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1、第一章 解三角形,章末复习课,1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识. 2.能灵活、熟练运用正弦、余弦定理解三角形 3.能解决三角形与三角变换的综合问题及实际问题.,学习目标,题型探究,知识梳理,内容索引,当堂训练,知识梳理,知识点一 正弦定理及其推论,设ABC的外接圆半径为R，则 (1) _. (2)a_，b_，c_. (3)sin A_，sin B_，sin C_. (4)在ABC中，AB_.,2R,2Rsin C,2Rsin A,2Rsin B,ab,sin Asin B,知识点二 余弦定理及其推论,1.a2_，b2_，c2_. 2.cos A_；cos B_；cos
2、C_. 3.在ABC中，c2a2b2C为_；c2a2b2C为_；c2a2b2C为_.,b2c22bccos A,c2a22cacos B,a2b22abcos C,直角,钝角,锐角,知识点三 三角形面积公式,题型探究,例1 如图，在ABC中，ABAC2，BC2 ，点D在BC边上，ADC45，求AD的长度.,在ABC中，ABAC2，BC2 ，,解答,类型一 利用正弦、余弦定理解三角形,解三角形的一般方法： (1)已知两角和一边，如已知A、B和c，由ABC求C，由正弦定理求a、b. (2)已知两边和这两边的夹角，如已知a、b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用ABC
3、，求另一角. (3)已知两边和其中一边的对角，如已知a、b和A，应先用正弦定理求B，由ABC求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况. (4)已知三边a、b、c，可应用余弦定理求A、B、C.,反思与感悟,解答,(1)求sinBAD；,所以sinBADsin(ADCB) sinADCcos BcosADCsin B,(2)求BD，AC的长.,在ABC中，由余弦定理，得AC2AB2BC22ABBCcos B 8252285 49，所以AC7.,解答,类型二 三角变换与解三角形的综合问题,命题角度1 三角形形状的判断 例2 在ABC中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(
4、AB)，试判断ABC的形状.,解答,(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)， b2sin(AB)sin(AB)a2sin(AB)sin(AB)， 2b2sin Acos B2a2cos Asin B， 即a2cos Asin Bb2sin Acos B. 方法一 由正弦定理知a2Rsin A，b2Rsin B， sin2Acos Asin Bsin2Bsin Acos B， 又sin Asin B0，sin Acos Asin Bcos B，sin 2Asin 2B. 在ABC中，02A2，02B2， 2A2B或2A2B，,ABC为等腰三角形或直角三角形. 方法二 由正弦定理、余
5、弦定理，得,a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)， (a2b2)(a2b2c2)0，a2b20或a2b2c20. 即ab或a2b2c2. ABC为等腰三角形或直角三角形.,命题角度2 三角形边、角、面积的求解 例3 ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知abcos Ccsin B. (1)求B；,解答,由正弦定理a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C. 得2Rsin A2Rsin Bcos C2Rsin Csin B 即sin Asin Bcos Csin Csin B. 又A(BC)， sin(BC)sin(BC) sin Bcos Csin Csin B， 即
6、sin Bcos Ccos Bsin Csin Bcos Csin Csin B， cos Bsin Csin Csin B. sin C0，cos Bsin B且B为三角形内角，,(2)若b2，求ABC的面积的最大值.,解答,2(sin Acos Asin2A)sin 2A1cos 2A,反思与感悟,该类问题以三角形为载体，在已知条件中涉及了三角形的一些边角关系，由于正弦定理和余弦定理都是关于三角形的边角关系的等式，通过定理的运用能够实现边角互化，在边角互化时，经常用到三角函数中两角和与差的公式及倍角公式等.,解答,类型三 正弦、余弦定理在实际中的应用,例4 某气象仪器研究所按以下方案测试一
7、种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A、B、C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A、B两地相距100米，BAC60，在A地听到弹射声音的时间比在B地晚 秒.在A地测得该仪器弹至最高点H时的仰角为30，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音的传播速度为340米/秒),解答,由题意，设ACx， 则BCx 340x40. 在ABC中，由余弦定理，得 BC2BA2AC22BAACcosBAC， 即(x40)210 000x2100x，解得x420. 在RtACH中，AC420，CAH30， 所以CHACtanCAH140 . 所以该仪器的垂直弹射高度CH为140 米.,反思与感悟
8、,应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步： (1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等； (2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出； (3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦、余弦定理等有关知识正确求解； (4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案.,跟踪训练3 甲船在A处，乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向北偏西60方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？,解答,设甲、乙两船经
9、t小时后相距最近且分别到达P、Q两处，因乙船到达A处需2小时. 当0t2时，如图(1)， 在APQ中，AP8t，AQ2010t，,当t2时，PQ8216；,当t2时，如图(2)， 在APQ中，AP8t，AQ10t20，,当且仅当t 时，PQ最小. 所以甲、乙两船行驶 小时后，相距最近.,当堂训练,1.在ABC中，关于x的方程(1x2)sin A2xsin B(1x2)sin C0有两个不等的实根，则A为 A.锐角 B.直角 C.钝角 D.不存在,答案,解析,1,2,3,由方程可得(sin Asin C)x22xsin Bsin Asin C0. 方程有两个不等的实根， 4sin2 B4(sin
10、2 Asin2 C)0. 由正弦定理 ， 代入不等式中得 b2a2c20，再由余弦定理， 得2bccos Ab2c2a20. 0A90.,由余弦定理，得,1,2,3,答案,解析,3.如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A处测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15，向山顶前进100米后到达点B，又从点B测得斜度为45，建筑物的高CD为50米.求此山对于地平面的倾斜角的余弦值.,1,2,3,解答,在ABC中，BAC15，AB100米，ACB451530.,1,2,3,CBD45，CDB90，, 山对于地平面的倾斜角的余弦值为 1.,规律与方法,1.在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在ABC中，AB等价于ab等价于sin Asin B. 2.对所给条件进行变形，主要有两种途径： (1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换. 3.正弦定理是一个关于边角关系的连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用.运用余弦定理时，要注意整体思想的运用.,本课结束,
