第十四章矩阵位移法

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1、第十四章 矩 阵 位 移 法,学习内容 有限单元法的基本概念，结构离散化。 平面杆系结构的单元分析：局部坐标系下的单元刚度矩阵和整体坐标系下的单元刚度矩阵。 平面杆系结构的整体分析：结构整体刚度矩阵和结构整体刚度方程。 边界条件的处理，单元内力计算。 利用对称性简化位移法计算。 矩阵位移法的计算步骤和应用举例。,学习目的和要求 矩阵位移法是以计算机为计算工具的现代化结构分析方法。基于该法的结构分析程序在结构设计中得到了广泛的应用。因此，以计算机进行结构分析是本章的学习目的。 矩阵位移法是以位移法为理论基础，以矩阵为表现形式，以计算机为为运算工具的综合分析方法。引入矩阵运算的目的是式计算过程程序

2、化，便于计算机自动化处理尽管矩阵位移法运算模式呆板，过程繁杂，但这些正是计算机所需要的和十分容易解决的。矩阵位移法的特点是用“机算”代替“手算”。因此，学习本章是既要了解它与位移法的共同点，更要了解它的一些新手法和新思想。 本章的基本要求： 矩阵位移法包含两个基本环节：单元分析和整体分析。 在单元分析中，熟练掌握单元刚度矩阵和单元等效荷载的概念和形成。熟练掌握已知结点位移求单元杆端力的计算方法。 在整体分析中，熟练掌握结构整体刚度矩阵元素的物理意义和集成过程，熟练掌握结构综合结点荷载的集成过程。掌握单元定位向量的建立，支撑条件的处理。 自由式单元的单元刚度矩阵要求背记，但要领会其物理意义，并会

3、有它推出特殊单元的单元刚度矩阵。,14.1 概 述,矩阵位移法以传统的结构力学作为理论基础，以矩阵作为数学表达形式，以电子计算机作为计算手段，一种三位一体的方法。采用矩阵进行运算，不仅公式紧凑，而且形式统一，便于使计算过程规格化和程序化。这些正是适应了电子计算机进行自动化计算的要求。,1、矩阵位移法的基本思路 先将结构离散成有限个单元，按照单元的力学性质，建立单元刚度方程，形成单元刚度矩阵；然后在满足变形条件和平衡条件的前提下，将这些单元集合成整体，即由单元刚度矩阵集成整体刚度矩阵，建立结构的位移法基本方程，进而求出结构的位移和内力。这样，在一撤一搭的过程中就使一个复杂结构的计算问题转化为有限

4、个简单单元的分析与集成问题。 因此，矩阵位移法基本环节是：结构的离散化、单元分析和整体分析。,2、单元划分 在杆件结构矩阵分析中，一般是把杆件的转转折点、汇交点、边界点、突变点或集中荷载作用点等列为结点，结点之间的杆件部分作为单元。如图1（a）所示。为了减少基本未知量的数目，跨间集中荷载作用点可不作为结点，但要计算跨间荷载的等效结点荷载；跨间结点也可不作为结点（如图1（b）所示），但要推到相应的单元刚度矩阵，编程序麻烦。,12.2单元分析一,局部坐标系下的单元分析 单元分析的目的是建立单元刚度方程，形成单元刚度矩阵。,1、坐标系的选择: 在矩阵位移法中采用两种坐标系：局部坐标系和整体坐标系。

5、采用局部坐标系（以杆的轴线作为 轴如图2），单元刚度矩阵可 直接由虎克定律、转角位移方程得到。,2、局部坐标系中的单元刚度矩阵 在局部坐标系中，杆端力及杆端位移的正方向如图2所示。单元刚度方程可表示为：,其中单元的杆端力列阵和杆端位移列阵为：,单元刚度方程,由虎克定律：,由转角位移方程，并考虑：,写成矩阵表达式为：,=,单元刚度方程,单元刚 度矩阵,3、单元刚度矩阵的特性 单元刚度系数的意义 单刚中的每个元素称为单元刚度系数，代表由于单位杆端位移引起的杆端力。如第i行第j列元素代表当第j个杆端位移分量=1（其它位移分量为零）时引起的第i个杆端力分量的值。 单刚中第j列元素代表当第j个杆端位移分

