分数阶微积分鲁棒控制

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1、分数阶微积分鲁棒控制,目录,一.分数阶微积分定义和数值求解方法 二.分数阶系统的时域和频域分析方法 三.分数阶系统的整数接近似算法 四.分数阶PID控制器设计,一.分数阶微积分定义和数值求解方法,1.1 分数阶微积分定义,在控制领域应用较多的三种分数阶微积分定义包括： 定义、Riemann-Liouville定义、Caputo定义。,1.1.1 定义： 对于任意的 ，函数 的 阶微积分为,式中，,一.分数阶微积分定义和数值求解方法,当 时，表示 f(t) 的 阶导数；当 时，表示 f(t)的 次积分。若满足 ，则 有性质,1.1.2 Riemann-Liouville 定义,对于任意的实数 ，

2、分数阶微分的RL定义为,为Gamma函数。,分数阶积分的RL定义为,一.分数阶微积分定义和数值求解方法,将分数阶微分和积分的RL定义统一到一个表达式中，则有分数阶微积分RL定义为,Riemann-Liouville 定义在数学上的要求比较苛刻，不仅需要函数是连续的，还需要满足f(t)可积。尽管在工程实际应用中，可以保证系统函数的连续性和 f(t)可积的条件，但是，由于Riemann-Liouville 定义还需要解决一个理论上可实现、实际上缺乏物理意义的初始值问题，因而它在应用上受到了一定限制。,一.分数阶微积分定义和数值求解方法,1.1.3 Caputo 定义,Caputo分数阶微分定义为,

3、取整数，,Caputo分数阶积分定义为,Caputo分数阶积分统一定义为,一.分数阶微积分定义和数值求解方法,1.1.3 Caputo 定义,进一步证明发现，在t0时，如果考虑一类函数 ，它具有m+1阶连续的导数，那么， 分数阶微积分定义与Riemann-Liouville分数阶微积分定义是完全相等的。Caputo定义和Riemann-Liouville定义的区别主要在于对常数求导的定义上，前者对常数的求导是有界的，而后者对常数的求导是无界的。Caputo定义则更适合于对分数阶微积分初值问题的求解。,一.分数阶微积分定义和数值求解方法,1.2 分数阶微积分数值求解方法,分数阶 控制器参数整定的

4、数值化实现方法主要依赖于目标函数的数值计算。这里介绍一种Z域数值法。 Z域数值法主要用于理论仿真和实验研究。目前，针对分数阶微积分环节的Z域数值法主要包括Eider, Tustin, Simpson及Alalaoui方法，不同的生成函数和展开方法决定了逼近形式及效果.,（1）基于Tustin+CFE法求解分数阶微积分环节,采用Tustin型生成函数对分数阶微积分算子进行离散化处理是常用的一种方法，此时分数阶微积分算子可表达为:,一.分数阶微积分定义和数值求解方法,1.2 分数阶微积分数值求解方法,它把s平面的稳定域充分地映射到z平面，且把点 和 分别映射到点 和 。可以采用连分式展开法(CFE

5、)，对其进行有理化处理。当将Tustin型生成函数与CFE展开方法结合时，分数阶微积分算子的离散化近似形式为:,一.分数阶微积分定义和数值求解方法,1.2 分数阶微积分数值求解方法,（2）基于Al-Alaoui+CFE法求解分数阶微积分环节,采用Al-Alaoui型生成函数对分数阶微积分进行离散化处理，其分数阶微积分算子表达式为:,当Al-Alaoui型生成函数与CFE法结合时，分数阶算子的离散化近似形式为:,其中，CFEu表示对函数。进行连分式展开，P和Q是变量z的多项式，其阶次分别为p和q。,一.分数阶微积分定义和数值求解方法,1.2 分数阶微积分数值求解方法,（3）有限脉冲响应不变法求解

