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1、二元一次方程组的解法代入消元法、加减消元法【本讲教育信息】一. 教学内容： 二元一次方程组的解法代入消元法、加减消元法目标 1. 熟练掌握用代入（消元）法、加减（消元）法解二元一次方程组 2. 理解三元一次方程组并掌握其解法 3. 会求二元一次方程的整数解二. 重、难点： 1. 了解解二元一次方程组的基本思想，能选用合理、简捷的方法解二元一次方程组 2. 了解三元一次方程组及其解的概念，解三元一次方程组的基本思想和方法 3. 通过一次方程组解法的学习，领会多元方程组向一元方程组转化(化归)的思想在较复杂的方程组解法的训练中，渗透换元的思想 4. 掌握简单的二元一次方程的整数解的求法三. 知识要
2、点 1. 解二元一次方程组的方法： 解二元一次方程组的基本思路是“消元” “消元”把“二元”变为“一元” （1）代入消元法 将其中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法 适用范围：最好是某个未知数的前面的系数的绝对值为1或一个方程的常数项为0，否则尽量避免使用这种方法 （2）加减消元法 把方程组的两个方程（或先作适当变形）相加或相减，消去其中一个未知数，把解二元一次方程组转化为解一元一次方程这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法 注意：注意变形的等价性，代入要
3、细心，计算后要检验把求出的解代入原方程组，可以检验解题过程是否正确 一般步骤： 第一步：在所解的方程组中的两个方程，如果某个未知数的系数互为相反数，可以把这两个方程的两边分别相加，消去这个未知数；如果未知数的系数相等，可以直接把两个方程的两边相减，消去这个未知数 第二步：如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等，那么应选出一组系数(选最小公倍数较小的一组系数)，求出它们的最小公倍数(如果一个系数是另一个系数的整数倍，该系数即为最小公倍数)，然后将原方程组变形，使新方程组的这组系数的绝对值相等(都等于原系数的最小公倍数)，再加减消元 第三步：对于较复杂的二元一次方程组，应先化简 2. 三元一
4、次方程组及其解： （1）解三元一次方程组的基本思路： 化三“元”为二“元”，再化二“元”为一“元”，即利用代入法和加减法消“元”逐步求解 说明：解三元一次方程组，除了要考虑好选择哪种方法和决定消去哪一个未知数之外，关键的一步是由三“元”化为二“元”，特别注意两次消元过程中，方程组中每个方程至少要用到1次，并且(1)，(2)，(3)3个方程中先由哪两个方程消某一个未知数，再由哪两个方程（一个是用过的）仍然消这个未知数，防止第一次消去y，第二次消去z或x，仍然得到三元一次方程组，没有达到消“元”的目的 3. 二元一次方程整数解 （1）二元一次方程整数解存在的条件： 在整系数方程ax+byc中，若a
5、，b的最大公约数能整除c，则方程有整数解即如果（a，b）|c 则方程ax+byc有整数解显然a，b互质时一定有整数解 例如：方程3x+5y1， 5x2y7， 9x+3y6都有整数解 （2）二元一次方程整数解的求法： 1）关于整数解的通解： 若方程ax+byc有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k来表示它的通解（即所有的解）k叫做参变数 整除法：求方程5x+11y1的整数解 解：x (1) ， 设是整数），则y15k (2) ， 把（2）代入（1）得xk2(15k)11k2 原方程所有的整数解是（k是整数） 公式法： 设ax+byc有整数解 则通解是（x0，y0可用观察法） 2）求二元一次方程
6、的正整数解： 写出整数解的通解，再解x，y的不等式组，确定k值 用观察法直接写出【典型例题】 例1. 用代入法解方程组：（1） 分析：通常，当某个未知数的系数的绝对值为1时，将它所在的方程变形 解：由（2）得 代入（1）得： 解得：代入（3）得： （2） 分析：代入法消元通常是，把方程组中的某个方程的一个未知数（系数最为简单的）用另一个未知数的代数式来表示 解：由（1）得 代入（2）得： 解得：代入（3）得： （3） 分析：应先把分数系数化为整数系数，即把原方程组化简 解：原方程组可化为： 由（3）得 代入（4）得： 解得：代入（5）得： （4） 分析：想消去哪个未知数？告诉你一个令人振奋的方
