亚纯函数与其导数分担小函数及正规族问题的研究

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1、i ! 分类号： o f 7 咋， 单位代码：1 0 4 2 2 i 密级：学号：2d 。F 功移 i ? 厶紊只孥 ； 博士学位论文 i 论文肌硼沁煞琵叫心、搬如确氅涛铲 i i i ，；作者赧稠 矽专业魂五获江童 导如绍醯 I 、 ， 合作导师 羹 V 1 ) 年了月形日 飞 毛! 鞘 一 - - 一 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本 论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。 对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方 式标明。本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名： 关于学位

2、论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校 保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保 存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名： 导师签名：么近缘日期： - - - - 一 摘要 英文摘要 第一章预备知识 1 1 N c v a n l i n n a 理论的基础知识 1 2 正规族理论的发展 第二章 2 1 2 2 2 3 第三章 3 1 3 2 3 3 3 4 亚纯函数与其导数分

3、担小函数的唯一性问题的研究 引言及主要结果 整函数及其导数分担多项式的唯一性的研究 亚纯函数及其导数分担有理函数的唯一性的研究 涉及重零点的亚纯函数的分担值与相关正规族问题的研究 引言及主要结果 引理 定理的证明 附注 第四章关于代数微分方程亚纯解的增长性的G o l d b e r g 定理的进一步结 果 4 1 4 2 4 3 第五章 5 1 5 2 5 3 引言及主要结果 引理 定理的证明 一类特殊微分方程的整函数解的研究 引言及主要结果 引理 定理的证明 参考文献 一 一 l 1 3 5 5 7 3 2 2 6 9 4 i y 1 2 2 2 2 3 弱弱趵 鹳鹞的船 弱 二 山东大学

4、博士学位论文 致谢 攻读博士学位期间完成论文情况 作者简介 5 8 6 0 6 2 摘要 题的研究 在二十世纪二十年代初，R N e v a n l i n n a 引进了亚纯函数特征函数的概念并且 建立了著名的N e v a n l i n n a 理论，被公认为二十世纪最伟大的数学成就之一这个 理论包括了两个基本定理，我们把它们称之为N c v a n l i n n a 第一基本定理和N c v a n - l i n n a 第二基本定理，这两个定理显著的提高了经典函数论的研究，并且在随后极 大的推广和扩展了P i c a r d 定理，由此为现代亚纯函数理论研究做出了奠基性的 工作，

5、并且对其他数学分支的交叉和融合产生了重要的影响同时N e v a n l i n n a 理 论在数学很多领域里有着广泛的应用，如位势理论，复差分方程，正规族，多变量 等等 1 9 0 7 年，P M o n t e l 引入正规族理论的基本概念由于在复解析动力系统中 的重要地位，它越来越受重视令莎为区域D 上的一族亚纯函数，如果从罗中 任一函数序列 厶( z ) 均可选出一个子序列 厶。( z ) ) 在区域D 上按照球面度量 在D 上一致收敛于一亚纯函数或者，则称莎在区域D 内正规( 见【4 4 】， 5 3 】) 我们的主要目标是寻找正规的函数族B l o c h 原理在其中起着重要的指

6、导作用， 尽管它一般而言并不成立它说如果有某个性质使得在全平面上只有常数函数所 具有，那么在某一个区域D 上具有该性质的亚纯函数( 或全纯函数) 族就是一个 正规族中国的学者们，如杨乐教授，张广厚教授，顾永兴教授，陈怀惠教授，庞学 诚教授，方明亮教授，常建明教授等对正规族理论的推动和发展做出了许多卓越 性的贡献近些年来，对于亚纯函数的正规族理论研究变得非常活跃，特别是运用 Z a l c m a n - P a n g 方法并且结合分担值的思想，很多杰出的成果为数学家们所获得 1 9 2 9 年，R N c v a n l i n n a 运用值分布理论考虑亚纯函数的唯一性得到了著名 的N e

7、 v a n l i n n a 五值定理和四值定理从那开始，很多国内外数学家如F G r o s s ， M O z a w a ，G F r a n k ，E M u e s ，N S t e i n m c t z ，H U e d a ，G G u n d c r s e n ，熊庆来，杨 乐等在亚纯函数唯一性理论方面取得了很多杰出的成果在过去的二十年内，仪 山东大学博士学位论文 洪勋教授致力于亚纯函数唯性理论的研究并做出了许多创造性的成果，极大的 推动了唯一性理论的发展 本文主要包括作者在导师的指导下得到的一些新结果，论文的结构安排如下： 第一章，我们简单介绍了N e v a n l

8、 i n n a 理论和正规族理论的发展 第二章，我们研究了亚纯函数与其导数分担小函数的问题通过估计著名的 Z a l c m a n - P a n g 引理中的氏趋于0 速度和运用正规族理论，我们得到了这一类函 数的级是有穷的，这是非常重要的进而我们得到了几个唯一性的定理，它们改进 了L A R u b e l 和c C Y a n g ( 见【4 2 】) ，J T L i 和H x Y i ( 见【2 4 】) 的结果同 时，我们给出了几个例子，证明了我们结论中的一些条件是必要的实际上，我们 ( 见【3 8 】) 证明了如下结果： 定理o 1 设Q I ( Z ) = a l z p

