线性系统的能控性和能观测性讲解

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1、第4章 线性系统的能控性 和能观测性,4.1 引言,4.2 线性连续系统的能控性,4.3 线性连续系统的能观测性,4.4 线性定常离散系统的能控 性和能观测性,4.5 能控标准形和能观测标准形,4.6 系统能控性和能观测性的对偶原理,4.7 线性系统的结构性分解,4.8 能控性和能观测性与传递函数（阵）的关系,4.9 系统的实现问题,4.10 MATLAB在能控性和能观测性分析中的应用,4.1 引言,线性系统的能控性(controllability),加入适当的控制作用后，能否在有限时间内将系统从任一初始状态转移到希望的状态上，即系统是否具有通过控制作用随意支配状态的能力。,线性系统的能观测性

2、(observability),通过在一段时间内对系统输出的观测，能否判断系统的初始状态，即系统是否具有通过观测系统输出来估计状态的能力。,4.2 线性连续系统的能控性,状态能控性反映输入 对状态 的控制能力。如果状态变量 由任意初始时刻的任意初始状态引起的运动都能由输入(控制项)来影响，并能在有限时间内控制到空间原点，那么称系统是能控的，或者更确切地说，是状态能控的。否则，就称系统为不完全能控的。,【例41】某电桥系统的模型如图4-1所示 。该电桥系统中，电源电压 为输入变量，并选择两电容器两端的电压为状态变量 和 。试分析电源电压 对两个状态变量的控制能力。,解：由电路理论知识可知，若图4

3、-1所示的电桥系统是平衡的(例)，电容 的电压 是不能通过输入电压 改变的，即状态变量 是不能控的，则系统是不完全能控的。,若图4-1所示的电桥系统是不平衡的，两电容的电压 和 可以通过输入电压 控制，则系统是能控的。 由状态空间模型来看，当选择两电容器两端电压为状态变量 和 时，可得如下状态方程：,由上述状态方程可知，状态变量 的值，即电桥中电容 的电压，是自由衰减的，并不受输入的控制。 因此，该电压的值不能在有限时间内衰减至零，即该状态变量是不能由输入变量控制到原点。具有这种特性的系统称为状态不能控的。,4.2.2 状态能控性的定义,考虑线性时变系统的状态方程,其中， 为 维状态向量， 为

4、 维输入向量， 为时间定义区间， 分别为 和 的元为 的连续函数的矩阵。,能控性定义,1状态能控,对线性时变系统，如果对取定初始时刻 的一个非零初始状态 ，存在一个时刻 ， ，和一个无约束的的容许控制 ， ，使状态由 转移 到 时 ，则称此 在 时刻是能控的。,能控性定义,2系统能控,对线性时变系统，如果状态空间中的所有非零状态都是在,时刻为能控的，则称系统在时刻,是状态完全能控的，,能控。如果系统对于任意的,均是状态完全能控的（即系统的能控性与初始时刻,的选取无关），则称系统是一致能控的。,简称系统在时刻,能控性定义,3系统不完全能控,取定初始时刻,，如果状态空间中存在,是不能控的，则称,是

5、不完全能控的，简称系统不能控。,一个或一些非零状态在时刻,系统在时刻,能控性定义,若存在能将状态,转移到,的控制作用,，则称状态,是,时刻能达的。若,对所有时刻都是能达的，则称状态,为完全能达或一致能达。,能达的，,时刻状态能达的，简称系统是时刻,能达的。,若系统对于状态空间中的每一个状态都是时刻,则称系统是,4状态与系统能达,定义的几点解释,（1）对轨迹不加限制，是表征系统状态运动的一种定性特性； （2）容许控制的分量幅值不加限制，且在,（3）线性系统的能控性与,（4）如果将上面非零状态转移到零状态，改为零状态到非,上平方可积；,无关；,零状态，则称为系统的能达性。,（5）系统不完全能控为一

