《数字电子技术(第3版) 杨志忠 配套PPT2第_2_章_逻辑代数基础.》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数字电子技术(第3版) 杨志忠 配套PPT2第_2_章_逻辑代数基础.（96页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 2 章 逻辑代数基础,2.1 概 述,一、逻辑代数,逻辑代数中的 1 和 0 不表示数量大小， 仅表示两种相反的状态。,注意,例如：开关闭合为 1 晶体管导通为 1 电位高为 1 断开为 0 截止为 0 低为 0,2.2 逻辑代数中的常用运算,2.2.1 基本逻辑运算,一、与运算,决定某一事件的所有条件都具备时，该事件才发生。,逻辑表达式 Y = A B 或 Y = AB,与门 (AND gate),入有 0 出 0 入全 1 出 1,二、 或运算,决定某一事件的诸条件中，只要有一个或一个以上具备时，该事件就发生。,入有 1 出 1 入全 0 出 0,逻辑表达式 Y = A + B,或门
2、(OR gate),1,三、非运算,决定某一事件的条件满足时，事件不发生；反之事件发生。,开关闭合时灯灭， 开关断开时灯亮。,1,非门(NOT gate) 又称“反相器”,入 0 出 1 入 1 出 0,2.2.2 复合逻辑运算,由基本逻辑运算组合而成,入相异出1 入相同出0,入相同出 1 入相异出 0,注意：异或和同或互为反函数，即,逻辑符号对照,2.3 逻辑代数中的基本定律和常用公式,2.3.1 逻辑代数中的基本定律,普通代数没有！,推广公式：,2.3.1 逻辑代数中的基本定律,例 证明等式 A + BC = (A + B) (A + C)。,解：,真值表法,公式法,右式 = (A + B
3、) (A + C),用分配律展开,= AA,+ AC,+ BA,+ BC,= A + AC + AB + BC,= A (1 + C + B) + BC,= A 1 +BC,= A + BC,0,0,0,0,A + AB = A (1 + B) = A,2.3.2 逻辑代数中的常用公式,= A+B,2.3.2 逻辑代数中的常用公式,= AB(1+C),2.3.2 逻辑代数中的常用公式,公式含义：将异或运算求反便为同或 运算。同样，如将同或运算求反时，则为异或运算。,2.3.3 逻辑代数中的三个基本规则,一、 代入规则,代人规则的成立，其本质是逻辑变量的二值性。即无论在自变量的定义域还是函数的值
4、域都只能是 0 或 1 这两个值。因此，等式两边的同一个变量被另一个函数取代后，原等式仍然成立。利用代入规则能扩展基本定律的应用。,将逻辑等式两边的某一变量均用同一个逻辑函数替代，等式仍然成立。,A A A,解：,所以 左式=右式,这个例子证明了摩根定律的第一种推广式，用同样的方法可以证明摩根定律的第二种推广式。,变换时注意： (1) 不能改变原来的运算顺序，必要时用括号加以限定。 (2) 原变量变成反变量，反变量换成原变量只对单 个变量有效，而对长非号保持不变。,原运算次序为,二、反演规则,求逻辑函数的反函数有两种方法：利用反演规则或摩根定律均可。 对逻辑等式两边同时进行反演变换后，等式仍然
5、成立。 如 两边同时反演变换为 。,解：,由反演规则可得,Y 式的反函数也可利用摩根定律求得，这时需要对等式两边同时求反，再用摩根定律进行变换。,注意运算符号的先后顺序：先算括号内的，再算逻辑乘，最后算逻辑加。,解：,由反演规则可得,三、对偶规则,对任一个逻辑函数式 Y，将“”换成“+”，“+”换成“”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，则得到原逻 辑函数式的对偶式 Y 。,对偶规则：两个函数式相等，则它们的对偶式也相等。,1、应用对偶规则可将基本公式和定律扩展一倍。 2、可用于证明逻辑恒等式。如果两个逻辑函数的对偶式相等，则这两个逻辑函数也相等。,2.4 逻辑函数及其表示方法,例 图示为控
