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1、宿州学院毕业论文 矩阵的相似与合同及其等价条件研究矩阵的相似与合同及其等价条件研究（数学与统计学院 09级数学与应用数学一班） 指导老师：王晶晶引言 矩阵的相似与合同及其等价三者在线性代数中是很重要的概念，在线性代数的学习中，矩阵的相似与合同作为研究工具，得到广泛的应用1-10，起着非常重要的作用，能够把要处理的问题简单化9，本文对矩阵的等价，合同，相似进行了简单的介绍并对其判别方法给了具体的例子进行解释说明，对矩阵的应用学习有一定的帮助.1 矩阵的等价与相似及其合同的基本概念1.1矩阵等价的定义1 定义1.1 如果矩阵可以有矩阵经过有限次初等变换得到，称与是等价的.由于要与矩阵的相似，合同进
2、行比较，上述概念可以约束条件得到：定义1.2 如果阶矩阵可以由阶矩阵进过有限次初等变换得到，则称与是等价的. 根据初等变换和初等矩阵的关系以及可逆矩阵的充分必要条件，可以用数学语言描述：定义1.3 设矩阵,为n阶矩阵，如果存在阶可逆矩阵和,使得,则称矩阵与等价，记作.1.2 矩阵相似的定义2定义1.4 设矩阵，为n阶矩阵，如果存在一个是阶可逆矩阵P，使得,则称矩阵与矩阵相似，记作.1.2.1 阶矩阵的相似关系，具有下列性质3:性质1.1 反身性，即任一阶矩阵A与自身相似.性质1.2 对称性，即如果，则.性质1.3 传递性，如果，则.性质1.4 . （是任意常数）性质1.5 . 性质1.6 若矩
3、阵与矩阵相似，则与相似. （为正整数）证明 存在一个可逆矩阵，使得，那么，故可以得到与相相似.性质1.7 如果矩阵、都是满秩，则，那么. 证明 存在一个可逆矩阵，使得，那么，故可以得到.性质1.8 如果矩阵，那么. 证明 存在一个可逆矩阵，使得，又因为，故可以得到.性质1.9 相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆.并且当它们都可逆时候，它们的逆矩阵也相似. 证明 设，若矩阵B可逆，从而和也相似.若不可逆，则不可逆，即也不可逆.性质1.10 相似矩阵有相同的特征值.证明 设， 故矩阵A的特征值与矩阵B有相同的特征值.性质1.11 相似矩阵有相同的迹.证明 可以设矩阵与矩阵相似，那么存在一个可逆矩阵,
4、使得，例1 ，求分别求矩阵、的特征多项式，特征值秩,迹，行列式，矩阵与是否相似，它们之间有什么关系？解 从已知可知，对于的特征多项式故A的特征值为2和3.对于矩阵,，矩阵的特征多项式.故矩阵的特征值是2和3. 存在一个可逆矩阵 使得，从定义矩阵与矩阵相似.从结果看到相似矩阵有相同的特征多项式、相同的特征值、相等的行列式的值、相等的迹2-4.例2 设实数域上的3级实对称矩阵，对角矩阵.求矩阵、的特征值，特征多项式并且矩阵与矩阵相似吗？如果相似求出可逆矩阵.解 由矩阵的特征多项式为 故矩阵的特征值为5和4.容易知道矩阵的特征多项式和矩阵A的相同，故矩阵的特征值为5和-4.那么存在一个可逆矩阵,验证
5、得到，那么矩阵与矩阵相似，它们有相同的特征值和特征多项式.1.3 矩阵合同的定义2定义1.5 设，为阶矩阵，如果存在一个阶可逆矩阵，使得，则称与合同，记作.阶矩阵的合同关系具有下列性质： 反身性: 即任一级矩阵与自身合同. 对称性: 即如与合同，则与合同. 传递性: 与合同，与合同，则与合同. 合同的两矩阵有相同的二次型标准型. 任何一个实对称矩阵合同于一个对角矩阵. 两个实对称矩阵合同，它们的秩相等，而且正惯性指数相等.2. 合同矩阵与相似矩阵的关系2.1 矩阵的相似与合同的相同点5. 从上面可以看到，相似关系满足反身性、对称性、传递性；合同关系也具有反身性、对称性、传递性. 相似 、合同矩
6、阵均有相同的秩. 若矩阵相似与矩阵，则，若矩阵合同于矩阵，则.可见，如果两个矩阵相似或合同，那么它们的秩相同. 相似与合同的矩阵要求是同型的方阵. 若矩阵于矩阵相似，则要求、都是方阵；若合同与，则要求、都方阵.就是说相似与合同的矩阵要求是同型矩阵，而且都是方阵.2.2 矩阵的相似与合同的不同点5. 矩阵的相似与合同有一些不同之处，如 ，则，与有相同的特征值.但若，那么与的行列式的值不一定相等；与也不一定有相同的特征值.例1 设,不难验证：，有. 我们可以知道上面的矩阵等式满足矩阵的合同同时满足矩阵的相似，能够知道矩阵为正交矩阵，故，矩阵的行列式可以等于的行列式，下面举出合同但是行列式不等的情况
