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1、方程的根与函数的零点教学反思巴里坤县第三中学教师 李晓莹本节是在学习了前两章函数性质的基础上，利用函数的图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与对应方程的根的关系以及掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法；为下节“二分法求方程的近似解”和后续学习的算法提供基础。因此本节内容具有承上启下的作用，非常重要。表面上看，这一内容的教学并不困难，但要让学生真正理解，在教学设计和难点突破上需要下足够的功夫，教学过程中还需要妥善处理其中的一些问题。所以，我在教法上，以问题为纽带，用问题引出内容，激发学生积极主动地进行探索；同时向学生渗透数学思想方法；渗透问题意识，培养学生发现问题、解
2、决问题的能力以及采用“提出问题引导探究得出结论讲练结合”的教与学模式。本节课借助多媒体手段创设问题情境，指导学生研究式学习和体验式学习如，函数零点与方程根之间的联系是这节课的一个重点，为了突破这一重点，在教学中利用多媒体教学，调动了学生学习的积极性，准确、直观、易于学生理解，符合学生的认知特点，调动了学生主动参与教学的积极性，使他们进行自主探究与合作交流，亲身体验知识的形成过程，变静态教学为动态教学。一、新课的引入本堂课是用对实际问题的探讨来引入函数的零点，通过这样一个问题激发学生的学习兴趣，由直观过渡到抽象，更符合学生的认知过程，在评课的时候，这一点也获得了听课老师的一致好评。再复习巩固一元
3、一次方程和一元二次方程的解法，由学生已掌握的知识入手，创设熟悉环境，引导进入本课状态。接着让学生在原有二次函数的认知基础上，使其知识得到自然的发生发展。理解了像二次函数这样简单的函数的零点，再来理解其他复杂的函数的零点就会容易一些。围绕怎样判断所给方程是否有实根来提出问题，并且，利用了教材中的方程提出了下列问题：方程x22x30是否有实根？你是怎样判断的？结果，大家对如何解一元二次方程早就熟练了，快速解决了问题。由此看来，这堂课一开始引入熟悉的例子，最能激发学生的学习积极性，并让其认识到学习函数的零点的必要性。二、重难点的突破零点存在性定理是本节课的难点和重点，教学设计的好坏直接关系到学生对本
4、节课的学习效果。因此，从“一个函数是否有零点，就是看它的图象与x轴是否有交点。那么，我们又如何判定一个函数的图象与x轴是否有交点呢？”的提问入手，引出零点存在条件的探究。给出6个问题：问题 1、2是学生熟悉的一元一次方程和一元二次方程求根，问题3、4是方程的根和函数图象与x轴的交点之间有何联系与区别，问题5、6上升到抽象连续函数y=f(x)在区间（a,b）内一定有零点的条件。引导学生一边画草图，一边思考，总结规律：函数图象穿过x轴时，图象就与x轴产生了交点。要判断函数f(x)在（a，b）内是否有零点（教材对于函数f(x)在（a，b）内有零点，只研究函数f(x)的图象穿过x轴的情况），应该先观察
5、函数f(x)的图象在（a，b）内是否与x轴有交点，再证明是否有f(a)f(b)0。从课后了解到，学生都以为只要观察到图象与x轴是否有交点，就可以判断函数f(x)在（a，b）内是否有零点，教学却没有对证明的必要性展开讨论。忽略了在研究函数f(x)在（a，b）内有几个零点时，应该先观察函数f(x)的图象在（a，b）内有几个交点，再进行证明。所以，在课后向学生提出如何判断函数f(x)在（a，b）内有几个零点时，就有学生认为，只需看函数f(x)的图象在（a，b）内有几个交点即可。这样看来，教师有必要引导学生认识证明的必要性。我们也可以作出一些特殊函数在不同区间范围的图象，让学生通过观察对比得到认识。这
6、6个问题设计精巧，层层递进，引发了学生积极思考、探索与交流，将教学推向高潮。如此寻求函数零点存在的条件，符合学生的认知规律：从简单到复杂，从具体到抽象，让学生在具体的例题中概括出共同的本质特征，得出一般性的结论，使学生思维发生碰撞，既弄懂了问题又使数学方法得到提升。三、教学内容结构，突出思想方法首先要通过把握教材内容结构来设计教学框架，然后根据教学框架来考虑需要突出的思想方法。本节课按照下列主线来展开教学：（一）如何引导学生将复杂的问题简单化，并学会从已有认知结构出发由特殊到一般地思考问题。教材设置函数的零点这一内容的目的，就是为了体现函数的应用，为用二分法求方程的近似解奠定基础。所以，教学一
