《江苏省2019高考数学二轮复习 专题四 数列 4.3 大题考法—数列的综合应用达标训练(含解析)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏省2019高考数学二轮复习 专题四 数列 4.3 大题考法—数列的综合应用达标训练(含解析)（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数列的综合应用A组大题保分练1设数列an的前n项和为Sn，且(Sn1)2anSn.(1)求a1；(2)求证：数列为等差数列；(3)是否存在正整数m，k，使19成立？若存在，求出m，k；若不存在，说明理由解：(1)n1时，(a11)2a，a1.(2)证明：(Sn1)2anSn，n2时，(Sn1)2(SnSn1)Sn，2Sn1Sn1Sn，1SnSn(1Sn1)，1为定值，为等差数列(3)2，2(n1)(1)n1，Sn，an.假设存在正整数m，k，使19，则(k1)2m(m1)19，4(k1)24m(m1)76，(2k2)(2m1)(2k2)(2m1)75，(2k2m3)(2k2m1)7575125
2、3155，或或或或2已知常数0，设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，满足：a11，Sn1Sn(3n1)an1(nN*)(1)若0，求数列an的通项公式；(2)若an10，Sn0，an1an.a11，an1.(2)Sn1Sn(3n1)an1，an0，3n1，则31，321，3n11(n2)相加，得1(3323n1)n1，则Snan(n2)上式对n1也成立，Snan(nN*)Sn1an1(nN*)，得an1an1an，即an1an.0，n0，n0.an1an对一切nN*恒成立，n对一切nN*恒成立记bn，则bnbn1.当n1时，bnbn10；当n2时，bnbn10，b1b2是bn中的最大项综
3、上所述，的取值范围是.3在数列中，已知a11，a22，an2(kN*)(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前n项和为Sn，问是否存在正整数m，n，使得S2nmS2n1？若存在，求出所有的正整数对(m，n)；若不存在，请说明理由解：(1)由题意，数列的奇数项是以a11为首项，公差为2的等差数列；偶数项是以a22为首项，公比为3的等比数列所以对任意正整数k，a2k12k1，a2k23k1.所以数列的通项公式为an(kN*)(2)S2n(a1a3a2n1)(a2a4a2n)3nn21，nN*.S2n1S2na2n3n1n21.假设存在正整数m，n，使得S2nmS2n1，则3nn21m(3n1n21
4、)，所以3n1(3m)(m1)(n21)，(*)从而3m0，所以m3, 又mN*，所以m1,2,3.当m1时，(*)式左边大于0，右边等于0，不成立；当m3时，(*)式左边等于0，所以2(n21)0，n1，所以S23S1；当m2时，(*)式可化为3n1n21(n1)(n1)，则存在k1，k2N，k1k2，使得n13k1，n13k2，且k1k2n1，从而3k23k13k1(3k2k11)2，所以3k11,3k2k112，所以k10，k2k11，于是n2，S42S3.综上可知，符合条件的正整数对(m，n)只有两对：(2,2)，(3,1)4若数列an中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称an为
5、“等比源数列”(1)已知数列an中，a12，an12an1.求an的通项公式；试判断an是否为“等比源数列”，并证明你的结论(2)已知数列an为等差数列，且a10，anZ(nN*)求证：an为“等比源数列”解：(1)由an12an1，得an112(an1)，且a111，所以数列an1是首项为1，公比为2的等比数列，所以an12n1.所以数列an的通项公式为an2n11.数列an不是“等比源数列”，用反证法证明如下：假设数列an是“等比源数列”，则存在三项am，an，ak(mnk)按一定次序排列构成等比数列因为an2n11，所以amanak，所以aamak，得(2n11)2(2m11)(2k11
6、)，即22n222n112mk22m12k11，两边同时乘以21m，得到22nm12nm12k112km，即22nm12nm12k12km1，又mn0时，因为anZ，则d1，且dZ，所以数列an中必有一项am0.为了使得an为“等比源数列”，只需要an中存在第n项，第k项(mnk)，使得aamak成立，即am(nm)d2amam(km)d，即(nm)2am(nm)dam(km)成立当namm，k2amamdm时，上式成立所以an中存在am，an，ak成等比数列所以数列an为“等比源数列”B组大题增分练1已知等差数列an的前n项和为Sn，且2a5a313，S416.(1)求数列an的前n项和Sn
7、；(2)设Tn(1)iai，若对一切正整数n，不等式Tnan1(1)n1an2n1 恒成立，求实数的取值范围解：(1)设数列an的公差为d.因为2a5a313，S416，所以解得所以an2n1，Snn2.(2)当n为偶数时，设n2k，kN*，则T2k(a2a1)(a4a3)(a2ka2k1)2k.代入不等式Tnan1(1)n1an2n1，得2k4k，从而.设f(k)，则f(k1)f(k).因为kN*，所以f(k1)f(k)0，所以f(k)是递增的，所以f(k)min2，所以2.当n为奇数时，设n2k1，kN*，则T2k1T2k(1)2ka2k2k(4k1)12k.代入不等式Tn0，mN*，q(
8、1， ，证明：存在dR，使得|anbn|b1对n2,3，m1均成立，并求d的取值范围(用b1，m，q表示)解：(1)由条件知an(n1)d，bn2n1.因为|anbn|b1对n1,2,3,4均成立，即|(n1)d2n1|1对n1,2,3,4均成立，所以11,1d3,32d5,73d9，解得d.所以d的取值范围为.(2)由条件知anb1(n1)d，bnb1qn1.若存在d，使得|anbn|b1(n2,3，m1)成立，即|b1(n1)db1qn1|b1(n2,3，m1)，即当n2,3，m1时，d满足b1db1.因为q(1， ，则1qn1qm2，从而b10，b10，对n2,3，m1均成立因此，取d0
9、时，|anbn|b1对n2,3，m1均成立下面讨论数列的最大值和数列的最小值(n2,3，m1)当2nm时，.当1q2时，有qnqm2，从而n(qnqn1)qn20.因此，当2nm1时，数列单调递增，故数列的最大值为.设f(x)2x(1x)，当x0时，f(x)(ln 21xln 2)2x0，所以f(x)单调递减，从而f(x)f(0)1.当2nm时，2f1，因此，当2nm1时，数列单调递减，故数列的最小值为.因此d的取值范围为.4(2018苏北三市三模)已知两个无穷数列an和bn的前n项和分别为Sn，Tn，a11，S24，对任意的nN*，都有3Sn12SnSn2an.(1)求数列an的通项公式；(2)若bn为等差数列，对任意的nN*，都有SnTn.证明：anbn；(3)若bn为等比数列，b1a1，b2a2，求满足ak(kN*)的n值解：(1)由3Sn12SnSn2an，得2(Sn1Sn)Sn2Sn1
