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1、统计决策,理学院应用数学系,数学建模专题讲座之三,决策是指为了实现特定的目标，根据客观的可能性，在占有一定信息和经验的基础上，借助一定的工具、技巧和方法，对影响未来目标实现的诸因素进行准确的计算和判断选优后，对未来行动做出的决定。,3.1 概述,例3.1 一位收藏家拟收购一件古物，这件古物标价为3000元。若这件古物是真品，则值6000元；若是赝品，则一文不值。此外，没有买下一件真品古物会损害这位收藏家的名誉，其收益情况可列表如下：,现在，这位收藏家需要决定是买还是不买这件古物？,例3.2 一位姑娘自己种花卖花，她每晚摘花第二天去卖，每束花成本为1元，售价可达5元。若当天卖不掉，因花枯萎而不能
2、再卖。据经验，她一天至少能卖5束鲜花，最多能卖10束鲜花。若将一天中卖出的花束数视作随机变量，且已知其分布为,现要研究她前一天晚上采摘几束鲜花为最优行为。,统计决策： 广义上说，是依据统计的原理、原则和方法进行的决策； 狭义地讲，是指将未来情况的发生视为随机事件，依据概率统计提供的理论和方法进行的决策。 统计决策提供了在未来情况具有不确定性时，处理问题的原理和方法。,决策问题的 三个基本要素,状态集,行动集 行动空间,决策目标,依统计决策论的观点，对决策有用的信息,先验信息,样本信息,决策问题的分类,无数据 （无样本信息） 决策问题,统计决策问题,贝叶斯 决策问题,统计决策的显著特点是： 统计
3、决策建立在统计分析和统计预测的基础 上，是一种定量决策 。 统计决策是在不确定情况下，应用概率来进行决策的计算和分析，是一种概率决策。,统计决策的分类,确定型决策,风险型决策,不确定型决策,3.2 风险型决策,具有明确的目标； 两个或两个以上的可能状态及不同可能状态出现的概率； 两个或两个以上的行动方案以及不同方案在不同可能状态下的损益值。,进行风险型决策一般应具备的条件：,3.2.1 最大可能性准则决策,在决策中选择概率最大的自然状态，将其它概率较小的自然状态予以忽略，然后比较各备选方案在这种概率最大的自然状态下的收益或损失值，选取收益最大或损失最小的方案作为行动方案。,例3.3 对例3.2
4、，按最大可能性准则方法，该姑娘前一天晚上应采摘几束鲜花？,解 写出收益矩阵，如下表所示,如果在一组自然状态中，某一自然状态出现的概率比其它自然状态显著地大，而益损值差别又不很大时，采用最大可能性准则的决策效果较好。,每天卖出8束花的概率最大，达到0.40，在这种状态下，最大收益值为32，32所对应的方案为每天采摘8束花，所以，该姑娘前一天晚上应采摘8束鲜花。,3.2.2 期望值准则决策,期望值准则决策，就是在考虑各种结果对决策带来综合影响的情况下，选择其中期望值最大的方案作为最优方案的一种决策方法。,期望值准则决策的步骤：,列出决策收益表； 以决策收益表为基础，根据各种自然状态的概率计算出不同
5、方案的期望损益值； 从期望损益值中选择最大的值所对应的方案作为最优方案。,期望损益计算公式为,例3.3 利用表3.3中的资料，按照期望值准则方法，求该姑娘应选择何种采摘方案？,表示第i种方案在第j种状态下的益损值。,解：由表3.3和期望值准则决策计算公式得,因此各种情况平均起来考虑，方案A4收益的期望值最高，故该方案为最优方案，即卖花姑娘前一天晚上应采摘8束鲜花。,例3.4 某邮局要求当天收寄的包裹当天处理完毕。根据以往统计记录，每天收寄包裹的情况见下表,已知每个邮局职员平均每小时处理4个包裹，每小时工资为5元。规定每人每天实际工作7小时。如加班工作，每小时工资额增加50%，但加班时间每人每天
6、不得超过5小时（加班时间以小时计，不足1小时的按1小时计算）。试确定该邮局最优雇佣工人的数量。,每人每天正常处理的包裹数为47=28（个），最多处理的包裹数量为4（7+5）=48（个）。而每天需要处理的包裹数最多为90个，故我们只考虑两个方案 （雇佣2个工人）和 （雇佣3个工人）。,分析：,表示收寄的包裹位于区间：,表3.4 决策损失表,每小时5元，每天7小时，2人 742=56 41,50,51,60 2人正常处理56个邮件，还需加班1小时,61,70 2人正常处理56个邮件，还剩14个，需加班4小时,表3.4 决策损失表,若雇佣两个工人，则邮局的平均支付工资为：,若雇佣三个工人，则邮局的平
7、均支付工资为：,若雇佣两个工人，则邮局的平均支付工资为：,若雇佣三个工人，则邮局的平均支付工资为：,根据期望值准则，故从邮局的角度来看，最优雇佣工人的数量为2。,因为,3.2.3 决策树法,决策树法是通过把决策过程用图解方式显示出来，从而使决策问题显得更为形象、直观，便于管理人员审度决策局面，分析决策过程。 决策树法不仅适用于单阶段决策问题，而且可以处理多阶段决策中用图表法无法表达的问题。,决策树的一般模型,（1）单阶段决策树法,单阶段决策树法可分为两个步骤： 从左到右的建树过程； 从右到左的计算过程。,例3.5 利用决策树法确定例3.4中邮局最优雇佣工人的数量。,例3.5 利用决策树法确定例
8、3.4中邮局最优雇用工人的数量。,决策,雇用2个工人,雇用3个工人,70,77.5,100,115,137.5,104.875,108,方案枝,图3.2 单阶段决策树图,（2）多阶段决策树法,有些问题的统计决策带有阶段性，选择某种行动方案会出现不同的状态，按照不同的状态，又需要作下一步行动方案的决策，以及更多的状态和决策，这些问题表现在决策树上为多个决策点，可以用多阶段决策树的方法进行决策。,例 3.6 某高新技术集团企业拟生产某种新产品，该企业有两个方案可供选择，方案一是建设大厂，需投资3200万元，建成后，若销路好，每年可得利润1200万元，若销路差，每年则亏损400万元；另一个方案是建设
9、小厂，需投资2000万元，如销路好，每年可得利润600万元，销路差，每年可得利润500万元。两个工厂的使用期限都是10年。根据市场预测，这种产品在今后10年内销路好的概率是0.7，销路差的概率为0.3，该集团企业计划先建小厂，试销3年，若销路好再投资1000万元，加以扩建。扩建后可使用7年，后7年中每年盈利增至970万元，应如何决策。,解：这个问题属于多级决策问题，可以分为前3年和后7年两个阶段考虑各种情况下的损益值，相应的决策树如图3.3所示。,大厂（12000.7-4000.3）10-3200 =（840-120）10-3200 =7200-3200=4000,（1）计算决策点2的期望值,比较点与点，可剪去点，留下点。即点代表决策点2的期望值。,状态点、的期望值为： ：1.09707-1000=5790(万元) ：1.0060074200(万元),（2）状态点的期望值计算,前3年建小厂销路好时的期望值为0.76003， 后7年扩建后的期望值为0.75790， 7年后若不扩建，销路差时的期望值为0.350010。,状态点的期望值： (0.76003+0.75790+0.350010)-20004813(万元),对比点与点的期望值可以知道，应采取的决策是先建小厂，试销3年后，如果销路好时再扩建。,小结,确定型决策 风险型决策 最大可能性准则 期望值准则 决策树法 不确定型决策,