7、开始就从学生熟悉的知识点入手，用方程的求解出发展开讨论，然后引导学生体会其中的思想方法。例当学生陷入困境时，再逐步提出下面的问题进行引导：1当遇到一个复杂的问题，我们一般应该怎么办？以此来引导学生将复杂的问题简单化，寻找类似的简单问题的解决方法。2以前我们如何判断一个方程是否有实根，这对研究这个方程是否有帮助？以此来引导学生从已有认知结构出发，将解决简单方程的方法迁移到不能求解的方程中去，学会从特殊到一般的思维方法。3除了用判别式可以判断一元二次方程根的情况，还有其他的方法吗？以此来引导学生建立方程与函数的联系，渗透函数与方程的思想方法，并培养其从不同角度思考问题的习惯。（二）怎样突出数形结合
8、的思想方法数形结合的思想方法几乎贯穿于“基本初等函数”一章的始终，学生通过前面的学习，已基本形成数形结合的思想方法，所以本节教学以培养学生主动运用数形结合的思想方法去分析问题为目的。在建立方程的根与函数的零点的关系时，函数图象起到了关键的桥梁作用，充分体现了它与方程的根以及函数零点之间的数形结合的关系。由学生作出函数图象，让学生回答方程的根与函数图象和x轴的交点有何关系，然后学生自己总结出方程的根、函数图象和x轴的交点、函数的零点之间的关系。这样的教学，在一定程度上也能体现数形结合的思想方法。在这种能够体现思想方法的关键地方，教师要舍得花时间，要让学生由方程自觉地联想到相应的函数，主动地建立方
9、程的根与函数图象间的关系，提升数形结合思想方法的层次，增强函数应用的意识。（三）如何从直观到抽象教材是通过由直观到抽象的过程，才得到判断函数f(x)在（a，b）内有零点的一种条件。如何让学生从直观自然地到抽象，有下面几个教学难点需要处理：1如何引导学生用f(a)f(b)0来说明函数f(x)在（a，b）内有零点？教材是先从函数图象出发，让学生通过观察函数f(x)的图象在（a，b）内是否与x轴有交点，来认识函数f(x)在（a，b）内是否有零点。这是一个直观认识的过程，对学生来说并不困难。然后再让学生认识，f(a)f(b)0则函数f(x)的图象在（a，b）内与x轴有交点。不过，这却是一个由直观到抽象
10、的飞跃，对学生来说是有困难的。教学的关键在于，如何引导学生由函数f(x)的图象穿过x轴在（a，b）的部分，联想到f(a)f(b)0。2如何引导学生判断函数f(x)在（a，b）内的零点个数？（1）要判断函数f(x)在（a，b）内的零点个数，可先观察函数f(x)的图象在（a，b）内与x轴有几个交点，再进行证明。当观察到函数f(x)的图象在（a，b）内与x轴的交点个数后，可以在（a，b）内分别选取每个交点周围的一个区间，然后说明函数分别在各个区间只有一个零点。这样，就将判断函数f(x)在（a，b）内的零点个数转化为判断函数在各个区间内分别只有一个零点。由于f(a)f(b)0只能说明函数f(x)在（a
11、，b）内有零点，而不能说明f(x)在（a，b）内有几个零点，这就要求函数在每个交点周围所选取的区间上的图象在直观上要单调，并且要证明函数f(x)在该区间上单调。（2）要证明函数在某个区间内只有一个零点需要一个循序渐进的过程证明函数在某个区间内只有一个零点，是一个从图象的直观到抽象的代数证明的理性思维过程。从学生现有的知识积累来看，目前教学应立足从图象直观来认识，对于易于用函数单调性定义证明函数单调性的函数，可要求学生进行代数证明。待学生学习了函数的导数之后，再统一要求学生对所有的函数都进行代数证明。所以，学生对这一问题的认识有一个循序渐进的过程，教师对这一问题的教学需要分阶段提出不同层次的要求
12、，关键是把握好教学的度。本课的实际教学中还存在着不足:1.在探究新知识时试图给学生讲授一点关于方程的解的数学史知识，但时间问题，最终舍弃了；2.想自在的调控课堂而不尽得。我所期望的课堂是学生既自主又合作，既数学又生活的。这需要对数学史与知识点较透彻的理解，这需要语言表达的精确，这些都是我的不足。3.在课件制作方面还是存在不足，水平不够高，有待提高。4.在板书方面，板块意识有了，也算工整，但是字迹不够美观。本节课零点的引入部分可以简化改进，使之更趋合理，零点存在性定理引入部分略显生硬，应该有更艺术的方式。高一学生在函数的学习中，常表现出不适，主要是数形结合与抽象思维尚不能胜任。具体表现为将函数孤立起来，认识不到函数在高中数学中的核心地位。函数与方程相联系的观点的建立，函数应用的意识的初步树立，应该是本节课必须承载的重要任务。在这一任务的达成度方面，本课还需更突出。另外，课堂上教师怎样引导学生也是值得我深思的一个问题，还有少讲多引方面也是我今后教学中努力的方向。方程的根与函数的零点教学反思 巴里坤县第三中学教师 李晓莹
