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1、,一轮复习讲义,圆的方程,一、圆的方程,集合,定长,圆心,半径,定点,忆 一 忆 知 识 要 点,求圆的方程,(x1)2(y4)28,忆 一 忆 知 识 要 点,O,A,B,C,忆 一 忆 知 识 要 点,相离,相切,相交,O,d,P,Q,r,直线与圆的位置关系,相离,外切,相交,内切,内含,忆 一 忆 知 识 要 点,两圆相交，公共弦所在直线方程为：C1-C2 =0,与圆有关的轨迹问题,相关点法,设主动点为(x0, y0)；被动点为(x, y),根据主、被动点的关系得x0=f(x), y0=g(y),代入主动点方程,整理得轨迹方程,几何关系法,设动点的坐标为为(x,y),找到几何关系,用方程
2、表示几何关系,整理得轨迹方程,求轨迹方程的方法,与圆有关的轨迹问题,(3, 4),(a, b),(x, y),与圆有关的最值问题,四,22,利用方程的思想方法求解圆的问题,知识网络,圆的性质,圆的方程,空间直角坐标系,标准方程,一般方程,点与圆的位置关系,直线与圆的位置关系,圆与圆的位置关系,空间直角坐标系,空间两点间的距离,圆与方程,一般方程,( xa )2 + ( yb )2 = r2,1.圆的两种方程：,标准方程：,2.点与圆的位置关系,(点M(x0, y0)到圆心(a, b)距离为d, 圆的半径为r),点M在圆外dr(x0-a)2+(y0-b)2 r2,点M在圆内dr(x0-a)2+(
3、y0-b)2 r2,点M在圆上d=r(x0-a)2+(y0-b)2= r2,3. 圆系方程,(2)当= -1 时, 方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0表示圆C1 ,C2的公共弦所在的直线方程.,(1)当-1时,表示过圆C1 ,C2交点的圆的方程;,若两圆 x2 + y2 + D1x +E1 y + F1 = 0 和 x2 + y2 + D2x + E2y + F2 = 0 相交, 则过这两圆交点的圆系方程为,相关点法,设主动点为(x0, y0)；被动点为(x, y),根据主、被动点的关系得x0=f(x), y0=g(y),代入主动点方程,整理得轨迹方程,几何关系法,设动点
4、的坐标为为(x,y),找到几何关系,用方程表示几何关系,整理得轨迹方程,4.求轨迹方程的方法,M,例1. 已知圆的方程为 x2+y2 = 9,圆内有定点P(-2, -1), 圆周上有两个动点A, B,使PAPB,求矩形 APBQ的顶点Q的轨迹方程.,解:连接AB,PQ交于点M, 连接OM,由 |MA|=|MB|,则OMAB.,设Q(x , y),则,例1. 已知圆的方程为 x2+y2 = 9 ,圆内有定点P(-2,-1), 圆周上有两个动点A, B,使PAPB,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.,解:在RtAOM中,化简, 得,所以,顶点Q的轨迹方程是,【1】已知直线y=kx+1与圆x2+y2
5、=4相交于A, B两点, 以OA,OB为邻边作平行四边形OAPB,则点P的轨迹方程是_.,M,P,B,A,举一反三,【2】 (04年全国)由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA, PB，切点分别为A, B, APB=60,则动点P的轨迹方程是_.,x2+y2=4,举一反三,2,B,A,O,P,y,x,举一反三,三、典型例题,例2.已知点P(x, y)为圆 x2+y2=4上的动点,则 x+y 的最大值为_.,解：设,x,o,y,例2.已知点P(x, y)为圆 x2+y2=4上的动点,则 x+y 的最大值为_.,三、最值问题,例2. 已知点P(x, y)为圆 x2+y2=4上的动点,则 x+y
6、的最大值为_.,【例2】已知点P(x, y)为圆 x2+y2=4上的动点 , 则 x+y 的最大值为_.,不等式链 (a0, b0),【1】已知点P(x,y)在圆x2+(y-1)2=1上. (1)求 的最小值; (2)求 最小值; (3)求 y-x 的最大值.,x,o,y,A,M,B,C,D,E,举一反三,例3. 已知圆O1:x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0相交于P, Q两点, 若OPOQ,求m的值.,例题讲解,P,Q,O,x,y,O1,解: 由方程组,消 x , 得,设直线与圆的交点坐标为P(x1, y1) , Q(x2 , y2),因为点P, Q均在直线上，,由于OPOQ
7、，,所以m=3，经检验m=3满足条件.,则有,【解题回顾】在解答中,我们采用了对直线与圆的交点“设而不求”的解法技巧,由于“OPOQ”即等价于 “xPxQ+yPyQ=0”, 所以最终应考虑应用韦达定理来求m.,另外，在使用 “设而不求”的技巧时，必须注意这样的交点是否存在，这可由判别式大于零帮助考虑.,练一练,学案P 例2,例3. 已知圆O1:x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0相交于P、Q两点, 若OPOQ,求m的值.,P,Q,C,O1,又圆C的圆心 在直线PQ上,解2：设过P, Q两点的圆系C方程为：,原点O在圆C上,所以 m 的值是 3.,由OPOQ 知,圆心 C (-1,
8、2),解3：设点C是弦PQ的中心,由O1CPQ,圆C:,解4: 作O1 CPQ,易知 C(-1, 2), 圆O1的半径,圆O1的半径,由 O POQ, CP=CQ,得,【1】与圆C: x2+(y+5)2=3相切,且在x , y轴上截距相等的直线有 条.,4,C,x,o,y,A,几何法1:,几何法2:,【2】已知圆的方程是 (x-1)2+(y-2)2=5,则过点A(3, 3)的圆的切线方程是_.,C,x,o,y,A,几何法3:,P,向量法4:,【2】已知圆的方程是 (x-1)2+(y-2)2=5,则过点A(3, 3)的圆的切线方程是_.,代数法5,【2】已知圆的方程是 (x-1)2+(y-2)2=5,则过点A(3, 3)的圆的切线方程是_.,C,x,o,y,A,因为A(3, 3)是切点，,n 的最小值为 .,2,5,解题是一种实践性技能,就象游泳、滑雪、弹钢琴一样，只能通过模仿和实践来学到它！ 波利亚,
