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1、处理有关“恒成立”的思路方法乐山市井研县马踏中学 廖德俊 与“恒成立”有关的问题一直是中学数学的重要内容，它是函数，数列，不等式，三角等内容交汇处的一个非常活跃的知识点，特别是导数的引入，成为我们更广泛更深入的研究函数，不等式的有利工具，更为我们研究恒成立问题提供了保障。对恒成立问题的考察不仅涉及到函数，不等式等有关的传统知识和方法，而且考察极限，导数等新增内容的掌握和灵活运用。它常与数学思想方法紧密结合，体现了能力立意的原则。恒成立问题涉及到一次函数，二次函数的性质，图象渗透和换元，化归，数形结合，函数与方程等思想方法，有利于考察学生的综合解题能力，培养学生思维的灵活性，创造性，所以是历年高
2、考的热点。一 恒成立问题的基本类型按区间分类可分为：在给定区间某关系的恒成立问题；在全体实数集上某关系的恒成立问题。二 处理恒成立问题的基本思路处理与恒成立有关的问题大致可分以下两种方法 变量分离思路处理； 利用函数的性质，图象思路处理。若不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于不等号的两边，则可将恒成立问题转化为函数的最值问题求解。在不等式的恒成立问题中，以下充要条件应细心思考，甄别差异，性质使用。YXOYXO “恒成立问题”解决的基本策略一、恒成立问题的基本类型 在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题.函数在给
3、定区间上某结论成立问题,其表现形式通常有:j在给定区间上某关系恒成立;k某函数的定义域为全体实数R;l某不等式的解为一切实数;m某表达式的值恒大于a等等恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：一次函数型；二次函数型；变量分离型；根据函数的奇偶性、周期性等性质；直接根据函数的图象。二、恒成立问题解决的基本策略（一）两个基本思想解决“恒成立问题”思路1、 思路2、如何在区间D上求函数f
4、(x)的最大值或者最小值问题,我们可以通过习题的实际,采取合理有效的方法进行求解,通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导等等方法求函数f（x）的最值。这类问题在数学的学习涉及的知识比较广泛，在处理上也有许多特殊性，也是近年来高考中频频出现的试题类型，希望同学们在日常学习中注意积累。（二）、赋值型利用特殊值求解等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得.例1由等式x4+a1x3+a2x2+a3x+a4= (x+1)4+b1(x+1)3+ b2(x+1)2+b3(x+1)+b4 定义映射f：(a1,a2,a3
5、,a4)b1+b2+b3+b4,则f：(4,3,2,1) ( )A.10 B.7 C.-1 D.0略解：取x=0，则 a4=1+b1+b2+b3+b4,又 a4=1,所以b1+b2+b3+b4 =0 ，故选D例2如果函数y=f(x)=sin2x+acos2x的图象关于直线x= 对称，那么a=（ ）.A.1 B.-1 C . D. -.略解：取x=0及x=，则f(0)=f(),即a=-1，故选B.此法体现了数学中从一般到特殊的转化思想.（三）分清基本类型，运用相关基本知识，把握基本的解题策略1、一次函数型：若原题可化为一次函数型,则由数形结合思想利用一次函数知识求解,十分简捷给定一次函数y=f(
6、x)=ax+b(a0),若y=f(x)在m,n内恒有f(x)0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于 同理，若在m,n内恒有f(x)2a+x恒成立的x的取值范围.分析：在不等式中出现了两个字母：x及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数.显然可将a视作自变量，则上述问题即可转化为在-2，2内关于a的一次函数大于0恒成立的问题.解：原不等式转化为(x-1)a+x2-2x+10在|a|2时恒成立,设f(a)= (x-1)a+x2-2x+1,则f(a)在-2,2上恒大于0，故有：即解得：x3. 即x(,1)(3,+)此类题本质上是利用了一次函数在区间m,n上的图象是一线段，故只