6、量=1（其它位移分量为零）时引起的六个杆端力分量的值。,由图4可见， 产生的单元变形及单元的杆端力与 产生的单元变形及单元的杆端力相同。,由此得到：单元刚度矩阵的第二列元素变符号即第五列元素，第一列元素变符号即第四列元素。第三列元素不变符号即第六列元素，但要注意 , 。由于单元刚度矩阵是对称矩阵，所以，各行元素之间也具有类似的关系。 由反力互等定理可知， 单元刚度矩阵是对称矩阵。 一般单元的单元刚度矩阵是奇异矩阵，不存在逆阵。因此上，由单元刚度方程，如已知杆端位移可求出杆端力，且是唯一解。但如已知杆端力，则求不出杆端位移，杆端位移可能无解，可能无唯一解。,可按杆端将单元刚度方程写成分块形式：,

7、4、特殊单元的单元刚度矩阵 一般单元的六个杆端位移分量可以指定为任意值。特殊单元的某个或某些杆端位移已知为零。特殊单元的单元刚度矩阵，可由一般单元的刚度矩阵中划去与零位移对应的行和列得到。 忽略轴向变形时梁单元在局部坐标系中的单元刚度矩阵。,连续梁单元的单元刚度矩阵。,桁架单元在局部坐标系中的单元刚度矩阵。,14.3 单元分析二,整体坐标系下的单元分析,单元坐标转换矩阵,局部坐标系 中的杆端力,整体坐标系 中的杆端力,写成矩阵表达式：,单元坐标转换矩阵T是一正交矩阵。,同理：,（a）,（b）,3、整体坐标系中的单元刚度矩阵的特性 整体坐标系中的单元刚度矩阵与局部坐标系中的单元刚度矩阵有类似的特

8、性。另外还有，局部坐标系中的单元刚度矩阵 ，只与单元的几何形状、物理常数有关，而与单元的位置和方位无关。整体坐标系中的单元刚度矩阵 ，与单元的几何形状、物理常数及单元的方位有关。,例题 1,建立单元刚度矩阵,例14-1 求图示刚架中各单元在整体 标系中的单元刚度矩阵。设各杆的几何 尺寸相同。l=5m，A=0.5m2, I=1/24m4 E=3107kN/m2,解 (1)求,104,（2）求,104,返回,14.4连续梁整体分析,整体分析的目的是建立整体刚度方程，导出整体刚度矩阵。具体作法有两种：一种是传统位移法，另一种是单元集成法（即刚度集成法或直接刚度法）。下面以连续梁为例，用传统位移法建立

9、整体刚度方程，进而总结出单元集成法。,整体刚度方程是整体结构的结点力与结点位移之间的关系式，是通过考虑结构的变形连续条件和平衡条件建立起来的。无论何种结构，其整体刚度方程都具有统一的形式：,K是整体刚度矩阵，结构的结点位移列向量，F结构的结点力列向量。,2、整体刚度矩阵的性质 K中的元素Kij称为整体刚度系数，它表示当第j个结点位移分量j=1（其他结点位移分量为零）时所产生的第i个结点力Fi。 K是对称矩阵，是稀疏带状矩阵。 引入支承条件之前是奇异矩阵，引入支承条件之后是非奇异矩阵，存在逆阵。,3、整体刚度矩阵的集成 由变形连续条件知，结点发生单位位移，交与该结点的各单元的杆端也发生单位位移；

10、由刚度系数的物理意义知，单位杆端位移产生的杆端力是单元刚度矩阵中的元素，单位结点位移产生的结点力是整体刚度矩阵中的元素；由平衡条件知交与某结点的各单元杆端力之和等于该结点的相应结点力。故整体刚度矩阵中的元素是由对应的单元刚度矩阵中的元素叠加而成。 综上所述，直接刚度法是根据单元的结点位移分量的局部码和总码之间的对应关系，由单元刚度矩阵集成结构整体刚度矩阵。,4、单元定位向量 集成整体刚度矩阵的关键，是确 定单元刚度矩阵中的元素在整体刚度矩阵中的位置。这首先要知道单元的结点位移分量的局部码和总码之间的对应关系，即单元定位向量。它是单元结点位移总码按局部码顺序排列而成的向量记为。,下图所示连续梁各