9、+ a l p - 1 z p - 1 + + a l ，o 和Q 2 ( z ) = a 2 z p + a 2 , p - 1 z p - 1 + + a 2 ，o 为两个多项式并且d c gQ 1 ( z ) = d e gQ 2 ( z ) = p 继里p 是 一非负整数) 且a 1 ，眈( 勉0 ) 是两个不同的有限复数设f ( z ) 为一超越整函 数，如果f ( z ) = Q ，( z ) f ( z ) = Q - ( z ) 且，7 ( z ) = Q 2 号，( z ) = Q 2 ( z ) ，则 f ( z ) 三，( z ) 定理o 2 设Q 1 ( z ) = a

10、 l z p + a l p l z p 。+ + a l ，o 和Q 2 ( z ) = a , z z p + a 2 ，p 一1 扩- 1 + + 0 , 2 ，0 为两个多项式且d c gQ 1 ( z ) = d o gQ 2 ( z ) = P 陛里P 是一非 负整数) 且a 1 ，眈( 眈0 ) 是两个不同的有限复数设，( z ) 为一超越整函数如 果f ( z ) = Q ( z ) 兮f 7 ( z ) = Q ( z ) 且，( z ) = Q 2 ( z ) 净f ( z ) = Q 2 ( z ) ，则f ( z ) 是 有穷级 我们同样研究亚纯函数及其导数分担有理函数

11、唯一性并且获得了一些结果， 这些结果( 见【2 7 】) 改进了J T “，H x Y i ( 见 2 4 】) 和J M Q i ，F L i l ，A C h e r t ( 见【3 8 】) 的结果我们得到： 定理0 3 设，为一有有穷多个极点的超越亚纯函数，并且设R 1 和冗2 为 两个不同的有理函数且 卦I - - , o o 臣t ，有黼叫 这里M 是一正数如果 n ) ，和冗l 无公共极点， f 2 ) f ( z ) = R l ( Z ) = - - - - ，他) = 冗，( z ) 且 f 3 ) ，( z ) = 尼( z ) 令厂( z ) = 冗2 ( z ) ，

12、山东大学博士学位论文 则f ( z ) 三f 7 ( z ) 定理o 4 设，为一有有穷多个极点的超越亚纯函数，并且设R l 和兄为 两个不同的有理函数且 当H _ o 。时， 有黼州 这里M 是一正数如果 n ) f ( z ) = R I ( Z ) 专，Z ) = R I ( z ) 且 俐，7 ( z ) = 兄z ( z ) 辛f ( z ) = R 4 z ) ， 则，是一有穷级亚纯函数 在第3 章中，我们研究了涉及重零点亚纯函数分担值的正规族问题我们的 结果改进了Y F W a n g ，M L F a n g ( 见【4 8 1 ) ，M L F a n g ，L Z a c

13、l m a n ( 见【10 】) 等人已有的结果实际上，我们( 见f 3 9 】) 证明了如下结果： 定理0 5 设k ( k 2 ) 为一正整数并且b 为一非零有限复数设岁为区 域D 上的一族亚纯函数，如果对每个，莎，f ( z ) 的所有零点重数至少是k + 2 ， 如果对每对f , g 莎，( 七) ( z ) 和g ( 七) ( z ) 所有零点是重的，且，( 七( z ) 和9 ( 知( z ) 分 担b 在D 上，则岁在区域D 上正规 定理0 6 设岁作为区域D 上的一族亚纯函数且其中所有函数的零点是 重的，设n ( n 2 ) 为一正整数并且a ，b 为两个非零有限复数如果对于

14、每对函数 ，和9 属于莎，+ a ( f 7 广并且9 + a ( 9 7 ) n 分担b 在D 上，则莎在区域D 上正 规 在第四章中，我们研究了G o l d b c r g 定理关于一类代数微分方程，或方程组中 亚纯解的增长级的相关结果这些工作改进了W J Y u a n ，B X i a o ，J J Z h a n g ( 见【5 5 】) 和R M G u ，J J D i n g ，W J Y u a n ( 见【1 4 】) 等人的结果 定理o 7 w ( z ) 为复平面上的一亚纯函数并且W 所有零点重数至少是 k ) ，P 】为一多项式且有形式p L 矽但第四章) 且n k q d e gP w 】 m ) 如果w ( z ) 满足微分方程旧( 叫( 七) ( z ) ) P = P 【叫】，则w ( z ) 的增长级 A ：= A ) 满足 A 2 + 面2 j d c g 可z , , a 1 - 丽“ W ， 佗口尼一Q e gl 这里Q ( z ) 是一多项式并且次数为q 山东大学博士学位论文 定理0