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1、安丘市青云学府二数学组 谢大强,圆锥曲线复习,复习专题,1.椭圆的定义 平面内到两定点F1、F2距离之和为常数2a ( )的点的轨迹叫椭圆.有|PF1|+|PF2|=2a. 在定义中，当 时，表示线段F1F2;当 时,不表示任何图形.,2a|F1F2|,2a=|F1F2|,2a|F1F2|,2.椭圆的标准方程 (1) =1 (ab0),其中a2=b2+c2，焦点坐标为 . (2) =1 (ab0),其中a2=b2+c2，焦点坐标为 .,F1(-c,0),F2(c,0),F1(0,-c),F2(0,c),4.椭圆 =1 (ab0)的几何性质 (1)范围：|x|a,|y|b，椭圆在一个矩形区域内；
2、 (2)对称性：对称轴x=0，y=0，对称中心O(0，0)； 一般规律：椭圆有两条对称轴，它们分别是两焦点的连线及两焦点连线段的中垂线.,(3)顶点:A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b),长轴长|A1A2|= ，短轴长|B1B2|= ; 一般规律：椭圆都有四个顶点，顶点是曲线与它本身的对称轴的交点. (4)离心率：e= (0e1)，椭圆的离心率在 内,离心率确定了椭圆的形状(扁圆状态).当离心率越接近于 时,椭圆越圆;当离心率越接近于 时，椭圆越扁平.,2a,2b,(0,1),0,1,5 .双曲线的定义 平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值为常数2a(且 )
3、的点的轨迹叫双曲线，有|MF1|-|MF2|=2a. 在定义中，当 时表示两条射线,当 时,不表示任何图形.,02a|F1F2|,2a=|F1F2|,2a|F1F2|,6.双曲线的标准方程 (1)焦点在x轴上的双曲线: ,其中 ,焦点坐标为F1(-c,0),F2(c,0)； (2)焦点在y轴上的双曲线: ,其中c2=a2+b2，焦点坐标为F1(0,-c),F2(0,c).,c2=a2+b2,7.双曲线 (a0,b0)的几何性质 (1)范围： ,yR； (2)对称性：对称轴x=0,y=0，对称中心(0，0)； 一般规律：双曲线有两条对称轴，它们分别是两焦点连线及两焦点连线段的中垂线.,|x|a,
4、(3)顶点：A1(-a,0),A2(a,0)；实轴长 ，虚轴长 ; 一般规律：双曲线都有两个顶点，顶点是曲线与它本身的对称轴的交点. (4)离心率e= ( )；双曲线的离心率在(1,+)内，离心率确定了双曲线的形状. (5)渐近线：双曲线 的两条渐近线方程为 ;双曲线 的两条渐近线方程为 .,|A1A2|=2a,|B1B2|=2b,e1,y= x,y= x,双曲线有两条渐近线，他们的交点就是双曲线的中心；焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b;公用渐近线的两条双曲线可能是:a.共轭双曲线；b.放大的双曲线；c.共轭放大或放大后共轭的双曲线. 已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的
5、标准方程中的“1”为“0”就得到两条渐近线方程，即方程 就是双曲线 的两条渐近线方程.,8.抛物线的定义 平面内与一定点F和一条定直线l(Fl)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的 . 2.抛物线的标准方程与几何性质,准线,x轴,y轴,F(- ,0),F(0, ),x=-,y=,9.直线与圆的位置关系的判断 由圆心到直线的距离d与圆半径r比较大小判断位置关系;(1)当dr时,直线与圆 ;(2)当d=r时,直线与圆 ;(3)当dr时，直线与圆 . 10.直线与圆锥曲线的位置关系的判断 判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，可将直线l的方程代入曲线C的方程，消去y(
6、或x)得一个关于变量x(或y)的一元二次方程ax2+bx+c=0（或ay2+by+c=0）.,相离,相切,相交,(1)当a0时,则有 ,l与C相交; ,l与C相切; ,l与C相离; (2)当a=0时，即得到一个一次方程，则l与C相交,且只有一个交点,此时,若曲线C为双曲线,则l 于双曲线的渐近线;若C为抛物线,则l 于抛物线的对称轴.,0,=0,0,平行,平行,11.弦长公式 连接圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦.要能熟练地利用方程与根的系数关系来计算弦长，常用的弦长公式|AB|= = .当直线与圆锥曲线相交时，涉及弦长问题，常用“韦达定理”设而不求计算弦长.,12.曲线与方程的关系 一
7、般的，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个 ; (2)以这个方程的解为坐标的点均是 .那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.,方程的解,曲线上的点,13.求轨迹方程的基本思路 (1)建立适当的直角坐标系，设曲线上的任意一点（动点）坐标为M(x,y). (2)写出动点M所满足的 . (3)将动点M的坐标 ,列出关于动点坐标的方程f(x,y)=0. (4)化简方程f(x,y)0为最简形式. (5)证明（或检验）所求方程表示的曲线上的所有点是否都满足已知条件
