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1、河北省石家庄2018届高三数学教学质量检测(二)试题 理一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合,则下列结论正确的是( )A.B.C.D.2.已知复数满足,若的虚部为,则复数在复平面内对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.在等比数列中,2,则( )A.28B.32C.64D.144.设且,则“”是“”的( )A.必要不充分条件B.充要条件C.既不充分也不必要条件D.充分不必要条件5.我国魏晋期间的伟大的数学家刘徽,是最早提出用逻辑推理的方式来论证数学命题的人,他创立了“割圆术”,得到了著名
2、的“徽率”,即圆周率精确到小数点后两位的近似值,如图就是利用“割圆术”的思想设计的一个程序框图,则输出的值为( )(参考数据:,)A.24B.36C.48D.126.若两个非零向量,满足,则向量与的夹角为( )A.B.C.D.7.在的展开式中,含项的系数为( )A.B.C.D.8.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的体积为( )A.B.C.8D.9.某学校A、B两个班的数学兴趣小组在一次数学对抗赛中的成绩绘制茎叶图如下,通过茎叶图比较两个班数学兴趣小组成绩的平均值及方差A班数学兴趣小组的平均成绩高于B班的平均成绩B班数学兴趣小组的平均成绩高于A
3、班的平均成绩A班数学兴趣小组成绩的标准差大于B班成绩的标准差B班数学兴趣小组成绩的标准差小于A班成绩的标准差其中正确结论的编号为( )A.B.C.D.10.已知函数的部分图象如图所示,已知点,若将它的图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,则函数的图象的一条对称轴方程为( )A.B.C.D.11.倾斜角为的直线经过椭圆右焦点,与椭圆交于、两点,且,则该椭圆的离心率为( )A.B.C.D.12.已知函数是定义在区间上的可导函数,满足且(为函数的导函数),若且,则下列不等式一定成立的是( )A.B.C.D. 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.用1,2,3,4,5组成无重复
4、数字的五位数,若用,分别表示五位数的万位、千位、百位、十位、个位,则出现特征的五位数的概率为_.14.设变量满足约束条件,则的最大值为_.15.已知数列的前项和,如果存在正整数,使得成立,则实数的取值范围是_.16.在内切圆圆心为的中,在平面内,过点作动直线,现将沿动直线翻折,使翻折后的点在平面上的射影落在直线上,点在直线上的射影为,则的最小值为_.三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知的内角的对边长分别为,且.(1)求角的大小;(2)设为边上的高,求的范围.18.随着网络的发展,网上购物越来越受到人们的喜爱,各大购物网站为增加收入,促销
5、策略越来越多样化,促销费用也不断增加,下表是某购物网站2017年1-8月促销费用(万元)和产品销量(万件)的具体数据:月份12345678促销费用2361013211518产品销量112354(1) 根据数据可知与具有线性相关关系,请建立关于的回归方程(系数精确到);(2) 已知6月份该购物网站为庆祝成立1周年,特制定奖励制度:以(单位:件)表示日销量,则每位员工每日奖励100元;,则每位员工每日奖励150元;,则每位员工每日奖励200元.现已知该网站6月份日销量服从正态分布,请你计算某位员工当月奖励金额总数大约多少元.(当月奖励金额总数精确到百分位).参考数据:,其中,分别为第个月的促销费用
6、和产品销量,.参考公式:(1) 对于一组数据,其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为,.(2) 若随机变量服从正态分布,则,.19.如图,三棱柱中,侧面为的菱形,.(1)证明:平面平面.(2)若,直线与平面所成的角为,求直线与平面所成角的正弦值.20.已知圆的圆心在抛物线上,圆过原点且与抛物线的准线相切.(1)求该抛物线的方程;(2)过抛物线焦点的直线交抛物线于两点,分别在点处作抛物线的两条切线交于点,求三角形面积的最小值及此时直线的方程.21.已知函数.(1)讨论函数的单调性;(2)若函数存在极大值,且极大值为1,证明:.22.在直角坐标系中,曲线的参数方程为(其中为参数),曲线.以原点
