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1、【中学数学教案】立体几何教案一， 空间直线与直线的关系a ，相交b ，平行c ，异面a , 相交直线b, 平行公理：空间中平行于同一条直线的两条直线平行c, 异面直线：1，求异面直线所成角问题注：利用平行公理找角，利用余弦定理计算，结果要锐角或直角异面直线所成角的范围 平移法利用平行公理把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角 例：正方体中，E，F分别是中点，则直线AE和BF所成角的余弦值 补形法 补形：底面是直角三角形的直三棱柱可以补成一个长方体 例：在直三棱柱中，点分别是中点，BC=CA=，则所成角的余弦值A、 B、 C、 D、2，求异面直线之间的距离问题 和两条异面直线垂直相交的直线叫做
2、异面直线的公垂线，公垂线夹在两条异面直线之间的长度叫做异面直线的距离。二， 空间直线和平面关系 a , 直线与平面平行 b , 直线与平面垂直 c , 直线与平面斜交射影定理和三垂线定理a, 线面平行 1， 判定定理： 若平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行。 2， 性质定理：若一条直线和一个平面平行，则过这条直线的平面和这个已知平面的交线必和这条直线平行。b, 线面垂直 1， 判定定理： I, 若一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直。 II, 若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面。 2， 性质定理： I，若
3、两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行。 II，过一点能且仅能做一条直线与一个平面垂直。 c, 射影定理 1，射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长。 2，相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长。 3，垂线段比任何一条斜线段都短。d, 三垂线定理 1，平面内的一条直线，若和斜线在平面内的射影垂直，则这条直线和斜线垂直。 2，平面内的一条直线，若和平面的斜线垂直，则这条直线和斜线在平面内的射影垂直。三， 空间平面和平面的关系 a, 面面平行 b, 面面垂直 c, 面面斜交a , 面面平行 1， 判定定理：I， 如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面
4、平行。 II， 垂直于同一条直线的两个平面平行。 III 如果一个平面上的两条相交直线分别和另一个平面上的两条直线平行，那么这两个平面平行。 2， 性质定理： I， 如果两个平行平面分别和第三个平面相交，那么它们的两条交线平行。 II， 夹在两个平行平面间的平行线段的长相等。 III，如果两个平行平面中，有一个平面和一条直线垂直，那么另一个平面也和这条直线垂直。b, 面面垂直 1，定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂直。 2，判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 3，性质定理：I， 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直
5、于它们交线的直线垂直于另一个平面。 II， 如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内。 III，如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面。 c, 二面角 定义：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱。 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，两条线所成的角叫做二面角的平面角。 空间直线，平面的做题方法。一、 空间平行关系转化图及相关定理 线线平行线线平行线面平行面面平行
6、 面面平行判定定理推论面面平行性质定理I，线面平行的判定方法平行关系转画图向量法（后面讲）线面平行定义:直线与平面没有公共点II，线线平行关系的判定常见的线线平行的判断方法有平行关系转画图三角形，平行四边形（菱形，矩形，正方形）梯形中位线性质在找三角形中位线是常常利用平行四边形（菱形，矩形，正方形）对角线互相平分利用平行线分线段成比例定理推论找平行线平行于三角形一边，截其它两边或两边的延长线，所得的对应线段成比例ABCDEDEBC注：反之任取一组比例式可推得DEBCABCDEDEBC注：反之任取一组比例式可推知DEBC向量法（后面讲）垂直于同一平面的两条直线平行例 如图所示：已知E，F，G，M
