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1、图像去噪内 容 摘 要图像是人类传递信息的主要媒介。然而,图像在生成和传输的过程中会受到各种噪声的干扰,对信息的处理、传输和存储造成极大的影响。寻求一种既能有效地减小噪声,又能很好地保留图像边缘信息的方法,是人们一直追求的目标。小波分析是局部化时频分析,它用时域和频域联合表示信号的特征,是分析非平稳信号的有力工具。它通过伸缩、平移等运算功能对信号进行多尺度细化分析,能有效地从信号中提取信息。随着小波变换理论的完善,小波在图像去噪中得到了广泛的应用,与传统的去噪方法相比小波分析有着很大的优势,它能在去噪的同时保留图像细节,得到原图像的最佳恢复。关键词：小波变换 中值滤波 去噪 目 录序言 1一、
2、 小波分析 1（一）小波分析的发展 1（二）小波变换 1（1）小波函数 2（2）小波函数的性质 3（三）均值滤波与中值滤波3（1）均值滤波 3（2）中值滤波 3二、数学基础4（一）希尔伯特变换4（二）傅里叶变换5三、小波去噪与中值滤波去噪6（一）MATLAB介绍6（二）小波去噪与中值滤波去噪7四、总结10参考文献11 序 言图像是人类视觉的基础，给人具体而直观的作用。图像的数字化包括取样和量化两个步骤。数字图像处理就是将图像信号转换成数字格式，并利用计算机进行加工和处理的过程。 图像在采集、传输和转换中常常受到外部环境的干扰。图像中夹杂了噪声和混响干扰，不仅使得图像质量下降，影响了图像的视觉效
3、果，而且给图像的进一步处理也带来了不便。为了减轻噪声对图像的干扰，避免误判和漏判，去除或减轻噪声是必要的工作。一、小波分析(一)小波分析的发展 小波分析是近年来国际上掀起新潮的一个前沿研究领域，是继Fourier分析的一个突破性进展，它给信号处理领域带来了崭新的思想，提供了强有力的工具，在科技界引起了广泛的关注和高度的重视。探讨小波的新理论、新方法以及新应用成为当前一个非常活跃和富有挑战性的研究领域。小波的起源可以追溯到本世纪初。1910年，Haar最早提出了规范正交小波基的思想，构造了紧支撑的正交函数系-Haar 函数系。1946年，Gabor提出了加窗 Fouricr变换(Gabor：变换
4、)理论，使得对信号的表示具有时频局部化性质，1981 年，Morlet 仔细研究了Gabor变换方法，对Fourier变换和加窗Fourier变换的异同、特点及函数构造作了创造性的研究，首次提出了“小波分析”的概念，并建立了以他的名字命名的Morlet小波。1986年，Mallat和 Meyer提出了多分辨分析的理论框架，为正交小波基的构造提供了一般的途径，多分辨分析的思想是小波的核心，至此，小波分析才真正形成为一门学科。1988 年，Daubechies 给出了具有紧支集和任意有限正则度的小波函数的一般构造方法，该小波得到了非常广泛的应用。1989年，随着小波理论的进一步发展，Mallat提
5、出了实现小波变换的快速算法一 Mallat塔式算法，为小波应用铺平了道路。1990年，崔锦泰和王建中构造出了基于样条函数的正交小波函数，并讨论了具有最好局部化性质的多尺度分析生成函数及相应的小波函数。同年，Wickethauser和Coifman等人提出了小波包的概念，并将 Mallat算法进一步深化，得到了小波包算法。使得小波变换的分析性质有了很大的改善。1994年，Goodmkan 等人在 r 元多分辨分析基础上建立了多重小波的基本理论框架，进一步丰富了小波理论。(二)小波变换小波变换作为一种多分辨率分析方法，具有信号“显微镜”的美称。近年来一直受到人们的关注。图像去噪是小波应用范围中的一
6、个部分，噪声主要分布在高频区域，但同时图像的细节也分布在高频区域。在传统的基于傅氏变换的信号去噪方法中，当信号和噪声的频带重叠部分小时可以轻易地不损失信号的条件下去除噪声，但是当重叠区域很大时这种方法就无能为力了。由于图像细节和噪声分布在高频段，利用传统去噪方法可能破坏图像的细节信息，利用小波分析理论，可以构造一种既能降低图像噪声，又能保持图像细节信息的方法。小波分析去噪法的基本思想在于小波变换将大部分有用信号的信息压缩而将噪声的信息分散。对信号进行小波分解，就是把信号向是平方可积的实数空间）空间各正交基分量投影，即求信号与各小波基函数之间的相关系数，亦即小波变换值。由于局部信号的小波分解系数
7、仅仅在一些尺度上有较大的值，而噪声的分解系数则广泛分布于各尺度上，所以噪声与局部信号在小波分解后呈现出完全不同的特性。基于这个特点，对含噪局部信号进行小波分解与重构就可以达到去噪的目的。一般地，函数（信号）的局部奇异性用李普西兹（Lipschitz）指数来描述，简称lip指数，亦称奇异性指数。1、小波函数定义一个函数在 处是一致李普西兹a ，当且仅当存在一个常数K，使得在的某一邻域内的任意一点x ，均有 （1）如果式(6)对所有的 都成立，则称f(x)在区间上一致李普西兹。由上式定义不难看出，函数在某一点的李普西兹指数越大，则在该点函数越光滑。函数在某处有间断或某阶导数不连续，则称该函数在此处
