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1、第3章 中值定理与导数的应用内容概要名称主要内容（3.1、3.2）3.1 中值定理名称条件结论罗尔中值定理：（1）在上连续；（2）在内可导；（3）至少存在一点使得拉格朗日中值定理：（1）在上连续；（2）在内可导至少存在一点使得柯西中值定理、：（1）在上连续，在内可导；（2）在内每点处至少存在一点使得3.2 洛必达法则基本形式型与型未定式通分或取倒数化为基本形式1）型：常用通分的手段化为型或型；2）型：常用取倒数的手段化为型或型，即：或；取对数化为基本形式1）型：取对数得，其中或；2）型：取对数得，其中或；3）型：取对数得，其中或。课后习题全解习题3-11.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的
2、所有条件？如满足，请求出满足定理的数值。（1）； （2）。知识点：罗尔中值定理。思路：根据罗尔定理的条件和结论，求解方程，得到的根便为所求。解：（1）在上连续，在内可导，且，在上满足罗尔定理的条件。令得即为所求。 （2）在上连续，在内可导，且， 在上满足罗尔定理的条件。令，得即为所求。2.验证拉格朗日中值定理对函数在区间上的正确性。知识点：拉格朗日中值定理。思路：根据拉格朗日中值定理的条件和结论，求解方程，若得到的根则可验证定理的正确性。解：在连续，在内可导，在区间上满足拉格朗日中值定理的条件。又，要使，只要：，使，验证完毕。3.已知函数在区间上满足拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理的。解：
3、要使，只要，从而即为满足定理的。4.试证明对函数应用拉格朗日中值定理时所求得的点总是位于区间的正中间。证明：不妨设所讨论的区间为，则函数在上连续，在内可导，从而有，即，解得，结论成立。5.函数与在区间上是否满足柯西定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值。知识点：柯西中值定理。思路：根据柯西中值定理的条件和结论，求解方程，得到的根便为所求。解：及在上连续，在内可导，且在内的每一点处有，所以满足柯西中值定理的条件。要使，只要，解得， 即为满足定理的数值。6.设在上连续，在内可导，且。求证：存在，使。知识点：罗尔中值定理的应用。思路：从结论出发，变形为，构造辅助函数使其导函数为， 然后再利用罗
4、尔中值定理，便得结论。构造辅助函数也是利用中值定理解决问题时常用的方法。证明：构造辅助函数，根据题意在上连续，在内可导，且，从而由罗尔中值定理得：存在，使，即。注：辅助函数的构造方法一般可通过结论倒推，如：要使，只要 只要设辅助函数7.若函数在内具有二阶导函数，且，证明：在内至少有一点，使得。知识点：罗尔中值定理的应用。思路：连续两次使用罗尔中值定理。证明： 在内具有二阶导函数，在、内连续，在、内可导，又，由罗尔定理，至少有一点、，使得、；又在上连续，在内可导，从而由罗尔中值定理，至少有一点，使得。8.若4次方程有4个不同的实根，证明：的所有根皆为实根。知识点：罗尔中值定理的应用。思路：讨论方
5、程根的情况可考虑罗尔中值定理。证明：令则由题意，有4个不同的实数零点，分别设为，在、上连续，在、上可导，又，由罗尔中值定理，至少有一点、使得，即方程至少有3个实根，又三次方程最多有3个实根，从而结论成立。9.证明：方程只有一个正根。知识点：零点定理和罗尔定理的应用。思路：讨论某些方程根的唯一性，可利用反证法，结合零点定理和罗尔定理得出结论。零点定理往往用来讨论函数的零点情况；罗尔定理往往用来讨论导函数的零点情况。解：令，在上连续，且，由零点定理，至少有一点，使得；假设有两个正根，分别设为、（），则在在上连续，在内可导，且，从而由罗尔定理，至少有一点，使得，这不可能。方程只有一个正根。10.不用
6、求出函数的导数，说明方程有几个实根，并指出它们所在的区间。知识点：罗尔中值定理的应用。思路：讨论导函数的零点，可考虑利用罗尔中值定理。解： 在、上连续，在、内可导，且，由罗尔中值定理，至少有一点、，使得，即方程至少有三个实根，又方程为三次方程，至多有三个实根，有3个实根，分别为、。11.证明下列不等式：（1） ； （2） 当 时， ；（3） 设 ，证明； （4） 当时，。知识点：利用拉格朗日中值定理。思路：用拉格朗日中值定理证明不等式的过程：寻找函数，通过式子（或）证明的不等式。证明：（1）令， 在上连续，在内可导，由拉格朗日中值定理，得。（2）令，在上连续，在内可导，由拉格朗日中值定理，得
7、，从而当 时，。（3）令，在上连续，在内可导，由拉格朗日中值定理，得，即， 。（4）令，在上连续，在内可导，由拉格朗日中值定理，得，即当时，。12.证明等式：.知识点：（为常数）。思路：证明一个函数表达式恒等于一个常数，只要证证明：令，当时，有；当时，有，；成立。13.证明：若函数在内满足关系式，且，则。知识点：思路：因为 ，所以当设时，只要证即可证明：构造辅助函数，则；。14.设函数在上连续，在内有二阶导数，且有，试证在内至少存在一点，使。知识点：拉格朗日中值定理的应用。思路：关于导函数在一点处符号的判断，根据已知条件和拉格朗日中值定理的结论，逐层分析各层导函数改变量和自变量改变量的符号，得
