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1、离散傅里叶变换 DFT 王静远 傅里叶变换的内积表达 傅里叶变换的表达式 傅里叶变换的内积表达 两个连续函数 f(x),g(x)的内积定义为二者乘积在一个区间内的黎曼积分（定积分） . 傅里叶变换的内积表达 AB两个函数的内积可以看做 A函数在 B函数上的投影同 B函数的乘积 。 傅里叶变换的本质是求函数 f(t)在不同频率对应的 上的投影。 欧拉公式 1707年（丁亥年） 4月 15日 白羊座 Nukje2拉普拉斯：“读读欧拉吧，他是所有人的老师！” 欧拉公式 欧拉公式 正频率 负频率 dt e t f F t j . ). ( ) ( = w w 离散傅里叶变换 一维傅立叶变换： 一维离散
2、傅立叶变换： 1,.,1,0,)(1)(102= =NuekfNuFNkNukj dt e t f F t j . ). ( ) ( = w w Nuw2= 离散傅里叶变换 一维傅立叶逆变换： 一维离散傅立叶逆变换： 1,.,1,0,)()(102= =NkeuFkfNuNukj www deFtf tj.)(21)( = 离散傅里叶变换 一维离散傅立叶变换： 定义：设 f(n)|n=0,.,N-1为一维信号的 N个采样值，其离散傅立叶变换及其逆变换分别为： 1,.,1,0,)()(1,.,1,0,)(1)(102102=NkeuFkfNuekfNuFNuNukjNkNukj 离散傅里叶变换
3、一维离散傅立叶变换： 定义：设 f(n)|n=0,.,N-1为一维信号的 N个采样值，其离散傅立叶变换及其逆变换分别为： 1,.,1,0,)()(1,.,1,0,)(1)(102102=NkeuFkfNuekfNuFNuNukjNkNukj 离散傅里叶变换 )1(.)1()0(1)1()1(.)1()0(1)1()1(.)1()0(1)0()1)(1(2)1(21212NNNjNNjNNjNjeNfeffNNFeNfeffNFNfffNF=当 u取不同值后，有： 离散傅里叶变换 = )1()2()1()0(.1.1.1111)1()2()1()0()1)(1(212)1(22221212Nff
4、ffeeeeeeNFFFFNNNjNNjNNjNjNNjNjfHF = 离散傅里叶变换 离散傅立叶变换在单位圆上的分布 NNjNjee12121逆时针旋转 离散傅里叶变换 = )1()2()1()0(.1.1.1111)1()2()1()0()1)(1(212)1(22221212NffffeeeeeeNFFFFNNNjNNjNNjNjNNjNjfHF = 离散傅里叶变换 离散傅立叶变换在单位圆上的分布 二次谐波信号 NNjNjee)1(22221逆时针旋转 离散傅里叶变换 = )1()2()1()0(.1.1.1111)1()2()1()0()1)(1(212)1(22221212Nffff
5、eeeeeeNFFFFNNNjNNjNNjNjNNjNjfHF = 离散傅里叶变换 离散傅立叶变换在单位圆上的分布 =NNjNjNNNjNNjeeee1212)1)(1(21211顺时针旋转 离散傅里叶变换 信号的数据分布 离散傅里叶变换 一维傅立叶变换： 一维离散傅立叶变换： 1,.,1,0,)(1)(102= =NuekfNuFNkNukj dt e t f F t j . ). ( ) ( = w w Nuw2=二维离散傅里叶变换 二维离散傅里叶变换 二维离散傅立叶变换： 定义：设 f(x,y)|x=0,.,N-1, y=0,.,M-1为二维图像信号其离散傅立叶变换及其逆变换分别为： =
6、1010)(21010)(2),(1),(),(1),(NuMvMvyNuxjNxMyMvyNuxjevuFMNyxfeyxfMNvuF一维傅立叶变换定义 设 x(n):x(0),x(1), ,x(N-1); X(m): X(0), X(1), ,X(N-1)是数字序列 ， 则序列 x(n)的傅立叶变换生成序列 X(m)表示如下： =10/2)()(NnnNmnjenxmX 正变换 =10/2)(1)(NmmNmnjemXNnx反变换 NjeW 2=缩写 函数 W的周期为 N V0-v8 x(n)是输入函数， X(m)是输出函数， N=8 =)7()6()5()4()3()2()1()0()7
7、()6()5()4()3()2()1()0(7*76*75*74*73*72*71*70*77*66*65*64*63*62*61*60*67*56*55*54*53*52*51*50*57*46*45*44*43*42*41*40*47*36*35*34*33*32*31*30*37*26*25*24*23*22*21*20*27*16*15*14*13*12*11*10*17*06*05*04*03*02*01*00*0xxxxxxxxWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWXXXXXXXX 函数 W周
8、期为 N=8 2/)1(2/)1(,12/)1(2/)1(,176543210jWjWjWWjWjWjWW=NjeW 2=缩写 )7()6()5()4()3()2()1()0(123456702460246036147250404040405274163064206420765432100000000xxxxxxxxWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWu0-u8 Nyvxuje /2 二维离散傅里叶变换 二维图像信号的频谱： 相位谱： ),(),(),(e x p |),(|),( vujIvuRvujvuFvuF
9、= ),(),(),( 1vuRvuItgvu =2/122 ),(),(|),(| vuIvuRvuF =幅度谱： 二维信号的频谱有虚部！ 二维傅立叶变换性质 可分离性 周期性 平移性 线性 共轭对称 相似性 旋转性 原始图像 实部频谱 虚部频谱 原始图像 幅度频谱 相位频谱 图像 正变换 滤波 逆变换 图像 二维图像频域处理 二维图像频域处理 二维图像频域处理 二维图像频域处理 傅立叶变换示例 幅值谱 幅值重构图像 相位重构图像 相位谱 图像信号的正交变换 -离散傅立叶变换 离散卷积： 定义：设 f(n)， h(n)是周期为 N的周期函数，则离散卷积输出 y(n)也是周期为 N的函数： 其中， N是两个输入序列长度之和再减去 1。 =10)()()()()(Nkknhkfnhnfny 图像信号的正交变换 -离散傅立叶变换 二维离散傅立叶变换： ),(),(),( yxhyxfyxI =图像处理系统函数 H(x,y) 输入图像 f(x,y) 输出图像 I(x,y) 计算量大、耗时 难以达到实时处理的要求 问题一：二维离散傅里叶变换的频谱存在一个虚部 问题二：二维离散傅里叶变换计算量大、耗时、难以达到实时要求 谢谢！