6、分数阶微积分环节,分数阶微积分算子 的一阶向后差分的 展开为：,分数阶微积分算子 的一阶向后差分的连分式（CFE）：,二.分数阶系统的时域和频域分析方法,2.1 分数阶频域分析,常规PID有三个可调参量，分数阶 控制器是有五参量调节的控制器，参量调节上增加了取值具有任意性的微积分阶次自由度 和 ，这样极大拓宽了控制器参数的整定思路，对于被控模型的调节度来说就更敏锐和自由。图2-1所示的框图代表负反馈结构的分数阶系统。,图2-1 负反馈结构的分数阶 系统,控制器的描述为：,二.分数阶系统的时域和频域分析方法,2.1.1 常数增益项,常数项K的幅频特性：,其相频特性为：,常数增益项的Bode图如图

7、2.2所示，常数项 的对数增益曲线是一条水平线，相频特性曲线也是一条水平线（0 线），即常数项为-K 时，其对数增益仍为 ，而相角则变成了 。,图2.2 幅频特性，,图2.2 相频特性，,二.分数阶系统的时域和频域分析方法,2.1.2 分数阶积分项,传递函数表达式： 频率域表达式： 对数增益表达式： 对数相频特性表达式：,对数增益表达式在波特图上的直观表现就是斜率为 ，而相频曲线则是直的水平线。由自控理论知，在对数幅值增益图中，截止频率越高，系统的响应速度越快；基于以上的理论，如果选择 的值恰好是0-1间的数，分数阶积分项的斜率就完全可以满足小于 的斜率要求，这样相应的截止频率就会变大，中频段

8、相应地就会变宽，系统在快速性和稳定性方面的性能就会超过采用常规的积分控制器。,二.分数阶系统的时域和频域分析方法,借助 工具编写语句命令，得到分数阶积分项的波特图，如图所示。 从图可以看出，幅频特性居于比例环节与积分环节特性之间，且 值越小，系统的响应速度越快，稳定性越好,2.1.2 分数阶积分项,图 2-3 的波特图,二.分数阶系统的时域和频域分析方法,2.1.3 分数阶微分项,传递函数表达式： 频率域表达式： 对数增益表达式： 对数相频特性表达式：,反映于波特图，对数增益曲线是以 为斜率的直线，而相频特性曲线仍是一条直的水平线。根据整数阶控制知识，误差是输入与输出的差值，微分项的主要作用是

9、反映这个差值的变化率，且它的相角超前 ，可以在系统产生一个前期的修正，这个修正就是变化率，能够实现增强稳定度和改善动态性能的目的。,二.分数阶系统的时域和频域分析方法,现实的很多系统，仅仅依靠 的相角超前，不能很好地达到所需的阻尼度，并且很有可能使系统动态性能不好。相比于传统 的基本微分项，分数阶 能够参照系统本身具有的形式来选择所需的值. 进一步地取得所需的超前校正网络的角度，最终实现良好的动态指标。借助MATLAB工具编写语句命令，得到分数阶微分环节波特图，如图所示。,2.1.3 分数阶微分项,图 2-4 的波特图,二.分数阶系统的时域和频域分析方法,2.1.3 分数阶比例积分微分项,根据

10、分数阶控制器的传递函数，利用MATLAB软件绘制了在 值不变、 值改变时和 值不变、 值改变时的波特图，分别如图2-5和图2-6所示。,图2-5 和 的情况,图2-6 和 的情况,二.分数阶系统的时域和频域分析方法,2.1.3 分数阶比例积分微分项,分数阶 控制器的独特的不可替代性，关键在于可以根据系统自己本身的特点选择恰当的 值和 值，这样就保证微分环节能提供适当的超前相角，积分环节能提供适当的滞后相角。从而使系统保持良好响应特性的条件同时还能保证稳定性，继而得到预期的调节效果。,二.分数阶系统的时域和频域分析方法,2.2 分数阶时域分析,整数阶微积分的拉式变换是一种函数变换，可将微分方程变