11、单元的这种对应关系及各单元定位向量如下表。,其次，要注意在单元刚度矩阵中，元素按局部码排列，在整体刚度矩阵中，元素按总码排列。所以单元刚度矩阵中的元素在整体刚度矩阵中的定位原则是：将各单元的单刚的行列局部码（i）、（j）换成对应的结点位移总码i、 j，按此行列总码 将单刚元素送入总刚。即,直接刚度法的实施过程如下： 将K置零。 将单元定位向量 写在单元刚度矩阵 的上方和右侧，确定出单元刚度矩阵中的各元素在整体刚度矩阵K中的位置并累加到K。 对所有单元循环一遍，最后得到整体刚度矩阵K。,例题 2,建立连续梁刚度矩阵,试求图示连续梁的整体刚度矩阵K。,1,2,3,0,解：1）编码凡给定 为零的结点

12、位移分 量,其总码均编为零。,2）单元定位向量,3）求单刚并集成总刚,(1) (2), ,1 2,4i1 2i1,2i1 4i1,(1) (2), ,2 3,+ 4i2 2i2,2i2 4i2,(1) (2), ,3 0,+ 4i3,1 2 3,1 2 3,0,0,在给节点位移编码时已经考虑了支承条件。(先处理法),返回,14.5 刚架整体分析,1、刚架整体分析的特点 刚架的整体分析与连续梁相比，基本思路相同，但情况复杂一些，主要表现在： 1）刚架中每个结点位移分量增加到三个：角位移和两个方向的线位移。(一般情况下要考虑刚架各杆的轴向变形）； 2）各杆方向不尽相同，在整体分析中采用整体坐标系，

13、故要进行坐标变换； 3）刚架中除了刚结点，还要考虑铰结点等其它情况。,2、单元定位向量 1）结点位移分量的统一编码总码 平面刚架中的一个结点可能有一个、两个或三个结点位移，在进行结点位移分量编码时，应考虑每个结点的位移情况，对结构的所有结点位移分量进行统一编码。对每个结点的三个位移分量，按照先x轴方向，再y轴方向后转动放顺序依次编码，编完一个结点再编下一个结点。对于已知为零的结点位移分量，其总码均编为0。如图10(a)结构的结点位移分量的统一编码如图中所示。,2）单元定位向量 图10(a)所示各杆轴上的箭头表示各单元局部坐标系的 轴的正方向，单元在始末两端的六个位移分量的局部码(1)、(2)、

14、(6)也是按着先x轴方向，再y轴方向后转动放顺序依次编码的，如图10(b)所示。,单元定位向梁仍然是由单元结点位移总码按局部码顺序排列而成的向量。各单元结点位移分量局部马和总码之间的对应关系及单元定位向量如下表。,3、单元集成过程：与连续梁整体刚度矩阵集成过程相同。 将K置零。 将单元定位向量 写在单元刚度矩阵 的上方和右侧，确定出单元刚度矩 阵中的各元素在整体刚度矩阵K中的位置并累加到K。 对所有单元循环一遍，最后得到整体刚度矩阵K。,例题 3,建立刚架刚度矩阵,1、结点位移分量的统一编码总码,结点位移列阵:=1 2 3 4T =uA vA A CT,结点力列阵:F=F1 F2 F3 F4T

15、,2、单元定位向量,1 2 3 0 0 4T,1 2 3 0 0 0T,集成图示结构的整体刚度矩阵,3、单元集成过程,1 2 3 0 0 4,300,0,0,0,0,12,30,100,0,30,100,50,0,30,50,30,104,1 2 3 0 0 0,+12,+0,30,+0,+300,+0,30,+0,+100,已知单刚,返回,4、铰结点的处理 给结点位移分量进行统一编码时，考虑铰结点的特点。图11所示结构在铰结点处的两杆端结点应看作半独立的两个结点（C1和 C2）它们的线位移相同，编成同码，角位移不同，编成异码。,例题 4,带铰结点刚架刚度矩阵,1）结点位移分量的统一编码 铰结点处的两杆端结点应看 作半独立的两个结点（C1和 C2），它们的线位移相同， 采用同码，角位移不同，采 用异码。,集成图示刚架的整体刚度矩阵,2）单元定位向量：,1 2 3 4 5 6T,1 2 3 0 0 0T,4 5 7 0 0 0T,3）按次序进行单元集成：,C2,1 2 3 4 5 6,1