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1、数学选修2-2导数及其应用(一)第卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的.)1、若函数在区间内可导,且则 的值为( )A. B. C. D.2、一个物体的运动方程为其中的单位是米,的单位是秒,那么物体在秒末的瞬时速度是( )A.米/秒 B.米/秒 C.米/秒 D.米/秒3、曲线在点处的切线倾斜角为( )A. B. C. D.4、曲线在处的切线平行于直线,则点的坐标为( )A. B. C.和 D.和 5、若,则等于( )A. B. C.D.6、若曲线的一条切线与直线垂直,则的方程为( )A. B. C. D.
2、7、对正整数,设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为,则数列的前项和的公式是( )A. B. C. D.8、已知若,则a的值等于( )A. B. C. D.9、二次函数的图象过原点,且它的导函数的图象过第一、二、三象限的一条直线,则函数的图象的顶点所在象限是( )A.第一 B.第二 C.第三 D.第四10、已知函数的图象在点M(1,f(1)处的切线方程是+2,则的值等于( )A.1 B. C.3 D.011、下列式子不正确的是( )A. B.C. D.12、设,函数的导函数是,且是奇函数.若曲线的一条切线的斜率是,则切点的横坐标为 ( )A. B. C. D.第卷(非选择题 共90分)二、填空题(
3、本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上.)13、已知函数的图象上的一点及临近一点则 .14、曲线在点(1,一3)处的切线方程是_ 15、在平面直角坐标系中,点P在曲线上,且在第二象限内,已知曲线C在点P处的切线的斜率为2,则点P的坐标为 . 16、已知函数是定义在R上的奇函数,则不等式的解集是 .三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)17、(12分)已知函数,设曲线在点处的切线为,若与圆相切,求的值.18、(12分)设函数,且为奇函数.(1)求的值;(2)求的最值.19、(12分)已知,函数,若.(1)求的值并求曲线在点处的
4、切线方程;(2)设,求在上的最大值与最小值.20、(12分)设函数为奇函数,其图象在点处的切线与直线垂直,导函数的最小值为.(1)求,的值;(2)设,当时,求的最小值.21、(12分)设函数,曲线在点处的切线方程为.(1)求的解析式;(2)证明:曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值,并求此定值.22、(14分)已知关于的方程在内有且仅有4个根,从小到大依次为.(1)求证:;(2)是否存在常数,使得成等差数列?若存在求出的值,否则说明理由.参考答案1.B .2.C .3.A .4.D 设切点为,把,代入到得;把,代入到得,所以和.5.B .6.A 与直线垂直的直线为,即在某一
5、点的导数为,而,所以在处导数为,此点的切线为.7.D ,令,求出切线与轴交点的纵坐标为,所以,则数列的前项和8.B ,由得,即.9.C 设,的图象是过第一、二、三象限的一条直线,故,又,即项点在第三象限.10.C由已知切点在切线上,所以f(1)=,切点处的导数为切线斜率,所以,所以311.D 12.A ,是奇函数,有,设切点为,则,得或(舍去),.13. 14. 易判断点(1,-3)在曲线上,故切线的斜率,切线方程为,即15.(2,15) ,又点P在第二象限内,得点P的坐标为(2,15)16. 可得,由导数的定义得,当时,又,;当时,同理得.又是奇函数,画出它的图象得.17.解:依题意有:,的
6、方程为与圆相切,的值为.18.解:(1),又,是奇函数,.(2)由(1)得.的最大值为2,最小值为.19、解:(1),由得,所以;当时,又,所以曲线在处的切线方程为,即;(2)由(1)得,又,在上有最大值1,有最小值.20.解:(1)为奇函数,即,又的最小值为,;又直线的斜率为 ,因此, ,为所求.(2)由(1)得,当时,的最小值为.21.解:(1)方程可化为.当时,. 又,于是解得 ,故. (2)设为曲线上任一点,由知曲线在点处的切线方程为,即.令得,从而得切线与直线的交点坐标为.令得,从而得切线与直线的交点坐标为.所以点处的切线与直线,所围成的三角形面积为.故曲线上任一点处的切线与直线,所围成的三角形的面积为定值,此定值为.xyO22.解:(1)由原方程得,设函数,它们的图象如图所示:方程得在内有且仅有4个根,必是函数与在内相切时切点的横坐标,即切点为,是的切线.由,又,于是. (2)由题设知,又成等差数列,得,.由,得,即.由题设,得, ,有,即,与矛盾!故不存在常数使得成等差数列