7、为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线、的极坐标方程;(2)射线与曲线、分别交于点(且均异于原点)当时,求的最小值.23.已知函数.(1)当时,求的解集;(2)若,当,且时,求实数的取值范围.答案一、选择题1-5BABCC 6-10DBAAD 11-12AC二、填空题13 14 315 16. 三、解答题17.解:(1)在ABC中(2)18(1)由题可知, 将数据代入得 所以关于的回归方程 (2)由题6月份日销量服从正态分布,则日销量在的概率为, 日销量在的概率为, 日销量的概率为, 所以每位员工当月的奖励金额总数为元. 19.证明:(1)连接交于,连接侧面为菱形, , 为的中点,
8、 又,平面平面 平面平面. (2)由, 平面,平面从而,两两互相垂直,以为坐标原点,的方向为轴正方向,建立如图所示空间直角坐标系直线与平面所成的角为,设,则,又,是边长为2的等边三角形 ,设是平面的法向量,则即令则 设直线与平面所成的角为则直线与平面所成角的正弦值为. 20.解:(1)由已知可得圆心,半径,焦点,准线因为圆C与抛物线F的准线相切,所以, 且圆C过焦点F,又因为圆C过原点,所以圆心C必在线段OF的垂直平分线上,即所以,即,抛物线F的方程为 (2)易得焦点,直线L的斜率必存在,设为k,即直线方程为设得, 对求导得,即直线AP的方程为,即,同理直线BP方程为设,联立AP与BP直线方程
9、解得,即 所以,点P到直线AB的距离 所以三角形PAB面积,当仅当时取等号综上:三角形PAB面积最小值为4,此时直线L的方程为. 21解:()由题意, 当时,函数在上单调递增; 当时,函数单调递增,故当时,当时,所以函数在上单调递减,函数在上单调递增; 当时,函数单调递减,故当时,当时,所以函数在上单调递增,函数在上单调递减()由()可知若函数存在极大值,则,且,解得, 故此时,要证,只须证,及证即可,设,令,所以函数单调递增,又,故在上存在唯一零点,即所以当, 当时,所以函数在上单调递减,函数在上单调递增,故,所以只须证即可,由,得,所以,又,所以只要即可,当时,所以与矛盾,故,得证(另证)
10、当时,所以与矛盾;当时,所以与矛盾;当时,得,故 成立,得,所以,即22.解:(1)曲线的普通方程为,的极坐标方程为的极坐标方程为(2)联立与的极坐标方程得,联立与的极坐标方程得,则= = (当且仅当时取等号).所以的最小值为23.解:当时,当时,无解;当时,的解为;当时,无解;综上所述,的解集为当时,所以可化为又的最大值必为、之一9分即即又所以所以取值范围为 答案一、选择题1-5BABCC 6-10DBAAD 11-12AC二、填空题13 14 315 16. 三、解答题17.解:(1)在ABC中6分 (2)18(1)由题可知, 1分将数据代入得3分 4分所以关于的回归方程 5分(说明:如果
11、,第一问总体得分扣1分)(2)由题6月份日销量服从正态分布,则日销量在的概率为, 日销量在的概率为, 日销量的概率为, 8分所以每位员工当月的奖励金额总数为.10分元. 12分19.证明:(1)连接交于,连接侧面为菱形, , 为的中点, 2分又,平面平面 平面平面.4分(2)由, 平面,平面6分从而,两两互相垂直,以为坐标原点,的方向为轴正方向,建立如图所示空间直角坐标系直线与平面所成的角为,设,则,又,是边长为2的等边三角形 ,8分设是平面的法向量,则即令则 10分设直线与平面所成的角为则直线与平面所成角的正弦值为. 12分20.解:(1)由已知可得圆心,半径,焦点,准线因为圆C与抛物线F的
12、准线相切,所以,2分且圆C过焦点F,又因为圆C过原点,所以圆心C必在线段OF的垂直平分线上,即4分所以,即,抛物线F的方程为 5分(2)易得焦点,直线L的斜率必存在,设为k,即直线方程为设得, 6分对求导得,即直线AP的方程为,即,同理直线BP方程为设,联立AP与BP直线方程解得,即 8分所以,点P到直线AB的距离 10分所以三角形PAB面积,当仅当时取等号综上:三角形PAB面积最小值为4,此时直线L的方程为. 12分21解:()由题意, 当时,函数在上单调递增;1分 当时,函数单调递增,故当时,当时,所以函数在上单调递减,函数在上单调递增; 3分 当时,函数单调递减,故当时,当时,所以函数在上单调递增,函数在上单调递减5分()由()可知若函数存在极大值,则,且,解得, 故此时,6分要证,只须证,及证即可,设,令,所以函数单调递增,又,故在上存在唯一零点,即