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1、专题突破练(1)函数的综合问题一、选择题1函数f(x)的零点个数为()A3 B2 C7 D0答案B解析解法一：由f(x)0得或解得x2或xe因此函数f(x)共有2个零点解法二：函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点故选B2已知A(2，5)，B(4，1)，若点P(x，y)在线段AB上，则的最大值为()A B1 C D答案C解析由题意，得线段AB：y1(x4)y2x9(2x4)，所以1，当x2时等号成立，即的最大值为故选C3若变量x，y满足|x|ln 0，则y关于x的函数图象大致是()答案B解析由|x|ln 0得y画出图象可知选B4(2018贵阳模拟)已知函数f(x)是定义在
2、R上的奇函数，当x0时，f(x)log2(2x)1，则f(6)()A2 B4 C2 D4答案C解析因为f(x)是R上的奇函数，所以f(x)f(x)而在x0时，f(x)log2(2x)1，所以f(6)f(6)log2(26)1(log281)2故选C5(2018唐山模拟)已知偶函数f(x)在0，)上单调递减，若f(2)0，则满足xf(x)0的x的取值范围是()A(，2)(0，2) B(2，0)(2，) C(，2)(2，) D(2，0)(0，2)答案A解析因为f(x)是偶函数且在0，)上单调递减，所以f(x)在(，0上单调递增，又f(2)0，所以f(2)0，即在区间(，2)和(2，)上，f(x)0
3、；在区间(2，2)上，f(x)0，所以xf(x)0等价于和即得x2或0xf(3x6)成立的x的取值范围是()A(，2)(3，) B(2，3)C(，2) D(3，)答案A解析易得函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)1为单调增函数，故函数f(x)在R上为增函数，依题意得x22x3x6，解得x3故选A7(2018佛山质检一)已知函数f(x)则下列函数为奇函数的是()Af(sinx) Bf(cosx)Cxf(sinx) Dx2f(cosx)答案C解析易知f(x)为偶函数，即满足xR，f(x)f(x)恒成立研究g(x)xf(sinx)，g(x)xfsin(x)xf(sinx)xf(si
4、nx)g(x)，故g(x)xf(sinx)为奇函数故选C8(2019青岛质检)已知ab1，则下列结论正确的是()Aaabb Baln bbln aCaln abln b Dabba答案C解析取ae，b，则B项明显错误；对于D项，若abba成立，则ln abln ba，则bln aaln b，由B项错误得D项错误；因为ab1，所以ln aln b0，由同向不等式相乘得aln abln b，进一步得ln aaln bb，所以aabb，所以A项错误，C项正确故选C9若x，yR，且满足则xy()A4 B3 C3 D4答案B解析函数f(t)t32018t(tR)是奇函数，且在R上是增函数，故若f(u)f
5、(v)0，则必有uv0，本题中，ux4，vy1，x4y10xy3故选B10(2018长沙统考)函数f(x)2x的图象大致为()答案A解析f(x)2x2x1，其定义域为(，1)(1，)令u(x)2x，v(x)由于u(x)和v(x)都在(，1)和(1，)上单调递增，所以f(x)在(，1)上和(1，)上单调递增，排除C，D；又当x趋向负无穷时，2x趋近于0，趋近于0，所以f(x)接近于1，所以选A11(2018大庆质检一)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0，)时，f(x)0若afln ，bfln ，cf(e01)，则a，b，c的大小关系为()Abac Bbca Ccab Dacb答案C解析依题
6、意，有f(x)在0，)上单调递减，而且f(x)是定义在R上的奇函数，则由其图象知f(x)在(，0上单调递减，从而奇函数f(x)在R上单调递减则由ln ln 1ln ln 1，e010，知ln ln fln f(e01)，即ca0在区间1，4内有解，则实数a的取值范围是_答案(，2)解析不等式x24x2a0在区间1，4内有解等价于a(x24x2)max，令g(x)x24x2，x1，4，g(x)g(4)2，a0)的图象关于直线yx对称，若g(a)g(b)3(其中a0且b0)，则的最小值为_答案9解析依题意可知g(x)3x，g(a)g(b)3a3b3ab3即ab1，(ab)59当且仅当a，b取“”1
7、6如图，在第一象限内，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别在函数ylogx，yx，yx的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴，若点A的纵坐标是2，则点D的坐标是_答案，解析由2logx可得点A，2，由2x可得点B(4，2)，因为4，所以点C的坐标为4，所以点D的坐标为，三、解答题17(2018湖北荆州摸底)已知定义在(0，)上的函数f(x)，满足f(mn)f(m)f(n)(m，n0)，且当x1时，有f(x)0(1)求证：ff(m)f(n)；(2)求证：f(x)在(0，)上是增函数；(3)比较f与的大小解(1)证明：f(m)fff(n)，ff(m)f(n)(2)证明：任取x1，x2(0，)，且x
8、1x2，则f(x2)f(x1)f0x11，f0，f(x2)f(x1)，f(x)在(0，)上是增函数(3)ffffff1，f0，故f18(2018浙江宁波统考)已知函数f(x)log2(x1)，g(x)x|xa|(1)若g(x)为奇函数，求a的值并判断g(x)的单调性(单调性不需证明)；(2)对任意x11，)，总存在唯一的x22，)，使得f(x1)g(x2)成立，求正实数a的取值范围解(1)g(x)为奇函数，g(x)g(x)x(|xa|xa|)0恒成立a0此时g(x)x|x|，在R上单调递增(2)x11，)，f(x)log2(x1)，f(x1)1，)，g(x)当a2时，g(x2)在2，)上单调递
9、增，g(2)42a1，a，a2当2a4时，g(x2)在2，a上单调递减，在a，)上单调递增g(2)42a1，a，2a当a4时，g(x2)在2，上单调递增，在，a上单调递减，在a，)上单调递增g21，2ac时，P，Tx2x10；当1xc时，P，Tx2x1综上，日盈利额T(万元)与日产量x(万件)的函数关系为T(2)由(1)，当xc时，每天的盈利额为0，1xc，当3c6时，T152(6x)15123(当且仅当x3时取等号)，Tmax3，此时x3；当1c3时，由T知函数T在1，3上递增，当xc时，Tmax综上，若3c6，则当日产量为3万件时，可获得最大利润；若1c3，则当日产量为c万件时，可获得最大
10、利润20(2018天津模拟)统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数为yx3x8(0x120)(1)当x64千米/小时时，行驶100千米耗油量多少升？(2)若油箱有225升油，则该型号汽车最多行驶多少千米？解(1)当x64千米/小时时，要行驶100千米需要小时，要耗油6436481195(升)(2)设225升油能使该型号汽车行驶a千米，由题意得，x3x8225，所以a，设h(x)x2，则当h(x)最小时，a取最大值，h(x)x，令h(x)0x80，当x(0，80)时，h(x)0，故当x(0，80)时，函数h(x)为减函数，当x(80，120)时，函数h(x)为增函数，所以当x80时，h(x)取得最小值，此时a取最大值为200