6、制楼道照明的开关电路。两个单刀双掷开关 A 和 B 分别安装在楼上和楼下。上楼之前，在楼下开灯，上楼后关灯；反之，下楼之前，在楼上开灯，下楼后关灯。试画出控制功能与之相同的逻辑电路。,(1) 分析逻辑问题，建立逻辑函数的真值表,解：,方法：找出输入变量和输出函数，对它们的取值作出逻辑规定，然后根据逻辑关系列出真值表。,设开关 A、B合向左侧时为 0 状态，合向右侧时为 1 状态；Y 表示灯，灯亮时为 1 状态，灯灭时为 0 状态。则可列出真值表为,一、逻辑函数的建立,2.4.1 逻辑函数的建立,(3) 画逻辑图,与或表达式(可用 2 个非门、 2 个与门和 1 个或门实现),异或非表达式(可用
7、 1 个异或门和 1 个非门实现),设计逻辑电路的基本原则是使电路最简。,(2) 根据真值表可知，这就是前面讲过的同或逻辑关系，写出逻辑式为：,若楼上开关左右两根线互换了，控制是否仍然有效？此时对应的是什么逻辑关系？,逻辑函数是用以描述数字逻辑系统输出与输入变量 之间逻辑关系的表达式。 常采用真值表、逻辑函数式、卡诺图和逻辑图等表示。,1. 真值表,描述逻辑函数输入变量的所有取值组合和对应输出逻辑函数值排列成的表格称为真值表。,2.4.1 逻辑函数的建立,二、逻辑函数的表示,0,0,4 个输入变量有 24 = 16 种取值组合。,(1)找出函数值为 1 的项。 (2)将这些项中输入变量取值为
8、1的用原变量代替， 取值为 0 的用反变量代替，则得到一系列与项。 (3)将这些与项相加即得逻辑式。,2. 逻辑函数式,用与、或、非等基本逻辑运算表示逻辑函数输入与输出之间的逻辑关系式称为逻辑函数式。逻辑函数式一般根据真值表、卡诺图或逻辑图写出。,3. 逻辑图,运算次序为先非后与再或，因此用三级门电路实现之。,由逻辑符号及相应连线构成的电路图。,. 波形图,例 已知输入变量为 A、B、C 和输出为 Y 的逻辑函数的真值表，试用波形图表示该逻辑函数。,将输入变量可能的取值组合和对应的输出值按时间顺序画出的波形称为逻辑函数的波形图。,. 卡诺图,真值表的另一种表示形式。,解：,根据真值表给出 A、
9、B、C 取值的顺序画出 A、B、C 的波形，并在时间上对应画出 Y 波形,在逻辑函数中，如果一个与项（乘积项）包含该逻辑函数的全部变量，且每个变量或以原变量或以反变量只出现一次，则该与项称为最小项。对于 n 个变量的逻辑函数共有 2n 个最小项。,1. 最小项的定义,一、最小项的定义和性质,2.4.2 逻辑函数的两种标准形式,2. 最小项的基本性质,(1) 对于变量的任一组取值，只有一个最小项的值为 1。,(2) 不同的最小项，使其值为 1 的那组变量取值也不同。,(3) 对于变量的同一组取值，任意两个最小项逻辑与的结 果为 0。,(4) 对于变量的同一组取值，全部最小项逻辑或的结果为 1。,
10、3. 最小项编号,最小项用 m 表示,通常用十进制数作为最小项的下标编号。编号方法是：将最小项中的原变量当作1，反变量当作 0 ，则得一组二进制数，其对应的十进制数便为最小项的编号。,例如,三变量逻辑函数的最小项有 23 = 8 个,将输入变量取值为 1 的代以原变量，取值为 0 的代以反变量，则得相应最小项。,4. 最小项表达式,标准与-或表达式,例 将逻辑函数 Y = AB + AC + BC 变换为最小项表达式。,解：,(2) 利用 A + A = A 的形式合并相同的最小项,= m3 + m5 + m6 + m7,= m ( 3,5,6,7 ),解：,(3) 利用 A + A = A