8、出结论。证明： 在、上连续，在、内可导，由拉格朗日中值定理，至少有一点、，使得，；又在上连续，在内可导，从而至少有一点，使得。15.设在上可微，且试证明在内至少有两个零点。知识点：极限的保号性、介值定理、微分中值定理。思路：要证明在某个区间内导函数至少存在两个零点，只要证该函数在上有三个零点，即可以利用罗尔中值定理，得出结论。证明：，由极限的保号性知，（不妨设），对于，均有，特别地，使得，得；同理，由得（），使得，从而得；又在上连续，由介值定理知，至少有一点使得；在、上连续，在、内可导，且，由罗尔中值定理知，至少有一点、，使得，结论成立。16.设在闭区间上满足，试证明存在唯一的，使得。知识点：
9、微分中值定理或函数单调性的应用。思路：证明唯一性的题目或考虑利用反证法；或正面论述。此题用反证法和罗尔中值定理，或利用函数的单调性得出结论。证明：存在性。在上连续，在内可导，由拉格朗日中值定理知，至少有一点，使得。唯一性的证明如下：方法一：利用反证法。假设另外存在一点，使得，又在（或）上连续，在（或）内可导，由罗尔中值定理知，至少存在一点（或），使得，这与在闭区间上满足矛盾。从而结论成立。方法二：在闭区间上满足，在单调递增，从而存在存在唯一的，使得。结论成立。17.设函数在的某个邻域内具有阶导数，且试用柯西中值定理证明：。知识点：柯西中值定理。思路：对、在上连续使用次柯西中值定理便可得结论。证
10、明：、及其各阶导数在上连续，在上可导，且在每一点处，又，连续使用次柯西中值定理得，从而结论成立。习题3-21.用洛必达法则求下列极限：（1） ； （2） ； （3）； （4）；（5）； （6）； （7） ； （8）； （9） ； （10）； （11）； （12）；（13）； （14）； （15）； （16）；（17）； （18）； （19）； （20）。知识点：洛必达法则。思路：注意洛必达法则的适用范围。该法则解决的是未定型的极限问题，基本形式为：型与型未定式，对于这种形式可连续使用洛必达法则；对于型与型的未定式，可通过通分或者取倒数的形式化为基本形式；对于型、型与型的未定式，可通过取对数等手
11、段化为未定式；此外，还可以结合等价无穷小替换、两个重要的极限、换元等手段使问题简化。解： （1） ； （2） ；（3）；（4）；（5）；（6）；（7） ；（8）；（9） ；（或解为：）（10）；（或解为：当时，）（11）；（12）；（或解为：）（13）；（14）；（15）；（16）；（17）；（18）；（19）；（20）令，则 2.验证极限存在，但不能用洛必达法则求出。知识点：洛必达法则。思路：求导后极限如果不存在，不能说明原式极限不存在，只能说洛必达法则失效。洛必达法则不能解决所有的未定型极限问题。解： ，极限存在；若使用洛必达法则，得，而不存在，所以不能用洛必达法则求出。3.若有二阶导数，
12、证明。知识点：导数定义和洛必达法则。思路：使用洛必达法则，对极限中的函数上下求关于的导数，然后利用导数定义得结论。证明： ，结论成立。4.讨论函数在点处的连续性。知识点：函数在一点连续的概念。思路：讨论分段函数在分段点处的连续性，要利用函数在一点处左、右连续的概念。解：，在处右连续；又，在处左连续；从而可知，在点处连续。5.设在处二阶可导，且。试确定的值使在处可导，并求，其中 。知识点：连续和可导的关系、洛必达法则。思路：讨论分段函数在分段点处的连续性、可导性，一般考虑利用定义。解：要使在处可导，则必有在处连续，又在处，；由导数定义，。内容概要名称 主要内容（3.3）3.3 泰勒公式泰勒中值定
13、理：如果在含有的某个开区间内具有阶的导数，则对任一，有，此公式称为阶泰勒公式；其中（介于于之间），称为拉格朗日型余项；或，称为皮亚诺型余项。阶麦克劳林公式：其中（）或。常用的初等函数的麦克劳林公式：1）2）3）4）5）6）习题3-31.按的幂展开多项式。知识点：泰勒公式。思路：直接展开法。求按的幂展开的阶泰勒公式，则依次求直到阶的导数在处的值，然后带代入公式即可。解：，；，；，；将以上结果代入泰勒公式，得。2.求函数按的幂展开的带有拉格朗日型余项的三阶泰勒公式。知识点：泰勒公式。思路：同1。解：，；，；，；将以上结果代入泰勒公式，得，（介于与4之间）。3.把在点展开到含项，并求。知识点：麦克劳林公式。思路：间接展开法。为有理分式时通常利用已知的结论。解：；又由泰勒公式知前的系数，从而。4.求函数按的幂展开的带有皮亚诺型余项的阶泰勒公式。知识点：泰勒公式。思路：直接展开法，解法同1；或者间接展开法，为对数函数时，通常利用已知的结论。方法一：（直接展开），；，；，；，；将以上结果代入泰勒公式，得。方法二：。5.求函数按的幂展开的带有拉格朗日型余项的阶泰勒公式。知识点：泰勒公式。思路：直接展开法，解法同1；或者间接展开法
