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1、球棒系统的建模及反馈控制题 目:球棒系统的建模及反馈控制姓 名:学 院:班 级:学 号:指导教师: 年 月 日 南京农业大学教务处制球棒系统的建模及反馈控制设计 由刚性球和连杆臂构成的球棒系统，如下图所示。连杆在驱动力矩 作用下绕轴心点做旋转运动。连杆的转角和刚性球在连杆上的位置分别用,表示, 设刚性球的半径为R。当小球转动时, 球的移动和棒的转动构成复合运动。 球棒系统是一个典型的多变量的非线性系统。该系统通过操作驱动力矩的控制使刚性球稳定在连杆的中心位置。利用拉格朗日方程建立球棒系统的数学模型, 并用状态反馈的方法设计球棒系统的控制器, 通过给出具体的数据并进行计算, 再利用这些数据进行模
2、拟仿真。仿真表明利用状态反馈法设计的控制器, 可以实现球棒系统的稳定控制, 即刚性球随动力臂一起转动时不发生滚动。刚性球与机械臂的动态方程由下式描述：。选取刚性球的位移和其速度，以及机械臂的转角 及其角速度作为状态变量，令，可得系统的状态空间表达式：设球棒系统各参数如下：., 实习内容：1.将系统在平衡点x =0处线性化,求线性系统模型；先求平衡点；令，解得： 由题可知平衡点为处，故即。将球棒系统各参数带入得：由于A矩阵特征值为-7.657,7.657i，-7.657i，7.657，可知该开环系统是不稳定的。2利用状态反馈，将线性系统极点配置于求出状态反馈控制增益，并画出小球初始状态为横杆角度
3、为和初始状态,横杆角度为时的仿真图像。1、判断可控性：系统完全能控，能通过状态反馈任意配置极点。Matlab编程： a=0,1,0,0;0,0,-140.14,0;0,0,0,1;-24.52,0,0,0 ;b=0;0;0;49.995;c=1,0,0,0;0,0,1,0; Uc=b,a*b,a2*b,a3*b; rank(Uc)ans = 42、状态反馈控制增益：K =-0.4940 -0.0043 0.3600 0.1200 Matlab 编程： a=0,1,0,0;0,0,-140.14,0;0,0,0,1;-24.52,0,0,0 ;b=0;0;0;49.995;c=1,0,0,0;0
4、,0,1,0;d=0; p=-1+2j,-1-2j,-2+j,-2-j; K=acker(a,b,p)Warning: Pole locations are more than 10% in error.K = -0.4940 -0.0043 0.3600 0.12003、添加反馈后的A矩阵： a-b*Kans = 0 1.0000 0 0 0 0 -140.1400 0 0 0 0 1.0000 0.1784 0.2141 -18.0000 -6.0000状态方程为：4、小球初始状态为横杆角度为仿真图像：球初始状态为横杆角度为图像通过matlab编程绘图（X1，X2，X3，X4） A=0,1
5、,0,0;0,0,-140.14,0;0,0,0,1;0.1784,0.2141,-18,-6; B=0;0;0;49.995; C=1,0,0,0;0,0,1,0; D=0; x0=0.3;0;pi/6;0;sys=ss(A,B,C,D) y,t,x=initial(sys,x0); plot(t,x)5、小球初始状态为初始状态,横杆角度为时的仿真图像：初始状态,横杆角度为时图像通过matlab编程绘图（X1，X2，X3，X4） A=0,1,0,0;0,0,-140.14,0;0,0,0,1;0.1784,0.2141,-18,-6;B=0;0;0;49.995;C=1,0,0,0;0,0,
6、1,0;D=0;x0=-0.3;0;-pi/6;0;sys=ss(A,B,C,D); y,t,x=initial(sys,x0); plot(t,x)6、simulink仿真：球初始状态为横杆角度为的仿真图像：初始状态,横杆角度为时的仿真图像：3设计具有合适极点的全维观测器，实现状态反馈，给出状态反馈增益和观测器增益，并画出小球初始状态为，横杆角度为和初始状态，横杆角度为时的仿真图像，以及观测器输出与系统状态差值图像。1、状态反馈重新配置：由第二问图像知，系统的调节时间和超调量都比较大，运行matlab时，系统还提示：Warning: Pole locations are more than