8、.,几何条件的集合,代入几何条件,注意：第（2）步可以省略，如果化简过程都是等价交换，则第（5）可以省略；否则方程变形时，可能扩大（或缩小）x、y的取值范围，必须检查是否纯粹或完备（即去伪与补漏）. 14.求轨迹方程的常用方法 (1)直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量(如距离与角)的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系转化为x,y的等式就得到曲线的轨迹方程；,(2)定义法：某动点的轨迹符合某一基本轨迹(如直线、圆锥曲线)的 ,则可根据定义采用设方程求方程系数得到动点的轨迹方程； (3)代入法(相关点法)：当所求动点M是随着另一动点P(称之为相关点)而运动
9、，如果相关点P满足某一曲线方程，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，再把相关点代入曲线方程，就把相关点所满足的方程转化为动点的轨迹方程；,定义,(4)参数法：有时求动点应满足的几何条件不易得出，也无明显的相关点，但却较易发现这个动点的运动常常受到另一个变量(角度、斜率、比值、截距或时间等)的制约，即动点坐标(x,y)中的x,y分别随另一变量的变化而变化，我们可称这个变量为参数，建立轨迹的参数方程； (5)交轨法：在求两动曲线交点的轨迹问题时，通过引入参变量求出两曲线的轨迹方程，再联立方程，通过解方程组消去参变量，直接得到x,y的关系式.,1.动点P到两定点F1(-3,0)，F2(3,0)的距
10、离之和等于6，则点P的轨迹是( ),C,A.椭圆 B.圆 C.线段F1F2 D.直线F1F2,课堂练习,2.椭圆 + =1的焦点坐标是 ,若弦CD过左焦点F1,则F2CD的周长是 .,( ,0),16,由已知，半焦距c= = ,故焦点坐标为( ,0),F2CD的周长为4a=44=16.,3.中心在坐标原点,焦点在y轴上,经过点( ,0),离心率为 的椭圆方程为 .,=1,b=3 e= = a2=b2+c2 又椭圆焦点在y轴上,故其方程为 =1.,a=2 b=3.,解得,依题设,4.已知M为线段AB的中点,|AB|=6,动点P满足|PA|+|PB|=8,则PM的最大值为 ,最小值为 .,4,依题
11、意可知，P点轨迹为以A、B为焦点的椭圆，M为椭圆中心，且半焦距为3，半长轴为4，则|PM|的最大值为4，最小值为半短轴 .,5.椭圆 =1(ab0)的焦点为F1、F2，两条直线x= (c2=a2-b2)与x轴的交点为M、N，若MN2|F1F2|,则该椭圆的离心率e的取值范围是 ., ,1),由已知|MN|=2 . 又|MN|2|F1F2|,则2 4c, 从而 ,故 1,故e ,1).,1.在解题中凡涉及椭圆上的点到焦点的距离时，应利用定义求解. 2.求椭圆方程的方法，除了直接根据定义法外，常用待定系数法.当椭圆的焦点位置不明确，可设方程为 + =1(m0,n0),或设为Ax2+By2=1(A0
12、,B0).,3.椭圆中有“两线”(两条对称轴)，“六点”(两个焦点、四个顶点)，注意它们之间的位置关系(焦点在长轴上等)及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为a-c等).,6.双曲线 =1的实轴长是 ，焦点坐标是 .,8,（0,5),7.方程 =1表示双曲线，则实数k的取值范围是 .,(-,-1)(1,+),由题设及双曲线标准方程的特征可得(1+k)(1-k)1.,8.已知双曲线 =1右支上一点P到左焦点F1的距离为12，则点P到右焦点F2的距离为 ;右支上满足上述条件的点P有 个.,2,1,由双曲线定义可得|PF1|-|PF2|=2a=10， 所以|PF2|=12-10=2. 又焦点坐标F
13、1（-7，0），F2（7，0），顶点坐标为（5，0）， 所以满足条件的点只有一个，即为右顶点.,9.若双曲线 =1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率 .,e=,由已知，两渐近线方程为y= x, 由两渐近线互相垂直得 (- )=-1,即a=b. 从而e= = = .,10.若双曲线C的焦点和椭圆 =1的焦点相同，且过点(3 ,2)，则双曲线C的方程是 .,=1,由已知半焦距c2=25-5=20,且焦点在x轴上，设双曲线C的方程为 =1, a2+b220 a2=12 =1 b2=8, 故所求双曲线的方程为 =1.,则,求得,1.a,b,c有关系式c2=a2+b2成立，且a0,b0,c0.其中a
14、与b的大小关系，可以为a=b,ab. 2.双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”（两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点），“四线”（两条对称轴、两条渐近线），“两形”（中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形，双曲线上一点和两焦点构成的三角形）研究他们之间的相互联系.,3.椭圆是封闭性曲线，而双曲线是开放性的.又双曲线有两支，故在应用时要注意在哪一支上. 4.根据方程判定焦点的位置时，注意与椭圆的差异性. 5.求双曲线的标准方程时应首先考虑焦点的位置，若不确定焦点的位置时，需进行讨论，或可直接设双曲线的方程为Ax2+By2=1(AB0).,6.与双曲线 共渐近线的双曲线方程为 =(0). 与双曲线 共焦点的圆锥曲线方程为 (a2,且-b2). 7.双曲线的形状与e有关系:k= = = = ，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔.由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔.,11.平面内，动点M到定点F（0,-3）的距
