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1、第十五讲 平行四边形平行四边形是一类特殊的四边形，它的特殊性体现在边、角、对角线上，矩形、菱形是特殊的平行四边形，矩形的特殊性体现在有一个角是直角，菱形的特殊性体现在邻边相等，所以，它们既有平行四边形的性质，又有各自特殊的性质对角线是解决四边形问题的常用线段，对角线本身的特征又可以决定四边形的形状、大小，连对角线后，平行四边形就产生特殊三角形，因此解平行四边形相关问题时，既用到全等三角形法，特殊三角形性质，又要善于在乎行四边形的背景下探索问题，利用平行四边形丰富的性质为解题服务熟悉以下基本图形、基本结论：例题求解【例 1】 如图，在矩形 ABCD 中，已知 AD=12，AB=5，P 是 AD
2、边上任意一点，PEBD 于E，PF AC 于 F，那么 PE+PF 的值为 (全国初中数学联赛试题)思路点拨 分别求出 PE、PF 困难，AOD 为等腰三角形，若联想“到等腰三角形底边上任一点到两腰距离的和等于腰上的高”这一性质，则问题迎刃而解注 特殊与一般是对立统一的，在一定条件下可以互相转化，相对于一般而言，特殊的事物往往更简单、更直观、更具体因而人们常常通过特殊去认识一般；另一方面，一般概括了特殊，一般比特殊更为深刻地反映着事物的本质，所以人们也往往通过一般去了解特 殊一般与特殊，是知识之间联系的一种重要形式，知识常常在一般到特殊或特殊到一般的变化过程中，不斩地得到延伸与拓展 【例 2】
3、 已知四边形 ABCD，从下列条件中：(1)ABCD，(2)BCAD ；(3)AB=CD；（4）BC=AD；(5) A=C；(6) B=D任取其中两个，可以得出“四边形 ABCD 是平行四边形”这一结论的情况有（ ）A4 种 B9 种 C 13 种 D 15 种(山东省竞赛题)思路点拨 根据平行四边形的判定方法及新的组合方式判定【例 3】 如图，在ADC 中，DAC=90 ，ADBC ，DC、AF 分别是ABC、DAC 的平分线，BE 和 AD 交于 G，求证：GFAC(湖北省荆州市中考题)思路点拨 从角的角度证明困难，连结 CF，在四边形 AGFE 的背景下思考问题，证明四边形 AGFE为特
4、殊平行四边形，证题的关键是能分解出直角三角形中的基本图形【例 4】 如图，设 P 为等腰直角三角形 ACB 斜边 AB 上任意一点，PEAC 于点 E，PF BC 于点F，PG EF 于 G 点，延长 GP 并在其延长线上取一点 D，使得 PDPC ，求证：BCBD，且 BC=BD(全国初中数学联赛试题)思路点拨 尽管图形复杂，但证明目标明确，只需证明CPBDPB，应从图中分离出特殊三角形、特殊四边形，充分运用它们的性质为证题服务【例 5】 如图，在等腰三角形 ABC 中，延长边 AB 到点 D，延长边 CA 到点 E，连结 DE，恰有AD=BC=CE=DE求BAC 的度数(北京市竞赛题)思路
5、点拨 题设条件给出的是线段的等量关系，要求的却是角的度数，相等的线段可得到全等三角形、特殊三角形，为此需通过构造平行四边形改变它们的位置注 课本中平行四边形的判定定理是从边、角、对角线三个方面探讨的，一般情况是，从四边形边、角、对角线三类元素任意选取两类，任意组合就产生许多判定平行四边形的命题其中有真命题与假命题，对于假命题，要善于并熟悉构造反例构造反例是学习数学的一种重要技能，可以帮助我们理解概念培养推理能力，数学史上就曾有许多著名的论断被一个巧妙的反例推翻的实例若题设条件中有彼此平行的线段或造成平行的因素，则通过作平行线，构造平行四边形，这是解四边形问题的常用技巧，这是由于平行四边形能使角
6、的位置更理想，送线段到恰当的地方，使线段比良性传递学力训练1如图，BD 是平行四边形 ABCD 的对角线，点 E、F 在 BD 上，要使四边形 AECF 是平行 四边形，还需要增加的一个条件是 (填上你认为正确的一个即可，不必考虑所有可能情形)(宁波市中考题)2(1)如图，已知矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于 O，AE BD 于 E，若DAE：BAE3：1，则CAC ； (河南省中考题)(2)矩形的一个角的平分线分矩形一边为 lcm 和 3cm 两部分，则这个矩形的面积为 cm2 (武汉市中考题)3如图，以ABC 的三边为边在 BC 的同一侧分别作三个等边三角形，即ABD、BCE
7、 、ACF (1)四边形 ADEF 是 ；(2)当ABC 满足条件 时，四边形 ADEF 为矩形；(3)当ABC 满足条件 时，四边形 ADEF 不存在 (2000 年贵州省中考题)4已知一个三角形的一边长为 2，这边上的中线为 1，另两边之和为 1+ ，则这两边之积为 3 (2001 年天津市选拔赛试题 )5四边形的四条边长分别是 a、b、c、d，其中 a、c 为对边，且满足 ，则这个cdabdcba222四边形一定是( )A平行四边形 B两组对角分别相等的四边形C对角线互相垂直的四边形 D对角线相等的四边形6如图，周长为 68 的矩形 ABCD 被分成 7 个全等的矩形，则矩形 ABCD
8、的面积为( )A98 B196 C280 D 284(湖北省荆州市中考题)7如图，菱形花坛 ABCD 的边长为 6m，B 60，其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种花部分的图形的周长(粗线部分 )为( )A12 m B20m C 22m D24m3(吉林省中考题)8在凸四边形 ABCD 中，ABCD，且 AB+BC=CD+DA，则( )AADBC BAD”，“=”或“ACAB，按短文中的要求把它补成矩形，则符合要求的矩形可以画出 个，利用图 4 把它画出来；(4)在(3)中所画出的矩形中，哪一个的周长最小?为什么?(陕西省中考题)23如图，在ABC 中，C=90，点 M 在 BC 上，且 BMAC，N 在 AC 上，且 AN=MC，AM 与 BN相交于 P，求证：BPM=45(杭州市“求是杯”竞赛题 )24如图，在锐角ABC 中，AD、CZ 分别是 BC、AB 边上的高，AD、CE 相交于 F，BF 的中点为P，AC 的中点为 Q，连结 PQ、DE(1)求证；直线 PQ 是线段 DE 的垂直平分线；(2)如果ABC 是钝角三角形， BAC90，那么上述结论是否成立?请按钝角三角形改写原题，画出相应的图形，并给予必要的说明(“希望杯”邀请赛试题)