11、的形式合并相同的最小项,= m ( 4,5,8,12 ),(1) 利用摩根定律将逻辑函数式变换为与或表达式,在逻辑函数中，如果一个或项包含了该逻辑函数的全部变量，且每个变量或以原变量或以反变量只出现一次，则称该或项为最大项。对于 n 个变量的逻辑函数共有 2n 个最大项。,1. 最大项的定义,二、最大项的定义和性质,2. 最大项的基本性质,(1) 对于变量的任一组取值，只有一个最大项的值 为 0。,(2) 不同的最大项，使其值为 0 的那组变量取值也不同。,(3) 对于变量的同一组取值，任意两个最大项逻辑或的结 果为 1。,(4) 对于变量的同一组取值，全部最大项逻辑与的结果为 0。,3. 最
12、大项编号,最大项用 M 表示，通常用十进制数作最大项的下标编号。其编号方法正好和最小项相反。将最大项中的原变量当作 0，反变量当作 1 ，则得一组二进制数，其对应的十进制数便为最大项的编号。,例如,例如,4. 最大项和最小项的关系,(2) 对于同一个逻辑函数，其最小项表达式和最大项表达式的下标在下标集合中为互补关系，即没有出现在最小项表达式中的下标，一定是最大项表达式的下标，反之亦然。,例如 已知某逻辑函数最小项表达式为： 则它的最大项表达式就是：,解：,= M0 M2 M4 M5,= M ( 0,2,4,5 ),例 三变量逻辑函数的真值表如图所示。试写出它的最小项表达式和最大项表达式。,解：
13、,写最小项表达式,= m3 + m5 + m6 + m7,= m ( 3,5,6,7 ),将 Y=1 对应的最小项进行逻辑加,例 三变量逻辑函数的真值表如图所示。试写出它的最小项表达式和最大项表达式。,解：,写最大项表达式,(1) 将 Y=对应的最小项进行逻辑加,(2) 写最大项表达式,= M0 M1 M2 M4,= M ( 0,1,2,4 ),解：,变换为最大项表达式,(1) 将逻辑函数式变换为或与表达式,= M0 M2 M3 M4,= M ( 0,2,3,4 ),2.5 逻辑函数的公式化简法,2.5.1 逻辑函数的最简表达式,化简意义,使逻辑式最简，以便设计出最简的逻辑电路， 从而节省元器
14、件、优化生产工艺、降低成本和提 高系统可靠性。,不同形式的逻辑式有不同的最简式，一般先求取最简与-或式，然后通过变换得到所需最简式。,一、化简逻辑函数的意义,最简与 - 或式标准,(1)乘积项(即与项)的个数最少 (2)每个乘积项中的变量数最少,用与门个数最少 与门的输入端数最少,最简与非 - 与非式标准,(1)非号个数最少 (2)每个非号中的变量数最少,用与非门个数最少 与非门的输入端数最少,逻辑式有多种形式，采用何种形式视需要而定。各种形式间可以相互变换。,例如,与-或表达式,或-与表达式,与非-与非表达式,或非-或非表达式,与-或-非表达式,转换方法举例,二、逻辑函数的常见表达形式,2.
15、5.2 逻辑函数的公式化简法,运用逻辑代数的基本定律和公式对逻辑式进行化简。,并项法,运用 ， 将两项合并为一项，并消去一个变量。,例,例,吸收法,运用A+AB =A 和 ，消去多余的与项。,例,例,消去法,运用 ，消去多余因子。,例,例,配项法,例,例,综合灵活运用上述方法,例 化简逻辑函数,解：,应用,应用,应用,综合灵活运用上述方法,解：,例 化简逻辑函数,应用配项法,用摩根定律,应用,应用,例 化简逻辑函数,解：,(2) 利用分配律去掉括号,(1) 利用摩根定律进行变换,2.6 逻辑函数的卡诺图化简法,一、最小项卡诺图的组成,2.6.1 用卡诺图表示逻辑函数,两个相邻最小项相加可合并为一项， 消去互反变量，化简为相同变量相与。,1. 相邻最小项,两个最小项中只有一个变量互为反变量，其余变量均相同，称为相邻最小项，简称相邻项。,相邻最小项重要特点：,将 n 个变量的 2n 个最小项用 2n 个小方格表示， 并且使相邻最小项在几何位置上也相邻且循环相邻， 这样排列得到的方格图称为 n 变量最小项卡诺图， 简称为 n 变量卡诺图。,卡诺图是最小项按一定规则排列成的方格图。,2. 卡诺图的组成,000,001,m3,m1,m0,m4,0 1,三