7、10% in error.这主要由于极点配置不合理导致的。下面我们采用主导极点的方法对系统的性能进行改进，令系统性能指标： 超调量为5%，调整时间为0.5s。根据公式，等到，根据典型二阶系统的传递函数可知：s12=。系统为四阶，其他的两个极点可选为实部大于5倍S1,2的任意数，此处选择6倍极点s34。2、状态反馈增益：k = -93.2933 -12.8900 130.1832 2.2402Matlab编程： a=0,1,0,0;0,0,-140.14,0;0,0,0,1;-24.52,0,0,0 ;b=0;0;0;49.995;c=1,0,0,0;0,0,1,0; p=-8-8.39*j,-
8、8+8.39*j,-48+8.39*j,-48-8.39*j; k=acker(a,b,p)k = -93.2933 -12.8900 130.1832 2.2402 a-b*kans = 1.0e+003 * 0 0.0010 0 0 0 0 -0.1401 0 0 0 0 0.0010 2.2770 0.3632 -4.0448 -0.11203、观测器增益： Uo=c;c*a;c*a2;c*a3; rank(Uo)ans = 4系统完全能观，可设计状态观测器。根据 Rei A-EC = (35 )Rei A-BK，选择极点 S12=-248.39j，S34=-1448.39j求G，A-G
9、c：Matlab编程： a=0,1,0,0;0,0,-140.14,0;0,0,0,1;-24.52,0,0,0 ;b=0;0;0;49.995;c=1,0,0,0;0,0,1,0;p=-24-8.39*j,-24+8.39*j,-144-8.39*j,-144+8.39*j; c=c;a=a;G=place(a,c,p); Gans = 1.0e+003 * 0.1749 0.0090 4.0707 -0.0659 0.0461 0.1611 7.7485 3.4456 a=a-(G)*(c)a = 1.0e+003 * -0.1749 0.0010 -0.0090 0 -4.0707 0
10、-0.0742 0 -0.0461 0 -0.1611 0.0010 -7.7730 0 -3.4456 04、小球初始状态为，横杆角度为时的图象：Matlab编程： a=0,1,0,0;0,0,-140.14,0;0,0,0,1;-24.52,0,0,0 ;b=0;0;0;49.995;c=1,0,0,0;0,0,1,0;d=0;p=-8-8.39*j,-8+8.39*j,-40+8.39*j,-40-8.39*j; k=acker(a,b,p);a1=a-b*k;u=0;G=ss(a1,b,c,d);x0=0.3,0,pi/6,0;y,t,x=initial(G,x0);plot(t,x)
11、 5、小球初始状态为初始状态，横杆角度为时的图像： a=0,1,0,0;0,0,-140.14,0;0,0,0,1;-24.52,0,0,0 ;b=0;0;0;49.995;c=1,0,0,0;0,0,1,0;d=0;p=-8-8.39*j,-8+8.39*j,-40+8.39*j,-40-8.39*j;k=acker(a,b,p);a1=a-b*k;u=0;G=ss(a1,b,c,d);x0=-0.3,0,-pi/6,0; y,t,x=initial(G,x0);plot(t,x)simulink仿真：小球初始状态为，横杆角度为时的仿真图：小球初始状态为初始状态，横杆角度为时的仿真图像：6、
12、小球初始状态为横杆角度为图像（t-e）：Matlab编程： a=0,1,0,0;0,0,-140.14,0;0,0,0,1;-24.52,0,0,0 ; b=0;0;0;49.995; c=1,0,0,0;0,0,1,0; d=0; p=-8-8.39*j,-8+8.39*j,-48+8.39*j,-48-8.39*j; k=acker(a,b,p); a1=a-b*k; u=0; G=ss(a1,b,c,d);x0=0.3,0,pi/6,0;y,t,x=initial(G,x0);plot(t,x)7、小球初始状态为横杆角度为图像（t-e）：Matlab编程： a=0,1,0,0;0,0,-140.14,0;0,0,0,1;-24.52,0,0,0 ; b=0;0;0;49.995; c=1,0,0,0;0,0,1,0; d=0; p=-8-8.39*j,-8+8.39*j,-48+8.39*j,-48-8.39*j; k=acker(a,b,p); a1=a-b*k; u=0; G=ss(a1,b,c,d);x0=-0.3,0,-pi/6,0;y,t,x=initial(G,x0);plot(t,x)8、simulink仿真小球初始状态为横杆角度为仿真图像（t-e）：小球初始状态为横杆角度为仿真图像（t-e）：4、分析和结