7、分别是四面体的棱AD，CD，BD，BC的中点，求证：AM|面EFGNGENACMB设计说明：可以通过面面平行证线面平行例 已知正方体ABCD-，棱长为a,E,F分别在，BD上，且求证：EF|平面法一：AECDBMF本题证明从线线平行到线面平行。在找线线平行时应用平行线分线段成比例定理推论法二：HEFGCDBA法二也是从线线平行到线面平行，做平行线构造平行四边形证线线平行III 面面平行关系的判定面面平行判定方法平行关系转画图向量法（后面讲）垂直于同一直线的两个平面平行面面平行的定义：两个平面没有公共点例 三棱柱ABC-，D是BC上一点，且|平面，是中点，求证：平面|平面例1如图所示正方体ABC
8、D-的棱长都是a,M,N分别是下底面棱的中点，P是上底面棱AD上一点，AP=，过P，M，N的平面交上底面于P，Q，Q在CD上，则PQ=DCBAPNMQ答案：二 ，空间垂直关系转化图及相关定理线线垂直线面垂直面面垂直典型例题I， 线面垂直的判定与性质线面垂直与面面垂直是今后我们要研究的主要问题。问题的关键是线线垂直。线线垂直的判定方法空间线面垂直证线线垂直利用三垂线定理向量法利用勾股定理算垂直线面垂直的判定方法空间垂直关系转化图向量法例1如图所示，AB圆O的直径，C为圆O上一点，于E，于F，求证：CFEOBAP本题通过线线垂直证明线面垂直，在找线面垂直条件时采用了三垂线定理和圆的直径对直角的性质
9、练习：如图已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，若求证：DCQNMBAP提示：取PD中点Q，证AQ与面PCD垂直，从而利用“线面垂直的性质定理”证MN与面PCD垂直例2、直三棱柱中，M为AC中点求证：222CBA设计说明：牢牢把握直（正）棱柱，正棱锥的结构特征对于研究空间几何问题（空间平行关系的判定与性质及空间垂直关系的判定与性质）有很大帮助。在三视图的环境下证明线面，面面关系是几何证明的一个重点练习：如图所示，直三棱柱ABC-中，M，N是，AB的中点，求证:求证：求证：平面NMCBA练习：如图，在直三棱柱ABC-中，AB=BC=，D为AC的中点求证:若求证：在的
10、条件下，设AB=1，求三棱锥B-的体积II，面面垂直的判定与性质面面垂直的判定方法空间垂直关系转化图：利用线面垂直证面面垂直向量法例1如图，为正三角形，BD|CE，且CE=CA=2BD，M是EA的中点，求证：DE=DA平面BDM平面ECA平面DEA面ECACEABDM取AC中点N,证明DN|BN再证BN面ECA，利用线面垂直的性质定理知DM面ECA最后利用线面垂直证面面垂直例2已知中，BC=CD=1，E，F分别是AC，AD上动点，且求证：不论为何值时，总有平面BEF面ABC当为何值时，平面BEF面ACDCBFEAD第二问是存在性问题当BEF面ACD时由一问可知又BEF面ACD，利用射影定理求A
11、E从而求设计说明：本题是存在性问题，解决存在性问题可以把结论当已知探索使得已知成立的充分性条件解决与空间几何有关的存在性问题最好用向量法练习：1、如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，P，Q分别为线段AB，CD的中点，EP面ABCD求证：DP面EPC问在EP上是否存在F，使平面AFD面BFCQCDPBAE问题利用线线垂直证线面垂直，在寻找线线垂直条件时采用“算垂直”的方法2、如图所示在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是，且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD若G为AD的中点，求证：求证：若E为BC中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面，并证明你的结论分析：问题
12、是存在性问题，可以把结论当已知找条件，寻找的过程可省略。但本题要求证明即把条件当已知证结论1、 如图所示，在四棱柱ABCD-中，已知DC=2AD=2AB，ADDC，AB|DC求证:设E是DC上一点，试确定E的位置，使，并说明理由CBAD一、 折叠问题例如图，四边形ABCD中，AC|BC，AD=AB，将沿对角线BD折起，记折起后点的位置为P，且使平面PBD面BCDCDBFEPEDCBA求证：平面在折叠前的正方形ABCD中，做AE于E，过E作于F，求在折起后的图形中的正切值设计说明：对于折叠问题，关键是抓住图形折叠前后的不变量及重要的折叠条件空间直角坐标系及空间向量法一， 空间直角坐标系1、右手系：伸出右手，弯曲四指使得四指与掌面垂直，大拇指向上垂直翘起，四指的方向为x轴，手掌向里的方向为y轴，大拇指的方向为z轴，三轴的公共点为z轴2、卦限：数轴上原点把数轴分成正负半轴。在坐标平面上，x轴，y轴把平面分成四个象限，在空间三个坐标平面把空间分成八个卦限yzx注:建系时最好建成右手系，并且尽量把图形放在第一卦限，在坐标轴或坐标平面上的点越多越好，关于坐标平面对称的点越多越好一、 空间直角坐标系上点的坐