6、种“奇异”情况。,4.2.3 线性定常连续系统的状态能控性判别 一、格拉姆矩阵判据,线性定常连续系统,状态完全能控的充分必要条件是存在时刻,，使如下定义的格拉姆矩阵,为非奇异。,二、秩判据 设线性定常连续系统的状态方程为,式中，x为n维状态向量，u为r维输入向量， A，B分别为,、,常数阵。,满秩，即,系统状态完全能控的充分必要条件是能控性判别矩阵,【例41】 试判断如下系统的状态能控性,解： 由状态能控性的代数判据有,故,它是一个三角形矩阵，斜对角线元素均为1，不论,取何值，其秩为3，故系统状态完全能控。,【例】电路如图所示。其中，u为输入，i为输出，流经电感,的电流,和电容,上的电压,为状

7、态变量，分析系统,的能控性。,解：,令,整理以上三式得向量矩阵形式的系统状态空间表达式为,当满足,时，,满秩，系统能控，否则不能控。,三、约当标准形判据,对为约当标准形的线性定常连续系统,1若A为每个特征值都只有一个约当块的约当矩阵,则系统 能控的充要条件为： 对应A的每个约当块的B的分块的最后一行都不全为零; 2若A为某个特征值有多于一个约当块的约当矩阵,则系统,有：,能控的充要条件为： 对应A的每个特征值的所有约当块的B的分块的最后一行线性无关。,【例45】 下列系统是状态能控的：,下列系统是状态不能控的：,四、PBH 判据,线性定常连续系统,系统为完全能控的充要条件是，对矩阵,的所有特征

8、值,均成立,，,或等价地,也即,和,是左互质的。,表4-1 能控性判据对比表,，,4.2.4 线性定常连续系统的输出能控性,一、输出能控性定义 设线性定常连续系统,式中， x为n维状态向量，u为r维输入向量，y为m维输出向量。 若存在一个无约束的容许控制,，在有限的时间间隔,内，能,转移到任一指定的期望的最终输出,，则称系统是输出完全能控的，简称输出能控。,将任一初始输出,线性定常连续系统,二、输出能控性判据,其输出完全能控的充分必要条件是输出能控性判别矩阵,的秩等于输出向量的维数m，即,【例48】 试判断如下系统的输出能控性,解： 由输出能控性的代数判据有,故系统输出完全能控。,例 判断系统

9、,是否具有状态能控性和输出能控性。,秩为1，等于输出变量的个数，因此系统是输出能控的。,秩为1，所以系统是状态不能控的。,线性时变系统,在定义时间区间t0,t1内，状态完全能控的充要条件是Gram矩阵,4.2.5 线性时变连续系统的状态能控性,一、格拉姆矩阵判据,二、能控性判据,若对初始时刻,，在时间,(,)，使得线性时变连续系统,的系统矩阵A(t)和输入矩阵B(t)中的各元素在,内对时间t分别是(n-2)和(n-1)阶连续可导，,再定义如下线性时变系统的能控性矩阵,若能控性矩阵,满足,则称时变系统在初始时刻,上状态完全能控。,时间区间,定义,例4.4.1,秩为3，所以系统是完全能控,4.3

10、线性连续系统的能观测性 本节主要讨论线性定常连续系统的状态能观测性问题。关键问题： 基本概念： 状态能观测性； 基本方法: 状态能观测性的判别方法； 状态能观测性的物理意义和在状态空间中的几何意义。,4. 3. 1 能观测性的直观讨论,状态能观测性反映系统外部可直接或间接测量的输出 和输入 来确定或识别系统状态的能力。如果系统的任何内部运动状态变化都可由系统的外部输出和输入唯一地确定，那么称系统是能观测的，或者更确切地说，是状态能观测的。否则，就称系统为状态不完全能观测的。,4.3.2 状态能观测性的定义,考虑零输入时的状态空间表达式,（4-15）,如果每一个状态x(to)都可通过在有限时间间

11、隔tott1内， 由y(t)观测值确定，则称系统为(完全)能观测的。不失一般性， 设to=0。,式中，,考虑式（4-15）所描述的零输入系统,1状态能观测,对于式（4-15）所示线性时变连续系统，如果取定初始时刻,，存在一个有限时刻,，对于所有的,系统的输出,能惟一确定一个非零的初始状态向量,则称此非零状态,在,时刻是能观测的。,2系统能观测 对于式（4-15）所示线性时变连续系统，如果指定初始时刻,，存在一个有限时刻,，,， 对于所有,，系统的输出,能惟一确定,时刻的任意非零的,，则称系统在,时刻状态是完全能观测，简称,均是能观测的（即系统,的选取无关），则称系统是,初始状态向量,系统能观测

