自旋波理论教材

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1、第五章 自旋波理论,5.1 自旋波物理图像 5.2 自旋波的半经典理论 5.3 自旋波的量子力学处理 5.4 铁磁体在低温下的热力学性质 5.5 H-P自旋波理论与自旋波相互作用 5.6 反铁磁体和亚铁磁体中的自旋波 5.7 磁偶极作用下的自旋波色散谱 5.8 体非均匀体系中的自旋波,第三章 自旋波理论 自旋波作为固体中一种重要的元激发（如格波-晶格 振动），是由局域自旋之间存在交换作用而引起。自旋波 理论从体3.1系整体激发的概念出发，很好的解释了自发 磁化在低温下的行为。在低温下，体系能量处于较低的激 发态，自旋波数较少，自旋波相互作用可以忽略，每一个 自旋波可以看作是相互独立的，系统能量

2、等于各个自旋波 能量简单求和。在这种近似下，得到铁磁体自发磁化强度 遵守T3/2定律，与实验符合很好。,5.1 自旋波物理图像 设：N个格点组成自旋体系，每个格点自旋S=1/2，只 考虑最近邻格点之间的交换作用，并认为相邻自 旋间的交换作用均相同（A0） 体系Hamilton: 当T=0K时，自旋体系呈现完全有序。总磁矩M0=NSgB此 时总能量最低，处于基态。 T0K，体系中有一个自旋发生翻转（偏差），则由于相邻 格点间的交换作用，一方面翻转了的自旋将牵动近 邻格点自旋，使它们趋于翻转；另一方面，近邻格,点的自旋又力图使翻转了的自旋重新翻转回来。从 而导致自旋翻转（偏差）不会停留在一个格点上

3、， 而是要一个传一个，以波的形式传播，直至弥散整 个晶体，这种自旋翻转（偏离）在晶体中的传播称 为自旋波。 与晶格振动的格波类似： a.同属晶体元激发 b.所有格点都是等价的，每个格点自旋翻转概率相同 （1/N） c.可以表述为 波矢 的方向表征了 波传播的方向。其大小与波长有关，K=2/,其取值不是任意的，它取决于体系的边界条件，k 可能的取值数目也不是任意的，它等于体系的总自 由度。 c.自旋波的能量 动量 （由于自旋波自旋只 是原地翻转故又称准动量） e.描述波性质的关系仍是色散关系，即频率w和波矢 的关系 有关一维链自旋波的图形见书P252,5.2自旋波的半经典理论 自旋S在磁场H中的

4、Hamilton为： 如 轴，即 则 无阻尼时自旋在磁场H作用下的运动方程为： 考虑一简单的一维无穷链，每个格点有相同的自旋 ,相 邻格点之间存在交换作用（A0），则第n个格点交换作用,Hamilton:,比较（2）、（4）两式 相邻格点自旋的交换作用用等效场Heff替代 （5）代入（3）：,n,SZ,Sn,Z,x,y,即 将围绕交换作用等效场 进动 令 ，进动中 方向随 时间而变化， 不随时间变化。 如振幅很小，即 时，略去二次以上项得线性 方程： 如令 则写成标量方程：,n可取所有整数值，其解应当具有形式,a为相邻格点的间距，(9)代入(8)中 一维铁磁链的自旋波色散关系简单,如共有N个格

5、点，则可以有N个k 的取值，即可以有N个波长不同 的自旋波存在。K的取值决定于 边界条件，在周期性边界条件下,w,-,ka,当k0（长波极限），则 考虑德布罗意关系：,如 a10-10米，A500K, Sz=1/2，则 大约比电子质量大2个数量级。,5.3自旋波的量子力学处理 方法：用交换作用Hamilton量，求解薛定谔方程本征 解，从而得出自旋波色散关系。 设自旋增加算符S+=Sx+iSy，自旋减少算符S-=Sx-iSy 体系交换作用Hamilton:,如只考虑最近邻交换作用，则 Z为最近邻数，N为体系中的格点数 一、基态：设A0，自旋向上的本征态计为 自旋向上的本征态计为 则0K时所有自