11、成代数方程，并且在变换的同时即引入初始条件，避免了经典解法关于求积分常数的麻烦，大大简化解题手续。可以说，求解工程实践问题采用拉式求解法是非常有效的，受到学者的亲睐。下面具体论述分数阶拉式变换及其相关理论。,二.分数阶系统的时域和频域分析方法,2.2.1 Laplace定义及变换描述,函数 的拉式变换是将时域转化为复域 的有效手段，即：,复变函数 作相反变换就可以推导出原函数的时域形式：,函数 和 进行卷积的表达式为：,函数 和 时域中的卷积公式转换到频域有如下形式：,这样，时域中的复杂卷积运算，不需要求解积分运算求值，可被简单地处理为复域的乘法运算，其中，F(s)和G(s)分别是 和 的拉式

12、变换。,二.分数阶系统的时域和频域分析方法,2.2.2 分数阶积分的Laplace变换描述,举一个例子，让我们直观地理解分数阶积分的拉式变换过程，下面直接以分数阶积分的RL表达式来做举例加以说明。,的拉式变换：,可以推导出拉式变换的描述形式为： 式中， p0;,二.分数阶系统的时域和频域分析方法,2.2.2 分数阶微分的Laplace变换描述,举一个例子，让我们直观地理解分数阶微分的拉式变换描述，以分数阶微分的RL表达式做具体说明。 假设 则有 我们都知道整数阶微分，通过拉式变换理论能够得到如下形式：,二.分数阶系统的时域和频域分析方法,2.2.2 分数阶微分的Laplace变换描述,故函数

13、的拉式变换为：,函数 的Laplace变换连同公式一起联合可以推导出,综上所述，当初始条件 时，信号 的 阶微分Laplace变换为：,其中，,三.分数阶系统的整数接近似算法,分数阶微积分算子具有的“无限历史记忆”特殊的品质和阶次非整数品质增加了其进行数值化研究(离散近似化)的难度，因而研究分数阶系统的主要方法是对整个系统进行离散化或者近似化成有理函数。根据自控理论，整数阶系统的特征方程是用整数阶次的多项式来描述的，它的根决定了系统响应的模式。 然而分数阶系统的特征方程不具有整数阶次特性，不适合仿照现有传统的理论方法对其加以分析和解决，所以对这种特殊性建立自己的理论体系，这就需要开发出独特的理

14、论思路和原理对其研究。研究和分析分数阶系统的近似化，十分重要的过程是对有理函数实施近似化和离散化，通过近似化方法后分数阶系统就能被化为常规控制系统。,三.分数阶系统的整数接近似算法,直接近似化方法,分数阶微积分的生成函数是其离散化的基础，是其重要组成部分，因为离散化算法中的前半部分生成函数不同将会得到不同的离散化公式。后半部分主要就是对生成函数进行展开算法。这是因为微积分算子直接作用于Z域所生成的函数一般是无理函数，这就需要用有限项数的有理函数去近似无理函数。不同的生成函数与不同的展开方法采用自由搭配的形式能够实现不同的逼近形式和效果。下面重点研究基于Tustin生成函数的离散化方法。 Tus

15、tin法相当于数学中的梯形积分法，它是一种常用的方法，主要离散化处理分数阶微分器。基于 算子的离散化方法归纳起来通常分为两种情形：第一种是将Tustin算子的分子和分母分别用 递推公式进行递推，除此之外，还有一种算子用连分式公式展开来有理化和近似处理微积分算子。,三.分数阶系统的整数接近似算法,Tustin生成函数：,式中： z为复数变量； 为转换算子。 为了使接下来的整个推导过程不仅简单且并不失一般性，假定 ，则有,上式中，,MATLAB的工具箱生成 ，对于任意阶次n ，有：,3.1 Tustin+Miur的离散化方法,（3.1）,（3.3）,（3.2）,（3.4）,三.分数阶系统的整数接近似算法,3.2 Tustin+CFE的离散化方法,有理函数是由两个多项式函数的商所表示的函数，对于实现插值或函数计算来说，其作为工具构造算法逼近的效果要超过多项式逼近的效果。连分式是一种很有效的近似形式，它的收敛速度快于指数展开法，尤其在复平面内的收敛域更大。实际中从而采取连分式展开来近似分数阶微积分算子，获取的逼近程度更理想。无理函数G(z)用如下有理函数 进行逼近