12、。如果系统对于任意,的能观测性与初始时刻,一致完全能观测。,3系统不能观测 对于式（4-15）所示线性时变连续系统，如果取定初始时刻,，存在一个有限时刻,，对于所有,系统的输出,不能惟一确定,时刻的任意非零的初始状态向量,（即至少有一个状态的初值不能被确定），则称系统在,时刻是状态不完全能观测，简称系统不能观测。,定义的几点解释：,（1） 对于线性定常系统，由于系统矩阵A(t)和输出矩阵C(t)都为常数矩阵，与时间无关，因此不必在定义中强调“在所有时刻状态完全能观”，而为“某一时刻状态完全能观，则系统状态完全能观”。,（2）上述定义中的输出观测时间 ，并要求 。这是因为，输出变量 的维数m一般

13、总是小于状态变量x(t)的维数n。否则，若m=n且输出矩阵C(t)可逆，则 即状态变量x(t)可直接由输出y(t)确定。由于mn，为了能唯一地求出状态变量的值，不得不依靠在一定区间内测量得的连续(或有限几组)输出值以确定系统状态。,（3） 在定义中把能观性定义为对初始状态的确定，这是因为，一旦确定初始状态，便可根据状态方程的解表达式，由初始状态和输入，计算出系统各时刻的状态值。,4.3.3 线性定常连续系统的状态能观测性判据 一、格拉姆矩阵判据 设定常连续系统在输入,时的齐次状态方程,（4-16）,（4-17）,，,常数阵。,为非奇异。,和输出方程分别为,式中，x为n维状态向量，y为m维输出向

14、量，A，C分别为,则系统状态完全能观的充分必要条件是存在一个有限时刻t1使如下格拉姆矩阵,代数判据：由式（4-16）和（4-17）所描述的线性定常系统，,（4-21）,时，该系统才是能观测的。,二、能观测性判据,当且仅当nnm维能观测性矩阵,的秩为n，即,【例419】 试判断如下系统的状态能观测性,解： 由状态能观测性的秩判据有,而系统的状态变量的维数n=2，所以系统状态不完全能观测。,例417电路如图48所示，u为输入，电阻R0上的电压y为输出， i1、i2为状态变量， 分析系统的能观测性。,解：,令,，可导出电路的状态空间表达式为,能观测性判别矩阵,可见,，故系统是不能观测的。,三、约当标

15、准形判据,约当标准形判据对为约当标准形的线性定常连续系统,有： 若A为每个特征值都只有一个约当块的约当矩阵，则系统 能观测的充要条件为：对应A的每个约当块的C的分块的第 一列都不全为零; 2. 若A为某个特征值有多于一个约当块的约当矩阵,则系统 能观测的充要条件为：对应A的每个特征值的所有约当块的 C的分块的第一列线性无关。,两点说明：,状态能观测性判据讨论的是约当标准形。若系统的状态空间模型不为约当标准形，则可根据线性变换不改变状态能观测性的性质，先将状态空间模型变换成约当标准形，然后再利用约当标准形判据来判别状态能观测性；,约当标准形判据不仅可判别出状态能观测性，而且更进一步地指出是系统的哪一模态(特征值或极点)和哪一状态不能观。这对于进行系统分析、状态观测器和反馈校正是非常有帮助的。,试判断如下系统的状态能观性。,解： 由约当标准形判据可知，A为特征值互异的对角线矩阵，但C中 的第2列全为零，故该系统的状态x2不能观测，则系统状态不完 全能观测。,试判断如下系统的状态能观性。,解： 由于A为每个特征值都只有一个约当块，且对应于各约当块的C的分块的第一列都不全为零，故系统状态完全能观。,四、PBH 判据,线性定常系统完全能观测的充要条件是， 的所有特征值 均成立 ， （4-22） 或等价地表为 ， （4-23） 也即 和 是右互质的。,