7、法：由第一个方程得，把它代入第二个方程，你试过这种方法吗？这叫整体代入法 解：由（1）得 代入（2）得： 解得：代入（3）得： 例2. 用代入法解关于、方程组 分析：解字母系数的二元一次方程组与上述解问题的方法是一致的 解：由（2）得 代入（1）得： 解得：代入（3）得： 例3. 用加减法解方程组 （1） 分析：此方程组的两个方程中y的系数互为相反数，所以可把两个方程相加，消去y，解出x的值；又发现两个方程中x的系数相等，所以可把两个方程相减，消去x，解出y的值 解法一：(1)+(2)，得， 把代入(2)，得， 解法二：(1)(2)，得， 把代入(2)，得， （2） 分析：此方程组中两个未知数
8、的系数均不成整数倍，所以选择系数较简单的未知数消元将(1)4， (2)3，使得x的系数相等，再相减消去x 解：(1)4(2)3，得 把代入(2)，得， （3） 分析：应先把分数系数（百分数系数）化为整数系数，即把原方程组化简 解：化简方程组，得 （1）3+（2）2得： 代入（1）得： （4） 分析：此题中的方程组比较复杂，应先化简，然后再观察系数的特点，利用加减消元求解 解：化简方程组，得 (3)2+(4)3，得， 把代入(4)，得 例4. 解方程组 分析：观察到方程(1)中x的系数为1，所以可用代入法消去x，把三元一次方程组转化为二元一次方程组，求出它的解，即得到y和z的值，再求x的值，也可
9、先消去z，得到x，y的二元一次方程组 解：由(1)得 x9+2yz （4） 把(4)代入(2)，得2(9+2yz)+y+3z10， 即 5y+z8 (5) 把(4)代入(3)，得3(9+2yz)+2y4z3， 即 8y7z30 (6) (5)和(6)组成方程组 解这个方程组，得 把y2， z2代入(4)，得x9+2(2)23 例5. 解方程组 分析：此方程组中没有一个未知数的系数的绝对值是1，所以考虑用加减消元法，选择消去系数较简单的未知数x，由(1)和(2)，(1)和(3)两次消元，得到关于y，z的二元一次方程组，最后求x 解：(1)3，得 6x+18y+9z18 (4) (2)2，得 6x
10、+30y+14z12 (5) (5)(4)，得12y+5z6 (6) (1)2，得4x+12y+6z12 (7) (7)(3)，得21y+2z3 (8) 由(6)和(8)组成方程组 解这个方程组，得 把，代入(1)，得2x+6+3(2)6， x5 说明：用加减法解三元一次方程组时，应选择消去系数绝对值的最小公倍数最小的未知数 例6. 解方程组 分析：此方程组中的一个方程是用等比的形式给出的，可设1份为k，即xk，y2k，z3k，将其代入(2)，可解出k的值，从而求出x，y，z的值另外，也可以将这个等比形式写成两个比例式，从而原方程组可化为常见形式的三元一次方程组 解法一：设xk，y2k，z3k
11、 把xk，y2k，z3k代入(2)，得 2k+2k33k15 k3 x3， y6，z9 解法二：原方程组可化为：即 把(3)和(4)代入(5)，得2x+2x9x15， x3 把x3代入(3)和(4)，得y6， z9 例7. 求方程5x9y18整数解的通解 解：x 设（k为整数），y35k，代入得x99k 原方程整数解是（k为整数） 又解：当x0时，y2， 方程有一个整数解它的通解是（k为整数） 说明：从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的 例8. 求方程5x+6y100的正整数解 解：x(1)， 设(k为整数)，则y5k，(2) 把（2）代入（1）得x206k， 解不等式组 得0k，k的整
12、数解是1，2，3， 正整数解是 例9. 甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？ 解：设甲种书买x本，乙种书买y本，根据题意得 3x+5y38 （x，y都是正整数） x1时，y7，是一个整数解 通解是（k为整数） 解不等式组得解集是整数k0，1，2 把k0，1，2代入通解，得原方程所有的正整数解 答：甲、乙两种书分别买1和7本或6和4本或11和1本【模拟试题】（答题时间：40分钟） 1. 方程2x+y9在正整数范围内的解有（ ） A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 2. 用加减法解方程组时，有下列四种变形，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知a，b满足方程组 ， 则 ab的值为（ ） A. 1B. 0C. 1D. 2 4. 若方程组的解x与y相等，则a的值等于（ ） A. 4B. 10C. 11D. 12 5. 关于x，y的二元一次方程组 的解也是二元一次方程 的解，则k的值是（ ） A. B. C. D. 6. 方程组 的解是_ 7. 下列方程中没有整数解的是哪几个？答：_（填编号）