6、旋应平行排列，系统状态可表示为：,共NZ/2项,由于不存在翻转的自旋，所以有,所以|0是 的本征态，其能量本征值为： 二、局域在一个格点上的自旋翻转态 设在第l格点上有一个自旋翻转，则体系状态为：,三.第一激发态的本征解 为求Hamiltion量的本征解，可将态 作付里叶展开：令 （相应反变换 ） 将（16）代入（15）则得 即状态 是Hamiltion的本征态。令 则状态 相应的能量本征值为,由此得到三个重要结论： 1.能量本征态 表征了体系一个确定的状态。在这个态 中，每个格点自旋翻转的概率都相等（1/N），即自旋 翻转不是局域在一个格点上，而是以相同的概率弥散在 晶体的每一个格点上。 2

7、.在状态 中，不同格点自旋翻转态相差一个相位因 子，相邻格点相位差因子均为 （a：相邻格点间 距）。因此，态 显示了波动的特征，它表征了波矢 为K的一个自旋波。 3.与基态相比，一个自旋波带系的能量增量为：,它表征了波矢为k的自旋波能量的最小单位，一个自旋波 相当于体系中总有一个自旋翻转。而上式表明：同为一个 自旋翻转，由于自旋波波矢不同，则体系能量不同。因 此，（19）式也反应了自旋波的色散关系,并且很显然。 体系中允许两个以上自旋波具有相同的波矢k,因此，自旋 波不服从费米统计。,四.近独立近似下的自旋波总能量 如果体系中存在许多相互独立的自旋波，则体系自旋 波总能量等于所有自旋波能量简单

8、的叠加。 波矢为k的自旋波个数 五.近饱和近似下自旋波的波色性 自旋波不服从费米统计，也不符合波色（Bose)统计 （因为N总是有限的，自旋能够翻转的总数n不能超过NS) 当体系的温度远低于居里点时，体系中的自旋基本上是有 序的 这时可以近似地把自旋波看作波色子。,当铁磁物质在T0.5 时，相对自发磁化强度 即 因此，当T0.5 时，自旋波地波色性能够很好地满足。,5.4 铁磁体在低温下的热力学性质 一.自发磁化强度的 定律 N个格点组成自旋体系，体积V，温度T时体系自旋翻转总数的统计平均值，则 自发磁化强度表示为 或 为计算 作如下简化： a.格点数十分巨大（N ),因此k的取值可看作连续，

9、 从而求和变为积分。,b.温度不高时，高能态波几乎不能被激发。 一维情况下， K的间距 令 则 这个积分是发散的，同样二维情况下的积分也是发散 的，因此，一维晶体和二维晶体均不可能具有铁磁性。 在三维情况下：,对立方晶体，结果得： 其中：f为结构子数。简单立方f=1 体心立方f=2 面心立方f=4 代入（20）式： 其中子数a与材料性质和结构有关。 对于立方晶体：,二.铁磁体在低温下的比热 体系自旋波对内能的贡献为： 对三维体系： (其中 ) 其中 低温下自旋波对定容比热的贡献：,低温下铁磁体的定容比热同样遵从 定律。 三.对长波近似的修正 其中,5.5 H-P自旋波理论与自旋波相互作用 Ho

10、lstein和Primakoff采用粒子数表象，用二次量子 化方法处理了自旋波理论，可以方便地讨论自旋波之间的 相互作用和自选波与其它（准）粒子的相互散射。 其基本要点是： 考虑N个格点的自旋体系，每个格点自旋为S，引入 自旋偏差算符 以及自旋偏差产生算符 和湮灭 算符a,在此基础上，写出存在外加磁场H时在自旋偏差算 符表象中的Hamilton量： 同样，在自选波算符表象中的Hamilton量：,:自旋波粒子数算符） 其中： ( 是波矢为K的自旋波产生算符 是波矢为K的自旋波湮灭算符) 随着温度的升高，自选波数目增加，由于相互碰撞而使散 射的机会增多，因而必须记入自选波的相互作用。计算时 应多

