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1、Vandermonde 矩阵及其变形矩阵的快速求逆格式 (修改稿)叶贻才(福建师大 数计学院)摘 要 导出在实算中颇具实用的关于 -阵及其变形矩阵的一种快速求逆格式，.算术运算量为 ，,算法格式紧凑、简便，V )(2nO并给出具体算例。关键词 -阵，变形矩阵，逆阵，反递推关系VVandermonde 矩阵（简称 -阵）以及它的变形矩阵是实际计算中一类结构特殊的著名的常见矩阵，关于 -阵求逆V问题的探讨，早为人们所关注。50 年代以来，有关这方面的研究文章相继出现（如文13等） 。如所知,矩阵求逆 ,按一般计算是很繁难的(尤其是高阶矩阵 )。本文借助于 V-阵与多项式之间的密切联系，直观地导出
2、V-阵的一种简易快速求逆算式。其运算量为 （这里记号 2M 和 A 分别代表一次乘（除）法和一次加（减）法） ，较通常求57(12An逆算法所需运算量 低了一个数量级。本文利用导出的 V 之逆阵 的分解阵及阵中各未知元的逐个推算,从而43)(O1求得 ,本算法无论用于人工手算(极具可操作性)或编程机算都很简便。1V1 算法的构成任取一组互异实数 ,可构造一个实系数首 1 多项式：nx,21(1) iijnjaxf 10)()( )(1na将 视为实变量 的函数，并记其偏导数为),1(ja ,21xn,).,(,sjxajs有(s=1,2, ). (2),)(10,1nsiinjjsxxan注意
3、到 有,1n (3)nliinjjls slxxa11 .),(.,0其中 s, =1,2, .l引入记号(4)nJ,212121nnnaa 11212211nnnxxV 及(4).(,)(,(21nn xxdiagD这里( =1,2, ),)()(1nijjixxin是 在 处的导数。可将（3）式写成njjxx1)()(innDVJ按已知算式 当 ( )时 阵皆可逆，且,)()det(0nijjxVij Vn,(5)nJ1下面给出如何计算矩阵 （它是一个转置的 Jacobi 矩阵）的各元素的途径。nJ对任取的一组互异实数 ， ， ，再构造一组相关多项式如下：1x2nx (1) ,)()(10
4、)(1ikkijji xxaf ),21,()1niai当 = 时即多项式（1） ，比较（1）两边系数,可得以下递推关系式:in( =2,3, ; = , -1,1). (6)ikiki xa)1()()(0s , inki注：(6)是韦达（Viete ）定理的递推形式.引理 1 ( =2,3, ; , -1,0)关于每个 ( =1,2, )是对称的(即交换任意两个 和 , )1ijanijsxnx值不变).)(ija证 因交换任意两个 和 ( ),其结果只是改变(1)中右边两乘积因子的顺序,积不变, 值也不变,得证.x )(1ija记 为由 , , ( ,1)递推算得的结果.于是,按引理 1
5、，递推式(6) 可改写成为：)1(nksa211,snx1,s,( =2,3, ,1) (7),(,1,)()1()( 1)(0siiksiksi sxai ,1;ikn( ,1). (7),a,)1()-(n1ks)(01skssknx,k引理 2 设 ( ,1)为由数组, , , ( ,1 )按递推式(7)nks, 21x1,snx1,s算得的值,则 阵可以写成:nJ(8)nJ .1)()()1(2)1( )1(2)(2)(211 Jaannn nnn 记 证 由递推关系(7),求 关于 的偏导数,有ksx ( ,1),)1(anksk 1,nks代入（4）的 阵,立得（8） 。证毕。nJ
6、定理 1 对任取的一组互异实数 , ,Vandermonde 矩阵的逆矩阵可以表示为21,xn的形式。即JDVnn)(11 1)(1,)(,1( )()1(2)1( )1(2)(2)(211211121 nnnnnnnnn aaxxdiagxx （9）其中 （ =1,2, ）,而 （ ,1; ,1）为先对整组nijji xx,1)()(in)1(nksa1,2,nk, ，从递推式（6） ，即21,n（ =2,3, ; ,1）. (6),0,)1()()( 1(ikiki xain1,ik求得 ，即 ( ,1).然后对数组 , , , ( ,1 )从以下反递推关系求出)(nkk,n,1x1,sn
7、x1,s数据：（ ,1; ,2）. (10),1)1()( snksnks xa,ns,k证 综合（4）、 （8）及（5）三式，就有（9）式成立。证毕。注：使用与定理 1 相同的条件和递推关系，可得求算 阵的变形矩阵的求逆算式诸如,V推论 1 ，即DJT1)(VDJxxTnnn112221 2 求逆算法的运算量(略)和算例例 给定数组2,3,-5,7,-10,求由它构成的 阵的逆阵 .V1解 形成 中各对角元:算出 .其中D)5,21()ix402)(75)(32)( 633)155 8)()(7)( 207(01201 形成 中各元:先按(6)算J)(1a532 )5()3(a 7)4(a
8、3)10(7)5( a6)(0)(11921903 899406)3(1 63)()4(2 27)5(21 40)(62110)5(1 a然后按(10)式算出 中各元(参见下式在 阵旁标出的箭头、数据，它们示意按（10）逐行推算各元的顺序、规则)。JJ最后得逆阵 的表示式：1V14443332221 )10(7)5(1 68-=diag, -95671420+63(-)7918+(-)03 08.53.014.129.0584. 22637 .5.12. 4766 038.19.08.40.50.计算结果与机算雷同,且易验证 V =I(单位矩阵)V参考文献1 Macon N,Spitzbart
9、 A.Inverses of Vandermonde matrices. Amer.Math.Monthly,1958(65):951002 Bjorck A,Pereyra V.Solution of Vandermonde systems of equations.Math.Comp.,1970(24):8939033 Pan V.On computations with dense structured matrices.Math.Comp.,1990(55):1791904游兆永，线性代数与多项式的快速算法。上海：上海科技出版社，1980。A Scheme of the fast al
10、gorithm for Finding the Inverses of VandermondeMartices and their Deformed MarticesYe Yicai(Department of Computer Science)Abstract Introduces a scheme of the fast algorithm for finding the inverses of Vandermonde matrices and their deformed matrices.The algorithm operand required is .The scheme is quite compact and handy.Moreover,a concerete example illustrating the )(2nOpresent algorithm procedure is given.Keywords V-matrices ,deformed matrices ,inverse matrices, inverse recursive relation.注:本文曾在福建师大学报(自然科学版),1997,13(2)上发表,(现以网登本修改稿为准)2014-04-08
