情形，广义似然比判决规则为：,4.4 复合假设检验,32,例2：在H0假设下，观测数据z具有方差为2、均值为零的正态分布；在H1假设下，观测数据z具有方差为2 、均值为A的正态分布，其中A在某区间内任意取值。 (1)假定观测数据量N1，求贝叶斯判决
12、式。已知参量A的概率密度为： (2)假定参数A是未知的，但已知A的符号（A0或者A0），试判断UMP检验是否存在。 (3)假定观测数据量N1，求广义似然比检验判决表达式。,4.4 复合假设检验,33,1、最大后验概率准则,最大似然准则,成立,成立,如果先验概率都相等,4.5 多元假设检验,34,2、贝叶斯准则,令：,4.5 多元假设检验,35,2、贝叶斯准则,如果使Ci(z)最小的z归入到Zi中，即判Hi成立，则C最小。,计算C1(z),计算C2(z),计算CM-1(z),选小电路,判决,4.5 多元假设检验,36,3、最小总错误概率准则,如果使Ci(z)最小的z归入到Zi中，即判Hi成立，则C最小。,成立,4.5 多元假设检验,
