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1、二 O O 五 年 二 月,碰撞与冲击动力学Impact and Shock Dynamics,3-3 弹性杆的共轴碰撞 两杆的共轴碰撞是应力波产生并发生相互作用的典型问题，本节先对半无限长杆之间的碰撞问题进行求解，包括横截面相等和不等两种情况，再针对有限长杆的问题进行求解。,3-3-1 两半无限长杆的共轴碰撞例3-3-1如图，两截面完全相同的半无限长杆，其声阻抗分别为 和 ，撞击前杆中应力均为零且无初始应变，两杆分别以速度v1、v2（ v1）发生碰撞（如图所示），画出波系图、 图，求解两杆碰撞后杆中的质点速度和应力解值表达式，画出某一时刻的 图和某质点位置的 图。,解两杆初始应力和应变为零，
2、但初始质点速度不为零，分别为v1和v2，撞击后，在两杆中分别形成了方向相反的强间断弹性波，根据碰撞界面上压力相等（等截面时应力也相等）、质点速度相等条件，两杆从碰撞面开始应力和质点速度逐渐分别由 和 变为 。 根据波的传播情况可直接画出波系图和 图，波系图中设坐标原点在两杆碰撞面处。,图 3-3-1 图3-3-2 波系图中特征线OA和OB的方程分别为 和 。,根据波阵面上的动量守恒条件，有： 某一时刻的 图和某质点位置的 图略。,讨论：（1）若v1=0，相当于对静止杆的碰撞，有,（2）当两材料波阻抗相等时， 此时若v1=0有 若v1=- v2 v1）发生碰撞（如图所示），画出波系图、 图，求解
3、两杆碰撞后杆中的质点速度和应力解值表达式，画出某一时刻的 图和某质点位置的 图。,解根据碰撞界面上压力相等、质点速度相等条件，由于两杆横截面不等，故界面处速度相等但应力不相等，两杆从碰撞面开始应力和质点速度分别由 和 变为 和 。 同样，根据波的传播情况可直接画出波系图和 图，波系图中仍设坐标原点在两杆碰撞面处。 图中所给中的对应于 的情况。,图3-3-6波系图中特征线OA和OB的方程同前两杆截面相同时的情况，分别为 和 。,根据波阵面上的动量守恒条件，有： 某一时刻的 图和某质点位置的 图略。,讨论：（1）当两材料波阻抗相等时，,（2）若v1=0， ，相当于弹性杆对刚体的碰撞，有 图3-3-
4、7 （图中对应于A01A02）,（3）若 ，相当于刚体对弹性杆的碰撞，有 图3-3-8,3-3-2 有限长杆对半无限长杆的碰撞 对于有限长杆来说，应力波传播到杆端会发生反射，反射后的波通过碰撞界面时发生反射和透射的情况与两杆的波阻抗之间的关系息息相关。本节仅讨论有限长杆对半无限长杆的碰撞，即只考虑两杆之一有杆端边界的反射问题。,例3-3-3如图，两截面完全相同的一维长杆，其中有限长杆长为L2，声阻抗为 ，半无限长杆声阻抗为 ，有限长杆以速度v2撞击静止的半无限长杆，两杆初始应力为零且无初始应变，根据两杆的波阻抗之间的关系分析撞击后应力波在杆中传播的情况，画出波系图、 图，求解两杆碰撞后波系图中
5、各区域的质点速度和应力解值表达式，画出某一时刻的 图和某质点位置的 图。,解两杆撞击后，由碰撞界面处背向碰撞面方向传播一次弹性波，为压缩波。设两杆相撞时刻为 时刻，当 时左传播弹性波到达B2杆左端，在自由端面发生反射，向右传播二次波，为稀疏波，使杆中应力逐渐卸载为0，在 时到达两杆相接触的界面，根据两杆的波阻抗关系的不同，应力波此后传播的情况会不同，下面分别讨论。,（1）当 时 两杆波阻抗相等时（但两杆的波速可能不同），波阻抗统一用 表示，两杆的波速分别用C01和C02表示。从B2杆左端面向右传播的稀疏波（卸载波）在撞击面处将无反射的进行传播。依据题意可画出相应的波系图和 图。,图3-3-9