7、需保证该线段两端点均在x轴上方（或下方）即可.2、二次函数型涉及到二次函数的问题是复习的重点，同学们要加强学习、归纳、总结，提炼出一些具体的方法，在今后的解题中自觉运用。（1）若二次函数y=ax2+bx+c(a0)大于0恒成立，则有（2）若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，可以利用韦达定理以及根的分布知识求解。例3 若函数的定义域为R，求实数 的取值范围.分析：该题就转化为被开方数在R上恒成立问题，并且注意对二次项系数的讨论.解：依题意，当恒成立，所以，当此时当有综上所述，f(x)的定义域为R时，例4.已知函数，在R上恒成立，求的取值范围.分析：的函数图像都在X轴及其上方，如右图所示：略解：
8、变式1：若时，恒成立，求的取值范围.分析：要使时，恒成立，只需的最小值即可.解：，令在上的最小值为.当，即时， 又 不存在.当，即时， 又 当，即时， 又 综上所述，.变式2：若时，恒成立，求的取值范围.解法一：分析：题目中要证明在上恒成立，若把2移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间时恒大于等于0的问题.22略解：，即在上成立. 综上所述，.解法二：（运用根的分布） 当，即时， 不存在.当，即时，当，即时， 综上所述.此题属于含参数二次函数，求最值时，轴变区间定的情形，对轴与区间的位置进行分类讨论；还有与其相反的，轴动区间定，方法一样.对于二次函数在R上恒成立问题往往采用判别式法（
9、如例4、例5），而对于二次函数在某一区间上恒成立问题往往转化为求函数在此区间上的最值问题3、变量分离型若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。运用不等式的相关知识不难推出如下结论：若对于x取值范围内的任何一个数都有f(x)g(a)恒成立，则g(a)f(x)min;若对于x取值范围内的任何一个数，都有f(x)f(x)max.(其中f(x)max和f(x)min分别为f(x)的最大值和最小值)例5.已知三个不等式，要使同时满足的所有x的值满足，求m的取值范围.略
10、解：由得2x3;,构造函数，画出图象，得a3.利用数形结合解决恒成立问题，应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围.三、在恒成立问题中，主要是求参数的取值范围问题，是一种热点题型，介绍一些基本的解题策略，在学习中学会把问题分类、归类，熟练基本方法。（一）换元引参，显露问题实质 1、对于所有实数x，不等式恒成立，求a的取值范围。 解：因为的值随着参数a的变化而变化，若设，则上述问题实质是“当t为何值时，不等式恒成立”。这是我们较为熟悉的二次函数问题，它等价于求解关于t的不等式组：。 解得，即有，易得。2、设点P（x，y）
11、是圆上任意一点，若不等式x+y+c0恒成立，求实数c的取值范围。（二）分离参数，化归为求值域问题 3、若对于任意角总有成立，求m的范围。解：此式是可分离变量型，由原不等式得，又，则原不等式等价变形为恒成立。根据边界原理知，必须小于的最小值，这样问题化归为怎样求的最小值。因为 即时，有最小值为0，故。（三）变更主元，简化解题过程 4、若对于，方程都有实根，求实根的范围。 解：此题一般思路是先求出方程含参数m的根，再由m的范围来确定根x的范围，但这样会遇到很多麻烦，若以m为主元，则， 由原方程知，得 又，即解之得或。5、当时，若不等式恒成立，求的取值范围。（四）图象解题，形象直观 6、设，若不等式恒成立，求a的取值范围。 解：若设，则为上半圆。设，为过原点，a为斜率的直线。在同一坐标系内 作出函数图象依题意，半圆恒在直线上方时，只有时成立，即a的取值范围为。7、当x(1,2)时，不等式(x-1)2logax恒成立，求a的取值范围。解：设y1=(x-1)2,y2=logax,则y1的图象为右图所示的抛物线要使对一切x (1,2),y11,并且必须也只需当x=2时y2的函数值大于等于y1的函数值。故loga21, 10,注意到若将等号两边看成是二次函数y= x2+4x及一次函数y=2