11、考虑几项。写出这种情况下的Hamilton量，利用付 里叶变换，得到,其中 为一级散射哈密顿量,表征了这样得散射：波矢分别为 k和 的一对自旋波经过碰撞而交换能量和动量，变为波 矢分别为 和 的一对自旋波。,为二级散射哈密顿量。在这一过程中有三个自旋波 同时相互作用，它们同样满足能量和动量守恒。如果记 入更多项，则它包含更高级的散射。 在此基础上，求得简单立方晶格： 即在考虑了自旋波相互作用后增加了一个 项，其 系数,London和Keffex用另一方法同样推得： 其中 （简单立方） 两者非常吻合。,5.6 反铁磁体和亚铁磁体中的自旋波 考虑两个子格子的体系，用 和 分别表示两个子格子中 一个

12、格点的自旋。对于反铁磁性和亚铁磁性，交换积分A0，两个次格子自旋趋向于反平行排列。 一.反铁磁体情况有 ，引入虚拟唯象场 ，则体系 Hamilton量为： 考虑最近邻交换作用，引入自旋波自旋翻转（偏离）产生和湮灭 算符，并进行付里叶变换，则 其中,再引入新算符并进行变换，则得： 求得 其中 反铁磁体自旋波色散关系 一般地，取 则 对于立方晶体 则 说明：与书 （铁磁性）相比，可见在长 波近似下：, 反铁磁体中自旋波地能量与波矢k成正比，而铁磁体中 则与波矢k地平方成正比 在铁磁体中，k-0时，第一激发态能量 ，k0, (基态能量） 对于反铁磁体，k=0时， ，则（31）式得 即第一激发态与基态

13、之间存在能量间隙 由此可以得到，低温下反铁磁体的比热，热导率均正 比于 ，当温度进一步降低时，由于能量间隙的存在， 这些力量于温度的依赖关系将呈指数形式（自旋（电子) 跃过能量间隙的数目于能量呈指数关系）,二.亚铁磁体情况 上述方法同样适用于亚铁磁性，书上采用了另一种半 经典方法得到在长波极限下亚铁磁体的色散关系： 说明：自旋波分为两支，第一支能量较低，与两套格子 自旋的整体运动有关，称为声频支；第二支能量 较高，与两套格子自旋相对运动有关，称为光频 支。当k=0时， 分别为0和 如下图：, 在长波极限下存在 的关系，这一点与铁磁体一 致。同样，亚铁磁体在低温下饱和磁化强度与T的关 系： 如Y

14、IG，直到0.9 时，上式均能很好符合。其中,5.7 磁偶极作用下的自旋波色散谱 每个自旋都是一个磁偶极子，因此自旋间还存在磁偶极相互作 用。在磁性介质中，磁偶极作用与交换作用相比要小得多，通常可 以忽略，但在自旋波长波领域里，交换作用随k的减少而迅速趋于 零，此时就必须考虑磁偶极作用了。相对于磁化方向而言，不同方 向的磁偶极作用也不同，这将导致自旋波色散关系随方向而变化。 在记入外场，交换作用，磁偶极作用之后，铁磁体Hamilton 量可以表述为： 第三项即为磁偶极作用项,这是一种长程作用.其中,同样引入自旋偏差算符并进行二次量子化处理(表象转 换),求得: 其中 :Z方向退磁因子 : 与z

15、轴夹角 其中 考虑磁偶极作用后得自旋波色散关系 如 k较小时,有近似关系:,称为自旋波劲度系数 这一关系适于 的区域. L:晶体线度 如果k太小(如 ),则当自旋波波长大于晶体线度L时, 传播因素和交换作用均可以忽略,出现静磁模.,静模量,自旋波,5.8体非均匀体系中的自旋波 体非均匀可能来自各种因素,即来自材料成分或结构 不均匀,外场和表面退磁场引起的不均匀,应力分布不均匀 等.这些不均匀相对原子尺度来说是宏观大的,可将这些不 均匀性等效为自发磁化强度的不均匀.当一束波在非均匀 体系中传播时,其波长将发生变化. 考虑一个简单铁磁性一维链:第n个格点自旋进动方程 泰勒展开,代入（41）式,近邻自旋的交换作用可以等效为场： 其中 如再考虑外场 则运动方程为： 令 得,讨论：对于薄膜样品： ：表征体不均匀性的程度 （45）代入（44） 其中 求解方程（46）： 其中,厄米多项式 归一化系数 量子化条件,Mz,Mz,Mz,即由于体系内存在不均匀性，则只有满 足一定量子