6、（图中对应于 ）,区和 区由于两杆横截面积相等，满足界面处应力和质点速度相等条件，可统一用3区来表示。各区求解过程如下： 1区：2区：3区：,4区： 或由 （叠加原理） 即 时，B2杆从左端自由界面开始反射右传卸载波，使杆中应力和质点速度逐渐卸载到0， 时卸载波传到碰撞界面，使碰撞界面处应力和质点速度卸载到0，意味着两杆的撞击结束。,归纳：对于4区这种向自由界面传播并发生反射形成的三个区域2、3、4区之间有这样的关系，即 而类似的区域如果是向固定端传播和反射，则有,5区：两杆的撞击结束，B1杆左端变成自由界面，卸载波继续向B1杆中向右传播，使杆中应力变为0，则有 根据前面的分析及求解，当 时，
7、两杆在 时刻碰撞结束，两杆保持接触不分离，但杆中应力和质点速度都变为0。,由X-t图可以看出，B1杆中有先行的压缩波和随后的卸载拉伸波，两波间距始终不变，在 时刻后B1杆中的应力波形为一矩形波，通常称之为应力脉冲，应力脉冲的长度（对应于两波的间距）由下图可得为 。 图3-3-10,当 ， ，即B1杆中所传播的矩形应力脉冲长度是B2杆长度的两倍，此时若改变B2杆的长度就可以获得不同脉冲长度的应力脉冲，这就是在进行有关的动态力学实验中控制脉冲长度的常用方法。,时（当 时实际上对应于两相同材料）所对应的X-t图确切来说应修正为下图，但 图不变。图3-3-11,（2）当 时，相当于软硬（软材料撞击硬材
8、料） 依据题意可画出相应的波系图和 图。图3-3-12 （图中对应于 ）,由图中可以看出，B2杆中由自由界面向右传播的卸载波使杆中应力逐渐变为0，但质点速度变为负值，与B1杆脱离，并使B1杆左端变为自由端，由B2杆传入的卸载波使B1杆中应力逐渐变为0，速度相应也变为0。两杆在 时刻碰撞结束，并彼此脱离。,3区： 4区： 或根据前面的归纳直接可写出解值5区有：,在B1杆中也是有先行的压缩波和随后的卸载拉伸波，两波间距始终不变，在 时刻后B1杆为一矩形应力脉冲，长度为 。当 时，应力脉冲长度为 。 当 时，相应的X-t图的特征线也要作相应修正。,讨论：若 ，相当于有限长杆刚体，波形图和 图如下。图
9、3-3-13,B1杆相当于刚体，弹性杆撞击静止的半无限长刚体，碰撞界面处有 ，应力值近似解为 。4区的质点速度为 ，即弹性杆在 时刻以大小相等的速度反弹。B1杆中在时间内杆中均布着压力 ，从 时间开始后，刚性杆中应力马上衰减到0，体现刚体受力的瞬时性。,（3）当 时，相当于硬软 依据题意可初步画出相应的波系图和 图如下。,图3-3-14,由图中可以看出，B2杆中由自由界面向右传播的卸载波使杆中应力逐渐变为0，但质点速度仍为正值，由B2杆传入B1杆中的卸载波在 图上是在3、0点所对应的直线上，但两杆是相互脱离、碰撞结束还是保持接触相互作用，还须进一步进行讨论。如果两杆相互作用结束，B1杆左端将成
10、为自由端，即有 ，则相应有 ，而 ，显然B2杆仍会对B1杆发生进一步的碰撞，也就是说两杆仍会相互作用下去，碰撞不会结束。则在两杆碰撞界面上，由于两杆波阻抗不相等，在界面上会有反射和透射，分别向B2杆发生反射和向B1杆发生透射。,最终可画出波系图和 图如下，图中只画到了7区，实际上可一直延续画下去，趋近无穷 。图3-3-15,3区： 4区：,5区： 6区：,由3-3-15图以及以上各区的解可以看出，B2杆对B1杆的撞击将进行第二次、第三次，直至无穷次撞击，不过撞击速度和应力波的幅值逐次减小，直至趋进于0。在时刻发生第n次撞击。 在B1杆中有先行的压缩波和随后幅值逐渐减小的一系列的卸载拉伸波，各相邻两波间距相等，为 （当 时，相邻两波间距为 ）。 当 时，相应的X-t图的特征线同样要作相应修正。,