7、.例2 ， ，. 经过验证可以知道，然而，可以得到矩阵合同于，但是行列式可以不等. 我们知道矩阵相似具有相同的特征值，这是因为相似矩阵有相同的特征多项式.我们设，则有可逆矩阵，使得，于是 = =故特征值相同. 然而对于矩阵A合同与矩阵B，但是它们的特征值不一定相同:例3 设 ， ， 不难验证,即，但是的特征值为和，B的特征值为和显然，矩阵的相似与矩阵的合同是不同的概念.2.3 矩阵等价、合同与相似的联系7.结论2.1 相似矩阵一定是等价矩阵，等价矩阵未必为相似矩阵.证明 设级矩阵、相似，从定义知道存在阶矩阵，使得，从等价的定义.反过来，对于矩阵，与等价，但是与并不相似.结论2.2 合同矩阵一定
8、是等价矩阵，等价矩阵未必是合同矩阵.证明 设阶方阵合同，由定义1.5有，存在阶可逆矩阵，使得， 若记 ,则有因此由定义1.3得到阶方阵等价.反过来对于矩阵,等价，但是与并不合同，即等价矩阵未必合同2.4矩阵合同与相似的关系7结论2.3 如果与都是级对称矩阵，且有相同的特征值，则与既合同又相似.证明 设、的特征值均为 、，因为与都是级实对称矩阵，则一定存在阶正交矩阵，使得： 同理，可以找到一个正交矩阵，使得：从上面两式有： 将上式两边分别左乘和又乘，得： 由于 故 可逆，又由于： （ 所以是正交矩阵故结论2.4 若阶矩阵与中只要有一个正交矩阵，则与相似且合同证明 不妨是正交矩阵,则可逆取,有，则
9、与相似，又是正交阵，所以与既相似又合同.结论2.5 若,且，且，则 ，证明 从已知，, ，故存在可逆矩阵， 使得 令 则 且 故 又因为，故存在可逆矩阵，使得 令 则 然而 故 3 相似矩阵的应用3.1 相似矩阵的简单应用8 在矩阵的求解过程中，很难得到它的值，然而可以找到与矩阵相似的简单的矩阵，可把矩阵化简为对角矩阵，使得，其中为可逆矩阵,对角矩阵，可知矩阵与矩阵相似，那么，从而可以使得不宜求的矩阵简单化。利用相似的关系把矩阵化简为对角矩阵，但并不是所有的矩阵都可以对角化.例1 求（是任一个正整数）：解 由已知矩阵A的特征多项式为 故 故有特征值为:，或3.可以看到2阶矩阵有两个不同的特征值
10、，故可以对角化.当时,，得到特征向量（2 ，1）.当时,，同理可以得到特征向量（1 ，1）.存在，求得，即 3.1.1实对称矩阵一定相似于对角矩阵. 例2 设，求正交矩阵，使得为对角矩阵.解 计算可得，所以,.当时,得到特征向量,当时,得到特征向量将特征向量单位化，得，令，则为正交矩阵，且即正交相似与对角矩阵.3.1.2 矩阵不可以化为对角矩阵的情况9.例3 设矩阵，可以得到.得到特征值(重).当时,得到特征向量 当时,得到特征向量 只有两个特征向量,故矩阵不可以对角化.3.2 矩阵合同的应用10矩阵的合同主要应用在二次型，二次型的标准型，求矩阵的合同标准型.下面介绍几种求实对称矩阵合同标准型
11、的方法：3.2.1 非退化线性替换例1 用正交替换把实二次型化为标准型.解 令则 3.2.2 利用配方法把二次型化成标准型.例2 二次型解 令则 3.2.3 通过矩阵成对的初等行、列变换法.例3 用矩阵的成对初等行、列变换法把数域K上二次型化成标准形，解 的矩阵是，那么.经过成对的初等行列变换得到:对角矩阵矩阵，可逆矩阵，令，得 结论基于对矩阵相关知识概念的了解.本文对矩阵的等价、矩阵的相似、矩阵的合同的概念的把握,同时阐述了矩阵的等价、相似、合同的三者的关系.给予了矩阵的相似的应用,矩阵合同的应用.特别在线性代数中，运用矩阵的相似标准型和合同标准型把矩阵对角化使问题简单化.再者,对求解矩阵的合同标准型几种方法分别是非线性替换,配方法和成对的初等行列变换.通过一些实例使我们更清楚的了解矩阵的相似于合同及其等价三者的联系，对以后的学习提供的帮助和进一步了解. 参考文献1 智婕. 矩阵等价、相似、合同联系J.牡丹江师范学院报.2006,(3):6.2 张禾瑞. 高等代数(第三版)M.北京:高等教育出版社.1983:190-202.3 丘维声. 高等代数(第二版).北京:高等教育出版社.2002:192-199.4 卢刚. 线性代数M.北京:高等教育出版社.2005:101-179. 5 耿秀荣. 概念辨析过程数学变式教学D.山东师