8、有奇异性，该点就为函数的奇异点。函数的局部奇异性与小波变换的渐近衰减之间的关系可以描述如下：设， 为 上的闭区间， ，则f (x) 在上一致李普西兹a的充要条件是存在常数A和对有 （2）其中为(x)在尺度s上的小波变换，设，则上式变为 （8）两边取对数 （9）由此可知，如果函数的Lipschitz 指数，则该函数的小波变换的系数将随着尺度的增大而增大。反之，若，则函数的的小波系数将随着尺度增大而减小。一般来说，函数在某一点的李氏指数表征了该点的奇异性大小， 越大，该点的光滑度越高。通常信号的Lipschitz 指数大于零，即使是不连续的奇异信号，只要在某一领域内有界，如阶跃函数，也有。然而，噪
9、声所对应的Lipschitz 指数，由式(9)易得，信号和噪声在不同尺度的小波变换下呈现的特性截然相反。随着尺度的增大，信号所对应的小波变换幅值是增大的，而噪声对应的小波变换幅值减小。我们可以利用这个特点，在不同的分解尺度上设定一定的阈值，将小于给定阈值的极大模值点认为是噪声的小波变换，将其置于零；反之大于该阈值的极大模值点认为是由信号的小波变换引起的，将它们保留。最后将阈值处理后的小波系数通过小波逆变换重构信号，这样就达到了去噪的目的。2、小波函数的性质小波函数的主要性质：小波函数(t)可以由尺度函数（scaling function）f(t)求得。f(t)长度有限，支撑区间在t=0 （2N
10、-1）范围内，例如N=2，f(t)在0 3。图5.6.5给出了不同N值下的f(t)的波形。y(t)是(2t)的移位加权和，K值从（2-2N） 1。 N值不同权值gk也不同。由于f(t)是有限支撑，故由式（5.6.1）得到的(t)也是有限支撑，且它的长度与f(t)相同，是2N-1，始于1-N，终于N.尺度函数f(t)是低通函数，求法后述。图为N=2，3，5，7，9时的f(t)和y(t)的波形图，它们很难用解析表示。(三)均值滤波与中值滤波1、均值滤波对一些图像进行线性滤波可以去除图像中某些类型的噪声，如采用邻域平均法的局部均值滤波器就非常适合用于去除扫描图像中的颗粒噪声。邻域平均法是一种局部空间
11、域处理的算法。均值滤波的思想是：对于给定一幅的图像，图像中的每个像素点，去噪后的图像，去噪后图像中的每个像素的灰度级由包含邻域的几个像素的灰度级的平均值所决定。也就是说，用某一像素邻域内各像素的灰度平均值来代替该像素原来的灰度值。即用下式得到处理后的图像： （3.1）式中 是以点为中心的邻域的集合，是内坐标的总数。图像邻域平均法的处理效果与所用的邻域半径有关。半径越大，则图像的模糊程度也越大。此外，图像邻域平均法算法简单，计算速度快，但它的主要缺点是在降低噪声的同时使图像产生模糊，特别在边缘和细节处，邻域越大，模糊越厉害。另外，从实现难易程度上看，线性平滑滤波器比较容易实现，在信号频谱和噪声频
12、谱具有显著不同特征时，表现出较好的性能。然而，在实际的图像处理过程中，线性滤波器也不能完全去除脉冲噪声。因此在许多应用场合，选用中值滤波来克服这些问题。2、中值滤波中值滤波是一种非线性滤波21，22，由于它在实际运算过程中并不需要图像的统计特性，所以比较方便。中值滤波首先是被应用在一维信号处理技术中，后来被二维图像信号处理技术所引用。在一定的条件下，可以克服线性滤波器所带来的图像细节模糊，而且对滤除脉冲干扰及图像扫描噪声最为有效。但是对一些细节多，特别是点、线、尖顶细节多的图像不宜采用中值滤波的方法。中值滤波的基本原理是把数字图像或数字序列中一点的值用该点的一个邻域中各点值的中值代替。对于给定
13、的个数值，将它们按大小顺序排列。当为奇数时，位于中间位置的数值称为这个数值的中值。当为偶数时，则将位于中间位置的两个数值的平均值称为这个数值的中值，记作。中值滤波就是图像滤波后某个像素的输出等于该像素邻域中各个像素灰度的中值。对于二维信号进行中值滤波时，滤波窗口也是二维的，但这种二维窗口可以有各种不同的形状，例如线状、方形、圆形、十字形、圆环形等。一般在实际使用窗口时，窗口的尺寸一般先用小窗口，然后再逐渐增大窗口，直到其滤波效果满意为止。与平均滤波器相比，中值滤波器从总体上来说，它能够较好地保留原图像中的跃变部分。相比较于局部均值滤波，中值滤波有以下优点：降噪效果比较明显；在灰度值变化比较小的
14、情况下，可以得到很好的平滑效果；降低了图像边界的模糊程度，但有时会失掉图像中的细节和小块的目标区域。在有些情况下，中值滤波在降低了噪声的同时也抑制了信号。也就是说，中值滤波在去除脉冲噪声的同时较好地保持了图像的边缘细节信息，解决了多数线性滤波在去噪的同时模糊图像这一缺点，复原效果较好。但是对于大面积的噪声污染，例如高斯分布的白噪声，在均方误差准则下，中值滤波的能力却不及均值滤波。这是因为滤波窗口(即邻域)中如果多数图像点被噪声污染，中值滤波的输出仍然是某个被噪声污染了的像素，而均值滤波却对噪声进行了求均值运算，在某种程度上对噪声进行了平滑。中值滤波的主要步骤如下：（a）将模板在图中依次移动，使模板中心与图中的某个象素的位置重合；（b）读取与模板对应的各象素的灰度值；（c）将这些灰度值从小到大排序；（d）找出中间值赋给对应模板中心位置的象素；可以看出，中值滤波器主要功能就是让与区域周围象素值接近的值取代
